Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами
Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.
Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.
Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).
Примеры решения дифференциальных уравнений
Задание
Решить дифференциальное уравнение xy’=y.
Решение
В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь
переписываем дифференциальное уравнение, получаем
Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем
Далее интегрируем полученное уравнение:
В данном случае интегралы берём из таблицы:
После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение
Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.
Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:
Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:
Если – это константа, то
0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />
– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:
– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.
Получаем общее решение:
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:
Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:
После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.
Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:
В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.
Далее упрощаем общий интеграл:
Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:
Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.
Решение
Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.
Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:
Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.
Получаем общее решение:
Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:
В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.
Решение
Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:
Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
можно выразить функцию в явном виде.
Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Проверка
Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:
Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.
Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение
дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:
Подставим полученное частное решение
и найденную производную в исходное уравнение
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Задание
Найти общий интеграл уравнения
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Ответ
Задание
Найти частное решение ДУ.
Решение
Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию
Подставляем в общее решение
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Левую часть интегрируем по частям:
В интеграле правой части проведем замену:
(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных.
Разделяем переменные и интегрируем:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальное уравнение – это соотношение, имеющее вид F(x1,x2,x3. y,y′,y′′. y (n) ) = 0, и которое связывает независимые переменные x1,x2,x3. функцию y этих независимых переменных и ее производные до n-го порядка. Причем функция F определяется и достаточное число раз дифференцируется в некоторой области изменения своих аргументов.
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это дифференциальные уравнения, содержащие лишь одну независимую переменную.
Дифференциальные уравнения в частных производных – это дифференциальные уравнения, в которых содержится 2 и более независимых переменных.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную х;
2) зависимую переменную y (функцию);
3) первую производную функции: y’.
В некоторых уравнениях первого порядка может отсутствовать х или (и) y, но это не существенно – важно чтобы в дифференциальных уравнениях была 1-я производная y’, и не было производных высших порядков – y’’, y’’’ и так далее.
Дифференциальное уравнение — уравнение, которое связывает значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть разным (формально он не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях либо все, кроме хотя бы 1-й производной, отсутствовать совсем. Не каждое уравнение, которое содержит производные неизвестной функции, оказывается дифференциальным уравнением. Например, не есть дифференциальным уравнением.
Дифференциальное уравнение порядка выше 1-го можно преобразовать в систему уравнений 1-го порядка, в которой количество уравнений равняется порядку начального уравнения.
Классификация дифференциальных уравнений.
Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной, которая входит в него.
Степень дифференциального уравнения – это показатель степени, в которую возведена производная самого высокого порядка.
Например, уравнение 1-го порядка 2-й степени:
Например, уравнение 4-го порядка 1-й степени:
Бывает дифференциальные уравнения записывают как (в него входят дифференциалы):
В таком случае переменные x и y нужно полагать равноправными. Если нужно, подобное уравнение приводят к виду, в котором явно содержится производная y’. Разделим на dx:
так как и , значит, уравнение принимает вид, который содержит производную 1-го порядка:
Виды дифференциальных уравнений.
- Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка типа.
- Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида либо .
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- Дифференциальное уравнение Бернулли.
- Уравнения в полных дифференциалах.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) 2-го порядка .
3. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- Дифференциальные уравнения, которые допускают понижение порядка.
- Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентамии .
- Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядкови .
4. Системы дифференциальных уравнений вида .
Дифференциальные уравнения 1-го порядка,
не разрешенные относительно производной
Уравнения 1-го порядка n-ой степени относительно производной
Пусть имеем дифференциальное уравнение
Решаем это уравнение относительно . Пусть
— вещественные решения уравнения (1).
Общий интеграл уравнения (1) выразится совокупностью интегралов:
где есть интеграл уравнения .
Таким образом, через каждую точку области, в которой принимает вещественные значения, проходит интегральных линий.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Разрешим это уравнение относительно :
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Разрешим уравнение относительно переменной :
Положим , где — параметр; тогда получим Дифференцируя, найдем . Но так как , то будем иметь
Рассмотрим два случая:
1) , откуда , где — произвольная постоянная. Подставляя значение , получаем общее решение данного уравнения:
В равенстве нельзя заменить на и интегрировать полученное уравнение (так как при этом появится вторая произвольная постоянная, чего не может быть, поскольку рассматриваемое дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка).
2) , откуда . Подставляя, получим еще одно решение .
Проверим, нарушится ли свойство единственности в каждой точке решения , т.е. является ли оно особым (см. часть 1.11). Для этого возьмем на интегральной кривой произвольную точку , где . Будем теперь искать решение, которое содержится в общем решении и график которого проходит через точку . Подставляя координаты этой точки в общее решение , будем иметь
откуда . Это значение постоянной подставим в . Тогда получим частное решение
которое не совпадает с решением . Для этих решений имеем соответственно . При обе производные совпадают. Следовательно, в точке нарушается свойство единственности, т. е. через эту точку проходят две интегральные кривые с одной и той же касательной. Так как произвольно, то единственность нарушается в каждой точке решения , а это означает, что оно является особым.
2°. Уравнения вида f(y,y’)=0 и f(x,y’)=0
Если уравнения и легко разрешимы относительно , то, разрешая их, получим уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим случаи, когда эти уравнения не разрешимы относительно .
А. Уравнение вида разрешимо относительно :
Полагаем , тогда . Дифференцируя это уравнение и заменяя на , получим
Получаем общее решение уравнения в параметрической форме
Пример 3. Решить уравнение , где — постоянные.
Решение. Положим , тогда , или . Отсюда и .
Общим решением будет .
Б. Если уравнение вида неразрешимо (или трудно разрешимо) как относительно , так и относительно , но допускает выражение и через некоторый параметр :
то поступаем следующим образом. Имеем . С другой стороны, , так что и ; отсюда
Таким образом, получаем общее решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Полагаем , тогда имеем
Отсюда , общее решение .
В. Уравнение вида . Пусть это уравнение разрешимо относительно , то есть .
Полагая , получим . Но и, следовательно, , так что
Таким образом — общее решение уравнения в параметрической форме ( — параметр).
Замечание. В формулах нельзя рассматривать как производную. В них является просто параметром.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Положим , тогда
Итак, — общее решение.
Аналогично случаю Б можно пытаться решать уравнение методом введения параметра .
3°. Уравнения Лагранжа
Уравнение Лагранжа имеет вид
Полагая , дифференцируя по и заменяя на , приводим это уравнение к линейному относительно как функции . Находя решение этого последнего уравнения , получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:
Кроме того, уравнение Лагранжа может иметь еще особые решения вида , где — корень уравнения .
Пример 6. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Полагаем , тогда . Дифференцируя, находим
Получили уравнение первого порядка, линейное относительно ; решая его, находим
Подставляя найденное значение в выражение для , получим окончательно
Уравнения Клеро
Уравнение Клеро имеет вид .
Метод решения тот же, что и для уравнения Лагранжа. Общее решение уравнения Клеро имеет вид
Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое получается исключением из уравнений .
Пример 7. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Полагая , получаем . Дифференцируя последнее уравнение и заменяя на , найдем
Приравнивая нулю первый множитель, получаем , откуда и общее решение исходного уравнения есть , однопараметрическое семейство прямых. Приравнивая нулю второй множитель, будем иметь . Исключая из этого уравнения и из уравнения , получим — это тоже решение нашего уравнения (особое решение).
С геометрической точки зрения кривая есть огибающая семейства прямых, даваемых общим решением (рис. 14).
http://www.calc.ru/Differentsialnyye-Uravneniya.html
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=differentsialnye-uravneniya-pervogo-poryadka—ne-razreshennye-otnositelno-proizvodnoi