К нормальному виду уравнение окружности

Уравнение окружности

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.

Так как |СМ| = \( \sqrt <(x — a)^2 + (у — b)^2>\), то уравнение (1) можно записать так:

(x — a) 2 + (у — b) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.

Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6).

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим

(х — 3) 2 + (у — (—6)) 2 = 81 или (х — 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Задача 3. Найти центр и радиус окружности

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3.

Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3).

Напишем уравнение прямой АВ:

или 4х + 3y —5 = 0.

Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:

Напишем уравнение искомой окружности

Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у) (рис. 105).

Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t

(0 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем

Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Этот онлайн-калькулятор показывает уравнение окружности в стандартной, параметрической и общей формах, по заданному центру и радиусу окружности. Описание и формулы приведены под калькулятором

Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Центр окружности

Уравнение окружности

Уравнение окружности — это алгебраический способ описания всех точек, лежащих на некоторой окружности. То есть если координаты точки x и y обращают уравнение окружности в равенство — эта точка принадлежит данной окружности. Существуют разные формы записи уравнения окружности:

• общее уравнение окружности
• стандартное уравнение окружности 1
• параметрическое уравнение окружности
• уравнение окружности в полярных координатах

Общее уравнение окружности

Общее уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
,
где

В таком виде довольно сложно судить о свойствах заданной этим уравнением окружности, а именно, о координатах центра и радиусе. Но эту форму достаточно легко привести к стандартной форме (ниже), которая гораздо нагляднее.

Стандартное уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Переход от общей формы к стандартной заключается в применении метода выделения полного квадрата. Получив стандартную форму, можно легко узнать координаты центра и радиус. Подробнее можно посмотреть здесь — Метод выделения полного квадрата и здесь — Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности.

Параметрическое уравнение окружности

Параметрическое уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Уравнение называется «параметрическим», потому что и x и y зависят от «параметра» тета. Это переменная, которая может принимать любые значения (но конечно это должно быть одно и то же значение в обоих уравнениях). Для параметрического уравнения используется определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике построенном на радиусе и перпендикуляров от точки на окружности до координатных осей.

Уравнение окружности в полярных координатах

Для записи уравнения окружности в полярных координатах требуются полярные координаты центра окружности по отношению к началу координат. Если полярные координаты центра окружности — это , то полярные координаты точки окружности должны удовлетворять следующему уравнению:
,
где a — радиус окружности.

Так, во всяком случае, его называют в англоязычной литературе. Насчет русского термина я не уверен, по-моему эту форму рассматривают просто как еще один способ записи общего уравнения окружности, тем более что переход от общего уравнения к стандартному довольно простой. ↩

Привести к нормальному виду уравнение окружности?

Алгебра | 5 — 9 классы

Привести к нормальному виду уравнение окружности.

[tex] x ^ <2>+ y2 + 2x + 4y = 0.

Х² + у² + 2х + 4у = 0

х² + 2х + 1 + у² + 4у + 4 — 1 — 4 = 0

окружность с центром в точке( — 1 ; — 2)

и радиусом равным√5.

Привести уравнение (x + 4)(2x — 1) = 5x + 2 к виду ax2 + bx + c = 0 и выписать его коэффициенты?

Привести уравнение (x + 4)(2x — 1) = 5x + 2 к виду ax2 + bx + c = 0 и выписать его коэффициенты.

Как привести многочлен к стандартному виду?

Как привести многочлен к стандартному виду?

Доброго времени суток?

Доброго времени суток!

Подскажите, пожалуйста, как решаются уравнения вида у = ((n + 1)x) ^ sin5x где n = 3?

Как привести степень с синусом к более простому для решения виду?

Привести в стандартный вид 48, 16?

Привести в стандартный вид 48, 16.

Решите уравнение[tex] x ^ <2>+ 12[tex] + 12х + 36 = 0?

[tex] x ^ <2>+ 12[tex] + 12х + 36 = 0.

Помогите пожалуйста?

Привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0 Вот уравнение (x — 3)(x + 1) + 2x — 4 = 0.

Решите уравнение вида |х + Ь| = а Расскажите нормально, что бы понял, пожалуйста))?

Решите уравнение вида |х + Ь| = а Расскажите нормально, что бы понял, пожалуйста)).

Многочлен привести к стандартному виду?

Многочлен привести к стандартному виду.

Как уравнение x — 2y = 0 привести к форме нормального уравнения(у = ?

Как уравнение x — 2y = 0 привести к форме нормального уравнения(у = .

), чтобы решить систему уравнений?

Tex] Решите уравнение : (5n — 3) ^ 2 — (5n + 2)(5n — 2) = — 47?

Tex] Решите уравнение : (5n — 3) ^ 2 — (5n + 2)(5n — 2) = — 47.

На этой странице находится вопрос Привести к нормальному виду уравнение окружности?. Здесь же – ответы на него, и похожие вопросы в категории Алгебра, которые можно найти с помощью простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса соответствует уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов. В комментариях, оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.

— 15х — (10 + 2y + 7t) — 15x — 10 — 2y — 7t все)надо просто раскрыть скобки))).

Решение смотри на фото.

Ответ : x = 2 x = 0 ответ изобразить на графике.

Решение : Наименьшее значение функции будет в вершине параболы. Найдем её : хо = — ( — 3) / 2 = 3 / 2 = 1. 5 y(xo) = 1. 5 ^ 2 — 3 * 1. 5 + 2 = — 0. 25 Минимальное значение функции : — 0. 25.

(x — y)(x + y) / [x(3 — 2x) + y(3 — 2x)] = (x — y)(x + y) / [(3 — x)(x + y)] = (x — y) / (3 — 2x).

Может быть, там — 2ху, а не — 2ху² .

Абсцисс — горизонтальная линия, ординат вертикальная (прошу прощения за качество).

Ось абсцисса — это ось Ox, а не Oy.

Координаты точек пересечения графиков функций y = x²и y = 5 — 4x определяются совместным решением этих уравнений : x² = 5 — 4x, х² + 4х — 5 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x : Ищем дискриминант : D = 4 ^ 2 — 4 * 1 * ( — 5) = 16 — 4 * ..