К элементарным преобразованиям системы уравнений относятся

02. Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Определение 5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:

1) перестановка любых двух уравнений местами;

2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число ;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ;

(при этом все остальные уравнения остаются неизменными).

Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:

.

Теорема 1. Любая конечная последовательность элементарных преобразований и преобразование вычеркивание нулевого уравнения переводит одну систему линейных уравнений в равносильную ей другую систему линейных уравнений.

Доказательство. В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.

1. При перестановке уравнений в системе местами сами уравнения неизменяются, поэтому по определению полученная система равносильная первоначальной.

2. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого уравнения. Умножим первое уравнение системы (1) на число , получим систему

(2)

Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (2) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеет место верное числовое равенство:

. (3)

Умножая его на число K, получим верное числовое равенство:

, (4)

Т. о. устанавливаем, что  решение системы (2).

Обратно, если решение системы (2), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (2), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (2), то справедливо числовое равенство (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство (3) и доказываем, что  решение системы (1).

Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (2).

3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы. Прибавим к обеим частям первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на число K , получим систему

(5)

Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (5) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеют место верные числовые равенства:

, (6)

. (7)

Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число K получим верное числовое равенство:

. (8)

Обратно, если решение системы (5), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (5). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (5), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (5), то справедливо числовое равенство (8). Вычитая из обеих его частей соответствующие части равенства (7) умноженные на число K получим числовое равенство (6).

Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (5).

4. Так как нулевому уравнению удовлетворяет любой упорядоченный набор из n чисел, то при вычеркивании нулевого уравнения в системе получим систему равносильную исходной.

Примеры выполнения отчета по практике

Элементарные преобразования систем. К элементарным преобразованиям относятся: 1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2)Перестановка уравнений местами. 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера – Капелли. (условие совместности системы) (Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик) Первый способ задания функции: табличный Если множество конечно и состоит из элементов , то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе . Часто это делают в виде таблицы

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA * . Очевидно, что система (1) может быть записана в виде: x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство. 1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А ® А * не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA * , то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений: A =

. RgA = 2. A * = RgA * = 3. Система несовместна.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений. А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2; A * = RgA * = 2. Система совместна. Решения: x ₁ = 1; x ₂ =1/2.

Рассмотрим применение доказанных теорем при нахождении пределов.

Пример. Найти .

Решение. Найдем сначала предел числителя и знаменателя. По свойствам пределов3x = 3x = 3(–2) = –6, 1 = 1, поэтому (3x – 1) = –6 – 1 = –7. Аналогично, (5 – 4x) = 5 – 4(–2) = 13. Используя теорему 5, получим:

.

Теорема 6. Если f(x) существует и f(x) 0 для всех x из области определения функции, то f(x) 0.

Доказательство. Пусть . Докажем методом от противного, предполагая, что f(x) = b 0. По определению предела по  найдется x0, такое, что x > x0 |f(x) – b| x0 f(x) 0, тогда найдется такое 1 > 0, что

x(x0, x0 + 1) |f1(x) – b| 0, что

x(x0, x0 + 2) |f2 (x) – b| ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ. Понятие производной. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная суммы, разности, произведения, частного. Производные элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные высших порядков. Дифференциал функции и его свойства. Теоремы Ферма (необходимый признак экстремума), Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Условия возрастания и убывания функции. Достаточные признаки экстремума функции. Условия выпуклости и вогнутости функции. Применение производной к приближенному решению уравнений. Метод математической индукции. Формула Тейлора.

Системы линейных уравнений

Глава 5. Системы линейных уравнений

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чи­сел.

Числа, записанные в матрице, называются её элементами. При этом они могут быть как действительными, так и комплексными. Пример:

A =.

Наша матрица A состоит из 3 строк и 4 столбцов. Будем записывать это так, что (3, 4) − размер матрицы A (иногда пишут 3×4, но × легко перепутать с x, особливо в рукописном тексте). Вообще, если в матрице s строк и n столбцов, то её размером считается запись (s, n). Матрицу обрамляют круглыми скобками: (). В литературе вы можете встретить другие обозначения: || || или []. Если s = n, то матрица называется квадратною. Матрицу размера (n, n) называют также квадратною матрицею n—го порядка.

Если надобно записать матрицу в общем (буквенном) виде, то пишут так:

A =.

Это матрица размера (s, n), каждый её элемент обозначен одной и той же буквою − обык­новенно (хотя и не обязательно) это та же буква, которая обозначает самоё матрицу, но строчная. Эта буква снабжена двойными индексами: a11 − это не ‘a одиннадцать’, а ‘a один-один’. Первый индекс означает номер строки, в которой стоит данный элемент, вто­рой − номер столбца. Разделителей между индексами обыкновенно не пишут, доколе это не может привести к неопределённости; к примеру, запись a211 непонятна: не то это a2,11, не то a21,1. В этом случае разделитель обязателен (здесь это запятая).

Среди всех матриц выделим матрицы, состоящие из одного столбца, т. е. размера (s, 1):

.

Такую матрицу назовём матрицей—столбцом, или вектор—столбцом. Аналогично матрицу вида

размера (1, n) назовём матрицей—строкой, или вектор—строкой.

5.1.2. Ступенчатая матрица

Определение 1. Строка матрицы называется нулевой строкой, если она состоит из одних нулей.

Определение 2. Главным элементом какой-либо ненулевой строки данной мат­рицы называется первый ненулевой элемент этой строки, считая слева направо.

Нулевая строка не имеет главного элемента, все остальные строки имеют одно­значно определённый главный элемент. В любой матрице число главных элементов равно числу ненулевых строк.

Определение 3. Матрица называется ступенчатой, если для любых двух её после­довательных строк выполняется одно из двух условий:

1) вторая строка состоит из одних нулей (нулевая строка);

2) обе строки ненулевые, и при этом главный элемент первой строки расположен строго левее главного элемента второй строки.

Из этого определения легко понять, что нулевые строки концентрируются в конце (внизу) матрицы, составляя нулевой блок (блок нулевых строк). В самом деле, если какая-либо строка нулевая, то в силу первой части определения все последующие строки также нулевые. Впрочем, нулевых строк может и вовсе не быть.

Определение 4. Матрица называется главной ступенчатой, если она является сту­пенчатой и сверх того

3) все главные элементы равны единице;

4) выше главных единиц (в тех же столбцах) стоят одни нули.

Из определения ясно, что каждый главный столбец главной ступенчатой матрицы устроен так, что в одной позиции стоит 1, а в остальных позициях − нули. (Ниже 1 стоят нули из-за того, что матрица является ступенчатой.) При этом номер позиции (строки), в которой стоит 1, равен номеру этого столбца в череде главных столбцов.

5.1.3. Элементарные преобразования

Определение 1. Элементарным преобразованием первого типа над строками ка­кой-либо матрицы называется перестановка местами двух произвольных строк этой мат­рицы.

Определение 2. Элементарным преобразованием второго типа называется умно­жение произвольной строки данной матрицы на какое-либо число, не равное 0.

Определение 3. Элементарным преобразованием третьего типа называется при­бавление к какой-либо строке данной матрицы другой строки, умноженной предвари­тельно на любое число[1].

5.1.4. Теорема C. F. Gauss’а[2]

Теорема (C. F. Gauss’а). Любую матрицу с помощью нескольких элементарных преобразований над строками можно привести к главному ступенчатому виду.

Доказательство. Будем рассматривать матрицы размера (s, n). Обозначим через N сумму числа строк и столбцов: N = s + n. Доказательство поведём индукцией по этому па­раметру N. Наименьшее возможное значение N равно 2 (для матриц размера (1, 1)).

Основание (база) индукции. Пусть наша матрица A имеет размер (1, 1). Тогда A = = (a11). Если a11 = 0, то матрица уже главная ступенчатая. Если же нет, то разделим (един­ственную) строку матрицы A на a11, получим матрицу (1), которая уже является главной ступенчатой.

Индуктивный переход. Пусть теорема C. F. Gauss’а справедлива для любой мат­рицы, у которой s + n 1 вычтем из i-й строки матрицы D её первую строку, предвари­тельно умножив её на число di1. После этой серии элементарных преобразований в новой матрице E все элементы первого столбца, кроме первого, станут равными нулю. Обозна­чим через F матрицу, получающуюся из E вычёркиванием первой строки и первого столбца. Её размеры меньше размеров матрицы A, и поэтому её можно привести к глав­ному ступенчатому виду G с помощью серии элементарных преобразований над её стро­ками, что равносильно совершению таких же элементарных преобразований над матрицей E. Пусть матрица E привелась таким образом к матрице H. Матрица H уже ступенчатая, но не обязательно главная ступенчатая. Возьмём какой-нибудь главный столбец матрицы G. Пусть главная единица нашего столбца стоит в k-й строке и l-м столбце матрицы H.

Вычтем из первой строки матрицы H её k-ю строку, умноженную предварительно на число h1l, и первый элемент нашего столбца обнулится. Важно, что при этом никак не за­трагивается первый столбец, − он остаётся неизменным. Произведём указанную операцию с каждым главным столбцом матрицы G. Ясно, что новая матрица уже будет главной сту­пенчатой. Теорема доказана.

5.1.5. Обратимость элементарных преобразований

Предложение. Если над матрицей A совершено элементарное преобразование ка­кого-либо типа, приводящее её к матрице B, то существует элементарное преобразование того же типа, приводящее матрицу B снова к матрице A.

Доказательство. Это очевидно для преобразований первого и второго типов. В са­мом деле, если мы совершили перестановку строк, то вторичная перестановка тех же строк вернёт нас к исходной матрице. Если мы умножили некоторую строку на ненулевое число, то умножение той же строки на обратное число вернёт нас к исходной матрице. Допустим теперь, что в данной матрице A мы прибавили к i-й строке j-ю строку (i ≠ j), предварительно умноженную на число α, и таким образом пришли к матрице B. Утвер­ждаю, что можно вернуться к матрице A, если прибавить к i-й строке матрицы B её j-ю строку, предварительно умноженную на число −α. Так как при обоих преобразованиях все строки, кроме i-й, вообще не менялись, то достаточно посмотреть, что произойдёт с ка­ким-нибудь элементом bik матрицы B. Вычисляем:

т. е. мы вернулись к матрице A, QED.

§ 5.2. Системы линейных уравнений

5.2.1. Основные определения

Определение 1. Система уравнений вида

называется системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными x1, x2, …, xn.

Числа aij называются коэффициентами системы, bi − её свободными членами.

Определение 2. Решением системы (1) называется такой набор чисел что при подстановке этих чисел в левые части системы (1) вместо соответствующих неизвест­ных система (1) обратится в систему верных числовых равенств.

Определение 3. Решить систему (1) − значит найти все её решения (множество всех решений).

Определение 4. Система (1) называется совместною, если она имеет хотя бы одно решение (множество всех решений непусто), и несовместною в противном случае, т. е. если она не имеет решений (множество всех решений пусто).

Определение 5. Система (1) называется определённою, если она имеет ровно одно решение, и неопределённою, если имеет более одного решения.

Мы очень скоро увидим, что неопределённая система имеет бесконечно много ре­шений.

5.2.2. Элементарные преобразования над системами уравнений

Определение 1. Элементарным преобразованием первого типа над системой уравнений называется перестановка местами двух произвольных уравнений системы.

Определение 2. Элементарным преобразованием второго типа называется умно­жение любого уравнения системы на какое-либо число, не равное 0.

Определение 3. Элементарным преобразованием третьего типа называется при­бавление к какому-либо уравнению другого уравнения, умноженного предвари­тельно на любое число[3].

Каждой системе уравнений вида (1) можно поставить в соответствие две матрицы: матрицу системы и расширенную матрицу системы.

Определение 4. Матрицей системы уравнений (1) называется матрица, составлен­ная из коэффициентов системы:

­

Определение 5. Расширенной матрицей системы уравнений (1) называется мат­рица, составленная из коэффициентов системы и свободных членов:

­

Иногда в расширенной матрице отделяют столбец свободных членов вертикальной чертой (сплошной или прерывистой), но это не обязательно. Ясно, что матрица системы не даёт полной информации о системе в отличие от расширенной матрицы, по которой можно однозначно восстановить систему уравнений, если только мы знаем список неиз­вестных (буквы, которыми были обозначены неизвестные). Впрочем, последнее не так существенно, потому что ведь мы в первую очередь интересуемся решениями, а каждое решение представляет собою просто набор чисел без обозначений неизвестных.

Определение 6. Пусть даны две системы уравнений относительно одного и того же набора неизвестных x1, x2, …, xn. Говорят, что система (2) является следствием системы (1), если каждое решение системы (1) является решением системы (2).

Другими словами, множество всех решений системы (1) есть подмножество (часть) множества всех решений системы (2).

Определение 7. Две системы уравнений относительно одного и того же набора не­известных x1, x2, …, xn называются эквивалентными, или равносильными, если множества их решений совпадают, или, что то же, каждая из них является следствием другой.

Иными словами, две системы эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое решение первой системы является решением второй и, наоборот, каждое решение второй системы является решением первой.

Предложение. При совершении одного элементарного преобразования система уравнений переходит в эквивалентную систему.

Доказательство. Достаточно доказать, что вторая система является следствием первой. Действительно, предположив, что это уже доказано, совершим обратное элемен­тарное преобразование, которое вернёт нас к исходной системе (см. п. 5.1.5). По доказанному первая система тогда будет следствием второй, и всё доказано.

Докажем, что вторая система является следствием первой. Для преобразований первых двух типов это совершенно очевидно. Совершим преобразование третьего типа, прибавив к i-й строке j-ю строку, умноженную предварительно на число α. При этом из­менится только i-е уравнение, поэтому я здесь выпишу только его:

Пусть − какое-либо решение исходной (первой) системы. Тогда по определе­нию понятия решения выполняются числовые равенства:

Если подставить наше решение в новую систему, то все равенства, кроме i-го, бу­дут выглядеть точно так же и поэтому выполняются. i-е же равенство будет выглядеть так:

Чтобы убедиться, что оно тоже выполняется, достаточно взять i-е равенство системы (1*) верных числовых равенств и прибавить к нему j-е равенство той же системы, предвари­тельно умножив его на α. Предложение доказано.

5.2.3. Теорема C. F. Gauss’а (о системах линейных уравнений)

Лемма. Если в системе линейных уравнений совершить одно элементарное преоб­разование, то расширенная матрица новой системы может быть получена из расширенной матрицы старой системы с помощью совершения аналогичного (точно такого же, я буду говорить одноимённого) преобразования.

Доказательство: это очевидно.

Следствие. Если в расширенной матрице A системы линейных уравнений (1) со­вершить одно элементарное преобразование над её строками и таким образом прийти к новой матрице B, а затем одноимённое преобразование совершить над системой уравне­ний (1), то расширенная матрица новой системы (2) совпадёт с матрицей B.

Доказательство. В силу леммы расширенная матрица системы (2) может быть по­лучена из матрицы A, т. е. расширенной матрицы системы (1), с помощью совершения преобразования, одноимённого тому, которое было совершено нами над системой уравне­ний (1). С другой стороны, это последнее преобразование было одноимённо тому, которое мы совершили над матрицей A. Таким образом, расширенная матрица системы (2) может быть получена из A с помощью того же самого преобразования, которое мы в самом на­чале совершили над матрицей A. Значит, эта новая расширенная матрица совпадает с B, QED.

Теорема (C. F. Gauss’а, о системах линейных уравнений). Всякая система линей­ных уравнений с помощью конечного числа элементарных преобразований может быть приведена к такой системе уравнений, расширенная матрица которой является главной ступенчатой.

Доказательство. Приведём расширенную матрицу данной системы уравнений с помощью серии элементарных преобразований над её строками к главному ступенчатому виду. Теперь будем совершать над самой данной системой одноимённые преобразования. По следствию из леммы на каждом этапе очередная матрица будет расширенной матрицей соответствующей системы уравнений. Значит, и последняя, главная ступенчатая, матрица будет служить расширенной матрицей последней системы, QED.

Важно, что на каждом этапе в силу предложения из предыдущего пункта система уравнений переходит в эквивалентную. На этом основан метод C. F. Gauss’а решения систем, при котором система приводится с помощью серии элементарных преобразований к главному ступенчатому виду. Множество всех решений системы при этом не меняется, так что достаточно решить последнюю систему. А системы, имеющие главный ступенча­тый вид, решаются очень легко, как будет видно из следующего пункта.

5.2.4. Решение ступенчатых систем уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений, расширенная матрица которой является главной ступенчатой. Допуская известную вольность речи, будем такие системы называть ступенчатыми.

Определение. В ступенчатой системе уравнений неизвестные, соответствующие главным столбцам, называются главными неизвестными, все остальные − свободными не­известными.

Здесь надлежит различать три случая.

1°. Столбец свободных членов является главным. В этом случае система несовме­стна.

В самом деле, пусть главный элемент последнего столбца расширенной матрицы (т. е. столбца свободных членов) находится в i-й строке. Тогда i-е уравнение имеет сле­дующий вид:

(Напомню, что все главные элементы главной ступенчатой матрицы равны 1, а левее лю­бого главного элемента всегда стоят одни нули.) Ясно, что такое уравнение не имеет ре­шений, тем более не может иметь решений вся наша система.

2°. Все столбцы, кроме последнего, главные. (Другими словами: нет свободных не­известных, а столбец свободных членов не является главным, т. е. не содержит главных элементов.) В этом случае в i-м столбце на i-м месте стоит 1 (i ≤ n), на остальных местах − нули. После отбрасывания нулевых уравнений придём к эквивалентной системе, которая в нашем случае приобретает следующий вид:

Ясно, что такая система имеет решение, и притом единственное, а именно, . Система является определённой.

3°. Есть свободные неизвестные, но столбец свободных членов не является глав­ным. Покажем, что в этом случае система имеет бесконечно много решений (и, следова­тельно, является неопределённой). Отбросим в расширенной матрице нулевые строки (они сосредоточены внизу матрицы), что приведёт к эквивалентной системе. Можно счи­тать, что исходная расширенная матрица не была нулевой (для нулевой матрицы доказы­ваемое утверждение очевидно), так что хотя бы одна строка останется. Теперь число строк в матрице равно числу главных неизвестных. Для удобства переобозначим неизвестные: пусть y1, y2, …, yr − главные неизвестные, а z1, z2, …, zn−r − свободные. Разнесём теперь не­известные в разные части: главные неизвестные оставим в левых частях уравнений, а сво­бодные перенесём в правые части, естественно, с противоположным знаком (свободные члены также остаются в правых частях). Получится система, эквивалентная исходной, следующего вида:

Мы видим, что здесь все главные неизвестные явно выражены через свободные, причём эти выражения (правые части) представляют собою линейные функции, т. е. ли­нейные комбинации свободных неизвестных плюс свободный член. Как же решить полу­чившуюся систему? Придадим свободным неизвестным произвольные значения и вычис­лим по написанным формулам соответствующие значения главных неизвестных. Оче­видно, что в совокупности мы получим решение нашей системы. Более того, каждое ре­шение можно получить таким способом при подходящем выборе свободных неизвестных, так как все неизвестные всегда будут связаны соотношениями (3). В этом смысле фор­мулы (3) описывают множество всех решений нашей системы, т. е задают, как говорят, её общее решение. И ясно, что решений будет бесконечно много, потому что хотя бы одно свободное неизвестное у нас есть, значит, придать определённые значения свободным не­известным мы можем бесконечным числом различных способов, и получающиеся реше­ния будут различны.

Попутно мы фактически доказали следующие два утверждения.

Теорема 1 (критерий совместности ступенчатой системы). Система уравнений, расширенная матрица которой имеет главный ступенчатый вид, совместна тогда и только тогда, когда столбец свободных членов не является главным.

Теорема 2. Если система линейных уравнений имеет более одного решения, то она имеет бесконечно много решений.

Таким образом, линейная система не может иметь, например, ровно семь решений.

5.2.5. Однородные системы уравнений

Так называются системы линейных уравнений, в которых все свободные члены равны нулю:

Такая система всегда совместна, т. к. она всегда имеет решение (нулевое, или тривиальное решение).

Теорема. Если в однородной системе линейных уравнений (4) число уравнений s строго меньше числа неизвестных n, то такая система имеет хотя бы одно нетривиальное решение.

Доказательство. Приведём нашу систему к главному ступенчатому виду. На всех этапах однородность, очевидно, сохраняется. После отбрасывания нулевых уравнений мы получим однородную систему уравнений, эквивалентную исходной. Число её уравнений строго меньше числа неизвестных, так как число неизвестных не изменилось, а число уравнений даже могло уменьшиться. Но число строк теперь равно числу главных элемен­тов, а значит, числу главных столбцов и числу главных неизвестных. Таким образом, число главных неизвестных строго меньше общего числа неизвестных. Значит, есть сво­бодные неизвестные, а тогда система неопределённая (нулевой столбец свободных членов не может быть главным) и имеет бесконечно много решений. Значит, есть и ненулевые решения, QED.

[1] При этом результат ставится в первую из этих двух строк, а вторая из них, равно как и все осталь­ные строки матрицы, не меняется.

[2] ́дрих Га́усс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг − 23 февраля 1855, Гёттинген) − великий немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён.

[3] При этом результат ставится на место первого из этих двух уравнений, а второе из них, равно как и все осталь­ные, не меняется.