Как доказать что уравнение есть уравнение окружности

Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R в прямоугольной системе координат имеет вид

1. Пусть в прямоугольной системе координат задана окружность с центром в точке A (a;b) и радиусом R (R>0).

Чтобы составить уравнение этой окружности, выберем на окружности произвольную точку B (x;y).

По определению окружности, расстояние от центра до любой точки окружности равно радиусу R, то есть AB=R.

Так как B (x;y) — произвольная точка окружности, координаты любой точки окружности удовлетворяют этому уравнению.

2. Если пара чисел (x_o;y_o) удовлетворяет данному уравнению, то

А это значит, что расстояние между точками C(x_o;y_o) и A(a;b) равно R. Значит, точка C(x_o;y_o) принадлежит окружности с центром в точке A(a;b) и радиусом R.

Следовательно, данное уравнение фигуры является уравнением окружности.

Уравнение окружности

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.

Так как |СМ| = \( \sqrt <(x — a)^2 + (у — b)^2>\), то уравнение (1) можно записать так:

(x — a) 2 + (у — b) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.

Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6).

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим

(х — 3) 2 + (у — (—6)) 2 = 81 или (х — 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Задача 3. Найти центр и радиус окружности

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3.

Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3).

Напишем уравнение прямой АВ:

или 4х + 3y —5 = 0.

Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:

Напишем уравнение искомой окружности

Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у) (рис. 105).

Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t

(0 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем

Как доказать что уравнение является уравнением окружности

Как доказать что уравнение есть окружность

Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R в прямоугольной системе координат имеет вид

1. Пусть в прямоугольной системе координат задана окружность с центром в точке A (a;b) и радиусом R (R>0).

Чтобы составить уравнение этой окружности, выберем на окружности произвольную точку B (x;y).

По определению окружности, расстояние от центра до любой точки окружности равно радиусу R, то есть AB=R.

Так как B (x;y) — произвольная точка окружности, координаты любой точки окружности удовлетворяют этому уравнению.

2. Если пара чисел (x_o;y_o) удовлетворяет данному уравнению, то

А это значит, что расстояние между точками C(x_o;y_o) и A(a;b) равно R. Значит, точка C(x_o;y_o) принадлежит окружности с центром в точке A(a;b) и радиусом R.

Следовательно, данное уравнение фигуры является уравнением окружности.

Доказать что уравнение задает окружность

Докажите, что уравнение у2 + у2 — 4х + 2у — 3 = 0 задаёт окружность. Постройте эту окружность на координатной плоскости.

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,845
• разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R в прямоугольной системе координат имеет вид

1. Пусть в прямоугольной системе координат задана окружность с центром в точке A (a;b) и радиусом R (R>0).

Чтобы составить уравнение этой окружности, выберем на окружности произвольную точку B (x;y).

По определению окружности, расстояние от центра до любой точки окружности равно радиусу R, то есть AB=R.

Так как B (x;y) — произвольная точка окружности, координаты любой точки окружности удовлетворяют этому уравнению.

2. Если пара чисел (x_o;y_o) удовлетворяет данному уравнению, то

А это значит, что расстояние между точками C(x_o;y_o) и A(a;b) равно R. Значит, точка C(x_o;y_o) принадлежит окружности с центром в точке A(a;b) и радиусом R.

Следовательно, данное уравнение фигуры является уравнением окружности.

Докажите что данное уравнение является уравнением окружности и укажите координаты центра и радиус этой окружности x ^ 2 + y ^ 2 — 8y = 0?

Геометрия | 5 — 9 классы

Докажите что данное уравнение является уравнением окружности и укажите координаты центра и радиус этой окружности x ^ 2 + y ^ 2 — 8y = 0.

Выделим для y полный квадрат :

$x^ + y^ — 2*4*y + 16 — 16 = 0$

Теперь свернём по формуле квадрата разности :

Уравнение окружности имеет вид :

$(x — a)^ + (y — b)^ = r^ $, где центр окружности О имеет координаты (а ; b), а r — радиус данной окружности

Тогда точка О будет иметь координаты (0 ; 4), а радиус данной окружности равен 4.

Окружность задана уравнением (х — 3) ^ 2 + (у + 1) ^ 2 = 9 Укажите координату центра окружности?

Окружность задана уравнением (х — 3) ^ 2 + (у + 1) ^ 2 = 9 Укажите координату центра окружности.

Окружность задана уравнением (x + 3)2 + y2 = 36 определить радиус и координаты центра окружности?

Окружность задана уравнением (x + 3)2 + y2 = 36 определить радиус и координаты центра окружности.

Напишите уравнение окружности если её центр имеет координаты (0 ; 2) а радиус имеет длину 3 см?

Напишите уравнение окружности если её центр имеет координаты (0 ; 2) а радиус имеет длину 3 см.

Окружность задана уравнением х2 + 6у + у2 — 2х + 15 = 18?

Окружность задана уравнением х2 + 6у + у2 — 2х + 15 = 18.

Найдите координаты центра окружности и длину радиуса.

P( — 5 ; 2) К ( — 3 ; 8) концы диаметра окружности?

P( — 5 ; 2) К ( — 3 ; 8) концы диаметра окружности.

Найдите координаты ее центра, радиус и составьте уравнение окружности.

Найдите координаты центра окружности и её радиус, если известно уравнение окружности : (х — 5) ^ 2 + (у + 7) ^ 2 = 16?

Найдите координаты центра окружности и её радиус, если известно уравнение окружности : (х — 5) ^ 2 + (у + 7) ^ 2 = 16.

Составьте уравнение окружности с центром О в начале координат и радиусом , равным 4 см?

Составьте уравнение окружности с центром О в начале координат и радиусом , равным 4 см.

Точки А( — 5 : — 1) и В( — 4 ; 3) являются концами диаметра окружности ?

Точки А( — 5 : — 1) и В( — 4 ; 3) являются концами диаметра окружности .

Найдите диаметр окружности и координаты ее центра .

Запишите уравнение окружности .

Точки В (6 : 0) и Д (8 : 0) являются концами диаметра окружности?

Точки В (6 : 0) и Д (8 : 0) являются концами диаметра окружности.

Найдите координаты центра окружности, длину радиуса окружности, запишите уравнение данной окружности.

Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R?

Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R.

Вы открыли страницу вопроса Докажите что данное уравнение является уравнением окружности и укажите координаты центра и радиус этой окружности x ^ 2 + y ^ 2 — 8y = 0?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 — 9 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Если в словаре то все по алфавиту. То есть последние буквы Э Ю Я. Ну думая на Я. Ответ : на Я.

В прямоугольном треугольнике АВС с b² = 196. B = 14. Ответ : катет, расположенный против угла 60°, равен 14 ед.

У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны Если у четырехугольника противоположные стороны равны и параллельны то это параллелограмм если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в такой четырехугольник можно вписать..

Например теорема Виета и теорема обратная теореме Виета.

Применены : свойства правильной четырёхугольной усеченной пирамиды, теорема Пифагора.

Нет, так как AC меньше BC.

У равнобедренного треугольника нет гипотенузы.

Треугольник FES = треугольникуSED по третьему признаку значит угол FES = углу SED и они равны по 45°. Угол FSE равен углу DSE и они равны по 90°. Угол SDE равен углу SFE и равны они по 45°.

А) ZAOB = 44° + 77° = 121°. Б) ZAOB = 12°37′ + 108 25 = 121°2′. Ответ, а) 121° ; б) 121°2′.

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R в прямоугольной системе координат имеет вид

1. Пусть в прямоугольной системе координат задана окружность с центром в точке A (a;b) и радиусом R (R>0).

Чтобы составить уравнение этой окружности, выберем на окружности произвольную точку B (x;y).

По определению окружности, расстояние от центра до любой точки окружности равно радиусу R, то есть AB=R.

Так как B (x;y) — произвольная точка окружности, координаты любой точки окружности удовлетворяют этому уравнению.

2. Если пара чисел (x_o;y_o) удовлетворяет данному уравнению, то

А это значит, что расстояние между точками C(x_o;y_o) и A(a;b) равно R. Значит, точка C(x_o;y_o) принадлежит окружности с центром в точке A(a;b) и радиусом R.

Следовательно, данное уравнение фигуры является уравнением окружности.

Докажите что данное уравнение является уравнением окружности и укажите координаты центра и радиус этой окружности x ^ 2 + y ^ 2 — 8y = 0?

Геометрия | 5 — 9 классы

Докажите что данное уравнение является уравнением окружности и укажите координаты центра и радиус этой окружности x ^ 2 + y ^ 2 — 8y = 0.

Выделим для y полный квадрат :

$x^ + y^ — 2*4*y + 16 — 16 = 0$

Теперь свернём по формуле квадрата разности :

Уравнение окружности имеет вид :

$(x — a)^ + (y — b)^ = r^ $, где центр окружности О имеет координаты (а ; b), а r — радиус данной окружности

Тогда точка О будет иметь координаты (0 ; 4), а радиус данной окружности равен 4.

Окружность задана уравнением (х — 3) ^ 2 + (у + 1) ^ 2 = 9 Укажите координату центра окружности?

Окружность задана уравнением (х — 3) ^ 2 + (у + 1) ^ 2 = 9 Укажите координату центра окружности.

Окружность задана уравнением (x + 3)2 + y2 = 36 определить радиус и координаты центра окружности?

Окружность задана уравнением (x + 3)2 + y2 = 36 определить радиус и координаты центра окружности.

Напишите уравнение окружности если её центр имеет координаты (0 ; 2) а радиус имеет длину 3 см?

Напишите уравнение окружности если её центр имеет координаты (0 ; 2) а радиус имеет длину 3 см.

Окружность задана уравнением х2 + 6у + у2 — 2х + 15 = 18?

Окружность задана уравнением х2 + 6у + у2 — 2х + 15 = 18.

Найдите координаты центра окружности и длину радиуса.

P( — 5 ; 2) К ( — 3 ; 8) концы диаметра окружности?

P( — 5 ; 2) К ( — 3 ; 8) концы диаметра окружности.

Найдите координаты ее центра, радиус и составьте уравнение окружности.

Найдите координаты центра окружности и её радиус, если известно уравнение окружности : (х — 5) ^ 2 + (у + 7) ^ 2 = 16?

Найдите координаты центра окружности и её радиус, если известно уравнение окружности : (х — 5) ^ 2 + (у + 7) ^ 2 = 16.

Составьте уравнение окружности с центром О в начале координат и радиусом , равным 4 см?

Составьте уравнение окружности с центром О в начале координат и радиусом , равным 4 см.

Точки А( — 5 : — 1) и В( — 4 ; 3) являются концами диаметра окружности ?

Точки А( — 5 : — 1) и В( — 4 ; 3) являются концами диаметра окружности .

Найдите диаметр окружности и координаты ее центра .

Запишите уравнение окружности .

Точки В (6 : 0) и Д (8 : 0) являются концами диаметра окружности?

Точки В (6 : 0) и Д (8 : 0) являются концами диаметра окружности.

Найдите координаты центра окружности, длину радиуса окружности, запишите уравнение данной окружности.

Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R?

Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R.

Вы открыли страницу вопроса Докажите что данное уравнение является уравнением окружности и укажите координаты центра и радиус этой окружности x ^ 2 + y ^ 2 — 8y = 0?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 — 9 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Если треугольники равны, то и углы и стороны равны. Угол А = углу К = 73 градусам КМ = АВ = 15 см.

Сумма углов параллелограмма равна 360°. Противоположные углы у него равны. 360 — 160 = 200° — сумма остальных углов 200 : 2 = 100° 160 : 2 = 80° Ответ : ∠1 = 100°, ∠2 = 80°, ∠3 = 100°, °4 = 80°.