Качественное исследование систем дифференциальных уравнений

Исследование качественного поведения математических моделей синергетических систем (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

Практикум по курсу «Прикладная синергетика»

Исследование качественного поведения математических моделей синергетических систем

1. Исследование качественного поведения математических моделей синергетических систем

(Методические указания по выполнению практических заданий)

1.1 Общие положения.

Данные практические задания выполняются в соответствии с учебным планом по дисциплине «Общая синергетика». Выполнению работ должно предшествовать изучение теоретического материала (лекции и литературные источники). Описание лабораторных работ также содержит некоторые основные теоретические положения качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и содержит ряд контрольных вопросов (заданий). Задание может считаться успешно выполненным, если не только получены правильные ответы на контрольные вопросы, но и приведены обоснования этих ответов со ссылками на соответствующие теоретические положения. Кроме того, в практических заданиях предусмотрено самостоятельное решение задач по теме выполняемой работы.

По результатам работы необходимо представить отчет, который должен содержать:

Название практического задания и номер упражнения, номер задачи или контрольного вопроса; цель работы решения задач и ответы на контрольные вопросы с теоретическим обоснованием; необходимые графические иллюстрации; дополнительные сведения и соображения по теме практического задания (по желанию студента).

2. Практические задания

Элементы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (теоретические сведения к заданиям 1 – 3)

Во всех системах, представляющих интерес для синергетики, решающую роль играет динамика. А. Пуанкаре разработал современную теорию динамических систем, цель которой — исследовать типы поведения систем, описываемых взаимосвязан-ными нелинейными уравнениями. Эволюцию этих систем во времени можно описать, с помощью представления о движении изображающей точки в фазовом пространстве. Поскольку имеется взаимно однозначное соответствие между движением динамических систем и движением в фазовом пространстве (характером фазовых траекторий), то изучая возможные типы последних, можно придти к качественной классификации явлений, наблюдаемых в динамических системах. В данной лабораторной работе рассматриваются динамические системы с конечным числом переменных, исключая пространственно распределенные системы, характеризуемые непрерывной зависимостью от пространственных координат.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ. Динамические уравнения для систем с конечным числом степеней свободы имеют вид dq/dt = F( q, л) , где q – n — мерный вектор, а л – некоторый (управляющий) параметр. Решение q(t) уравнения dq/dt = F(t, q) представляется геометрически графиком функции q(t). Этот график определяет интегральную кривую на плоскости t, q.

Если F непрерывна в D (обл. существования решений), то интегральные кривые заполняют область D плоскости t, q. Это следует из того, что каждая точка D должна лежать по крайней мере на одной интегральной кривой. Таким образом, решения дифференциального уравнения представляются семейством интегральных кривых в D.

Если обе функции F и дF/дq непрерывны в D, то существует единственная инте­гральная кривая, проходящая через каждую точку D (см.). Заметим, что семейства интегральных кривых на рис. 2 и 6 имеют между собой большое сходство. Любая инте­гральная кривая на одном рисунке имеет соответствующую ей кривую на другом; они похожи по форме, у них те же самые асимптоты, но они не идентичны. Соотношение между этими двумя семействами интегральных кривых является примером того, что мы будем называть качественной эквива­лентностью. Мы будем говорить, что качественное поведение интегральных кривых на рис. 2 такое же, как на рис. 6.

Рис.1-6. Примеры инте­гральных кривых

Сказанное выше приводит к двум важным идеям:

1. Два различных дифференциальных уравнения могут иметь решения с одинаковым качественным поведением.

2. Качественное поведение решений определяется функ­цией F (t, q).

АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ

Дифференциальное уравнение вида dq/dt=F(q), называется автономным. Это название оправдано тем, что F(q), определяется одним только q, и, таким образом, решение само управляет своим изменением.

Для семейств интегральных кривых, в которых кри­вые получаются одна из другой сдвигами, качественное по­ведение семейства определяется качественным поведением каждого индивидуального решения, а оно в свою очередь определяется функцией F(q). Если F(q) 0, то решения либо возрастают, либо убывают; если же F(c) = 0, то существует решение q(t) = с.

Эти свойства решений удобнее изображать на оси q, чем на плоскости t, q. Если F(q) 0 для q принадлежащем интервалу (а, b), то на этом интервале рисуется стрелка, показывающая направление из­менения q. Если F(с) = 0, то решение q(t) = с изображается точкой q = с. Такие решения называются неподвижными (стационарными, особыми) точ­ками уравнения, так как q = с для всех значений t. Это геометрическое изображение качественного поведения реше­ний уравнения dq/dt = F(q) называется фазовым портретом (ось q – фазовая прямая, а q(t)- фазовая точка).

*) Употребляются и другие эквивалентные термины: «стационарная точка», «особая точка», «положение равновесия». Ось q называется при этом фазовой прямой, а точка q(t))—фазо­вой точкой.

Несколько фазовых портретов для конкретных функций F изображено на рис. 7 — 10.

Если решение q(t) нестационарное, то оно должно быть либо возрастающим, либо убывающим; таким образом, если число неподвижных точек конечно, то может существовать только конечное число «различных» фазовых портретов. Под словом «различные» мы подразумеваем «отличающиеся набором областей, в которых возрастает или убывает». На­пример, рассмотрим случай одной неподвижной точки q = с (см. рис. 11). На каждой из получаемых полупрямых

(q с) функция F может быть либо положительной, либо отрицательной. Следовательно фазовый портрет дол­жен соответствовать одному из четырех случаев, изображен­ных на рис. 11.

Рис. 11. Четыре возможных фазовых портрета для одной изолированной неподвижной точки. Неподвижная точка называется аттрактором в слу­чае (а), шунтом в случаях (b) и (с) и репеллером в случае (а).

Это значит, что качественное поведение любого автономного дифференциального уравнения с одной неподвижной точкой должно соответствовать одному из фа­зовых портретов на рис. 11 при некотором значении с.

Различные дифференциальные уравнения с одной непо­движной точкой, имеющие один и тот же фазовый портрет, считаются качественно эквивалентными.

Заметим, что соображения, которые использовались при получении рис. 11, сохраняют свою силу, если точка q = с — одна из многих неподвижных точек на фазовом портрете. Другими словами, качественное поведение q в окрестности любой неподвижной точки должно быть таким же, как в од­ном из случаев на рис. 11. Говорят, что это поведение определяет характер (вид, природу) неподвижной точки, и для его описания применяют термины, приведенные в под­писи к рис. 11.

Таким образом, из сказанного следует вывод, что фазовый портрет любого автономного уравнения полностью определяется видом его неподвижных точек. Введем следующее определение.

Определение. Два дифференциальных уравнения вида dq/dt = F(q) качественно эквивалентны, если они имеют равное количество неподвижных точек одинакового характера, рас­положенных в одинаковом порядке на фазовой прямой.

Например, уравнение dq/dt = (q + 2) (q + 1) эквивалентно уравнению dq/dt = 1/2 (q2 — 1). Оба уравнения имеют по две не­подвижные точки, одна из которых аттрактор, а другая ре­пеллер, причем аттрактору соответствует меньшее значение q. Уравнение dq/dt = — (q + 2) (q + 1) не является качественно эквивалентным уравнению dq/dt =1/2 (q2 — 1), потому что аттрак­тор и репеллер идут в обратном порядке.

Для нелинейных функций F(q) каждая неподвижная точка должна принадлежать одному из возможных типов, указанных на рис. 11. Таким образом, хотя и может существовать бесконечно много различных фазовых портретов, они содержат не более четырех различных видов неподвижных точек. Это ограничение связано с тем, что уравнение dq/dt = F(q) содержит только одну действительную переменную q. Поэтому возникает одномерный фазовый портрет, на котором q в каждой нестационарной точке может только возрастать или убывать.

Упражнение 1. Каким из нижеприведенных уравнений соответствуют семейства интегральных кривых, изображенные на рис. рис. 1 – 6.

dq/dt =2qt (4) dq/dt = — q/t, t 0 dq/dt = — t/q (5) dq/dt = — q/th t, t 0 dq/dt = q – t (6) dq/dt = Ѕ(q2 — 1)

Упражнение 2. Распределить следующие дифференциальные уравнения на группы качественно эквивалентных: