Как делить уравнение на косинус

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Алгебра и начала анализа. Урок по теме «Однородные тригонометрические уравнения» (10-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 10

ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени ;
сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;
развивать умение выявлять закономерности, обобщать;
стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией . Приложение 1.

II. Актуализация опорных знаний..

Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.

Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации “Решения простейших тригонометрических уравнений”

(Оценивается работа группы независимым экспертом)

III. Мотивация обучения.

Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

IV. Усвоение новых знаний

Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.

Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.

Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.

Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример: sinx + cosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим

Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx 0

Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример: sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.

Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а , тогда получаем уравнение

Возвращаемся к замене

Ответ:

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки

Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin 2 x +2sinx cosx = 0

решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки .

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

Посмотреть, есть ли в уравнении член asin 2 x.
Если член asin 2 x в уравнении содержится (т.е. а 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos 2 x и последующим введение новой переменной.
Если член asin 2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.

Однородные уравнения вида a sin 2 m x + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 решаются таким же способом

Алгоритм решени однородных тригонометрических уравнений записан в учебнике на стр. 102.

V. Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений

Открываем задачники стр. 53

1-я и 2-я группа решают № 361 в)

3-я и 4-я группа решают № 363 в)

Показывают решение на доске, объясняют, дополняют. Независимый эксперт оценивает.

Решение примеров из задачника

№ 361в)
sinx – 3cosx = 0
делим обе части уравнения на cosx 0, получаем

№ 363в)
sin 2 x + sinxcosx – 2cos 2 x = 0
разделим обе части уравнения на cos 2 x, получим
tg 2 x + tgx – 2 = 0
решаем путем введения новой переменной
пусть tgx = а , тогда получаем уравнение
а 2 + а – 2 = 0
Д = 9
а₁ = 1 а₂ = –2
возвращаемся к замене

VI. Самостоятельная работа

2 cosx – 2 = 0
tg2x +1 = 0
2cos 2 x – 3cosx +1 = 0
3 sin 2 x + sinx cosx – 2 cos 2 x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются на доску.

Потом сдают независимому эксперту.

Решение самостоятельной работы

VII. Подведение итогов урока

С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?
Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.

VIII. Задание на дом

§ 20.3 читать. № 361(г), 363(б), повышенной трудности дополнительно

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)
Единица измерения углов? (Радиан)
Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)
Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)
Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)
Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)
Как называется верное равенство? (Тождество)
Равенство с переменной? (Уравнение)
Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)
Множество корней уравнения? (Решение)

№ п\п	Фамилия имя	Домашнее задание	Презентация	Познавательная активность уч-ся	Решение уравнений	Самостоятельная работа	Оценка
1
2
3
4

Рейтинговая система оценки знаний

Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)
Презентация – 1балл
Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)
Решение уравнений 1 балл
Самостоятельная работа – 4 балла

“5” – 22 балла и более
“4” – 18 – 21 балл
“3” – 12 – 17 баллов

За высокую активность ставится дополнительная оценка.

Тригонометрические уравнения. Как решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций.

Если проще: это уравнения, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри синусов , косинусов , тангенсов и котангенсов .

Как решать тригонометрические уравнения:

Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:

где \(t\) – выражение с иксом, \(a\) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими. Их легко решать с помощью числовой окружности ( тригонометрического круга ) или специальных формул:

\(\sin ⁡x=a\) \(⇔\) \( \left[ \beginx=\arcsin a+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin a+2πl, l∈Z\end\right.\)
если \(a∈[-1;1]\)

Инфографику о решении простейших тригонометрических уравнений смотри здесь: \(sinx=a\) , \(cosx=a\) , \(tgx=a\) и \(ctgx=a\) .

Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(\sin⁡x=-\)\(\frac<1><2>\).
Решение:

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим оси.
2) Построим окружность.
3) На оси синусов (оси \(y\)) отметим точку \(-\) \(\frac<1><2>\) .
4) Проведем перпендикуляр к оси синусов через эту точку.
5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
6)Подпишем значения этих точек: \(-\) \(\frac<π><6>\) ,\(-\) \(\frac<5π><6>\) .
7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=-\) \(\frac<π><6>\) \(+2πk\), \(k∈Z\); \(x=-\) \(\frac<5π><6>\) \(+2πn\), \(n∈Z\)

Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в видео .

Внимание! Уравнения \(\sin⁡x=a\) и \(\cos⁡x=a\) не имеют решений, если \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны \(-1\) и меньше или равны \(1\):

Пример. Решить уравнение \(\cos⁡x=-1,1\).
Решение: \(-1,1 \(\frac<π><4>\) , \(\frac<5π><4>\)
7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в \(π\), то все значения можно записать одной формулой:

Ответ: \(x=\) \(\frac<π><4>\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(\cos⁡(3x+\frac<π><4>)=0\).
Решение:

Опять воспользуемся числовой окружностью.
1) Построим окружность, оси \(x\) и \(y\).
2) На оси косинусов (ось \(x\)) отметим \(0\).
3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку.
4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
5) Подпишем значения этих точек: \(-\) \(\frac<π><2>\),\(\frac<π><2>\) .
6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к аргументу косинуса (к тому что внутри косинуса).

7) Дальше решать в таком виде несколько трудновато, разобьем уравнение на два.

8) Как обычно в уравнениях будем выражать \(x\).
Не забывайте относиться к числам с \(π\), так же к \(1\), \(2\), \(\frac<1><4>\) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации!

Ответ: \(x=\) \(\frac<π><12>\) \(+\) \(\frac<2πk><3>\) \(x=-\) \(\frac<π><4>\) \(+\) \(\frac<2πk><3>\) , \(k∈Z\).

Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы , и особые методы решений уравнений:
— Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ).
— Метод разложения на множители .
— Метод вспомогательных аргументов.

Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения

Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Решение:

Сделаем замену \(t=\cos⁡x\).

Наше уравнение превратилось в типичное квадратное . Можно его решить с помощью дискриминанта .

\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)

Делаем обратную замену.

Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности.
Второе уравнение не имеет решений т.к. \(\cos⁡x∈[-1;1]\) и двум быть равен не может ни при каких иксах.

Запишем все числа, лежащие на числовой окружности в этих точках.

Ответ: \(x=±\) \(\frac<π><3>\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:

Пример(ЕГЭ). Решите тригонометрическое уравнение \(\frac<2\cos^2⁡x-\sin<⁡2x>>\) \(=0\)

Есть дробь и есть котангенс – значит надо записать ОДЗ . Напомню, что котангенс это фактически дробь:

Потому ОДЗ для ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).

Отметим «нерешения» на числовой окружности.

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/561935

http://cos-cos.ru/math/93/