Как доказать что уравнение имеет три корня

Как доказать что уравнение имеет три корня

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придавая независимой переменной приращение х , невыводящее за пределы окрестности, получим новое значение + х , также принадлежащее окрестности . Тогда значение функции заменится новым значением , то есть получит приращение

Если существует предел отношения приращении функции у к вызвавшему его приращению независимой переменной х при стремлении х к 0, т.е. , то он называется производной функции в точке х и обозначается .

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.

Образно говоря, равенство означает, что производная функции в точке х равна скорости изменения переменной у относительно переменой в указанной точке.

Определение 2. Функция , заданная в некоторой окрестности точки R называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение , представимо в этой окрестности в виде , где — постоянная, О( х) — бесконечно малая более высокого порядка, чем х.

Линейная функция (аргумента х ) называется дифференциалом функции в точке х и обозначается df(x или dy .

Таким образом, у = dy + О( х) , .

Можно доказать следующую теорему:

Теорема 1. Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только том случае, когда в этой точке имеет конечную производную.

Учитывая определение 2 и утверждение теоремы, в качестве определения дифференцируемой функции может быть принято следующее:

Определение 3. Если функция у имеет производную в точке , то говорят, что при данном значении функция дифференцируема.

То есть существование производной функции в точке х равносильно ее дифференцируемости в этой точке.

Теорема 2 . Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Обратная теорема не верна: существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые в этой точке.

Если функция определена в некоторой окрестности точки , принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке х производную, то эта производная равна нулю.

1) непрерывна на отрезке [ ]

2) имеет в каждой точке интервала конечную производную,

3) принимает равные значения на концах отрезка [ ], то есть f(a) = f(b) , то существует, по крайней мере, одна такая точка , что .

Если функция непрерывна на отрезке [ ] и в каждой точке интервала имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то существует такая точка , что f(b) — f(a) = f ( (b — a).

Используя теорему Лагранжа, можно доказать следующие теоремы:

Условие постоянства функции

Теорема 3. (Условие постоянства функции) Пусть функция определена и непрерывна на промежутке Х и во всех его внутренних точках имеет конечную производную . Для того, чтобы была на указанном отрезке постоянной, необходимое и достаточное условие внутри Х.

Если две функции и определены и непрерывны в промежутке Х и внутри него имеют конечные производные и , причем (внутри Х), то эти функции на всем промежутке Х отличаются лишь на постоянную: (C = const).

Теорема 4. (Признак монотонности функций)

Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была во всех точках интервала неотрицательна (неположительна).

Если производная функция во всех точках интервала положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает) на этом интервале.

Если функции и непрерывны на отрезке [ ] и в каждой точке интервала имеют конечные производные , , причем для , а f(а) g(а) , тогда для любой точки выполняется неравенство .

На основании утверждения теоремы 5 для того, чтобы доказать неравенство f(x) 0 при х 0 , достаточно доказать, что f(0) 0 и (х) 0 при х 0 . А для того, чтобы доказать неравенство при , можно воспользоваться второй производной и при и т.д.

С помощью производной можно также определить число корней того или иного уравнения. Один из возможных приемов основан на следующей теореме:

Если функция определена и непрерывна на отрезке и во всех его внутренних точках имеет конечную производную, то между любыми двумя корнями этой функции, расположенными на отрезке, имеется хотя бы 1 корень ее производной.

Рассмотренные теоретические положения используются при решении задач.

Задача 1. Докажите тождество 3 arcsin x — arccos( 3 4 ) = , если .

Решение. Рассмотрим функцию 3 arcsinx — arccos( 3 4 на отрезке [ ]. Докажем, что f(х) = с, с = const. Для этого достаточно доказать, что (т.3)

Если , то следовательно, и . Для определения значения вычислим значение функции в произвольной точке интервала . Пусть , тогда и .

Вычислим значение функции на концах заданного отрезка.

Таким образом, тождество верно при любом .

Задача 2. Найдите сумму .

Решение. Представив искомую сумму в виде , заметим, что .

Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим,

Итак, искомая сумма имеет вид .

Используя полученную формулу, можно, например, вычислить

Задача 3. Найдите сумму:

Решение. Используя результат, полученный в примере 2, заметим, что

Задача 4. Решите уравнение:

Решение. Очевидно, что — корень уравнения. Докажем, что уравнение других корней не имеет. Рассмотрим функцию

Для функции точка является точкой минимума, в которой функция принимает наименьшее значение. Значит, для всех , отличных от нуля, > .

Задача 5. Решите уравнение:

Преобразуем уравнение к виду:

Рассмотрим функции и при .

Сравним множества значений этих функций. Очевидно, что .

Найдем с использованием производной.

Функция непрерывна на промежутке и имеет на нем единственную критическую точку , в которой достигает своего наибольшего значения.

Следовательно, решение уравнения находим из решения системы:

Рассмотрим функцию , при .

Функция непрерывна на промежутке и является возрастающей, . — является точкой минимума функции , в которой функция принимает наименьшее значение, ровное нулю. Следовательно, для всех > .

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень .

Задача 6. Докажите, что уравнение может иметь не более трех различных корней.

Решение. Рассмотрим функцию . Функция является дифференцируемой на R . Предположим, что функция имеет более трех различных корней, например, четыре. Тогда должна иметь не более трех различных корней (т.6), то есть обращается в нуль не менее трех раз.

Функция дифференцируема на R . Ее производная обращается в нуль не менее двух раз. Тогда имеет не менее двух нулей, а ее производная не менее одного нуля. Но функция нулей не имеет. Получили противоречие. Значит, сделанное предположение неверно, функция более трех различных корней иметь не может. Таким образом, заданное уравнение может иметь не более трех различных корней.

Производную можно использовать при доказательстве и решении неравенств.

Задача 7. Доказать, что при 0$»>.

Доказательство. Докажем справедливость следующих неравенств:

0. \end —>

Для доказательства неравенства (2) рассмотрим функцию

Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведенных квадратных уравнений и уравнений с четным вторым коэффициентом

Разделы: Математика

Устный счет:

1. При каком значении Х , выражение принимает минимальное значение

а) ; б)
2. Зависимость y(x) выражается формулой y = 13x + 1 выразить x(y)

3. Не решая уравнения, определить, равносильны ли они:

4. Выделить полный квадрат:

5. Вычислить пары чисел , удовлетворяющих условиям

1. Какое уравнение называется полным?
2. Что такое корни квадратного уравнения?
3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Теорема. Квадратное уравнение не может иметь более двух различных корней.

Доказательство:

Предположим, что уравнение три различных корня:

Если уравнение имеет корень, то после подстановки его в уравнение получится верное числовое равенство:

(1)
(2)
(3)

из (2) отнимаем (1)

–

_____________________

В каком случае произведение равно 0?

Так как = > 0 = > a+ b = 0. (4)

–

_________________

= > a+ b = 0 (5)

–

________________

а0 = > = > ,
а по условию пришли к противоречию.

Давайте решим уравнение:

Самостоятельно:

a)

Вместе:

б)

Нравится ли этот способ? Нет! Тогда будем рассуждать иначе:

(формулу для нахождения корней квадратного уравнения учить проговаривать словами).

– дискриминант квадратного уравнения.

По теореме, доказанной нами , уравнение не может иметь более двух корней.

Количество корней зависит от D.

1). D > 0
2). D = 0

Летняя школа для учителей математики. Преподавание квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен в школе

Традиционно тема включает четыре теоремы:

1. О корнях квадратного уравнения (краеугольный камень всей теории квадратного уравнения).
2. О разложении квадратного трехчлена на (линейные) множители.
3. Виета.
4. Обратную Виета.

Чаще всего, в школе учеников знакомят с доказательствами этих теорем в общих чертах, связывая одну с другой. Например, теорема Виета объясняется на основе теоремы о корнях квадратного уравнения.

Не столь стандартный подход: рассмотреть все четыре теоремы независимо друг от друга. Эта практика пригодится ученикам, изучающим математику на углубленном уровне.

Теорема Виета

Может ли квадратное уравнение иметь два одинаковых корня? Нет: уравнение может иметь либо ноль корней, либо один, либо два. У трехчлена вполне могут быть два одинаковых корня — это известно из общей теории многочленов. Часто говорят, что всякий многочлен в n-ной степени имеет n корней — а на самом деле: n корней с учетом кратности.

Как сформулировать теорему Виета, чтобы она не зависела от теоремы о корнях? Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один корень, то он обязательно имеет и еще один корень, возможно совпадающий с первым, и при этом их сумма равна (тому-то) и произведение равно.

Докажем, что x₁ обязательно имеет еще один корень — такой, что сумма корней равняется , а произведение .

Данное выражение обнуляется при:

Мы доказали это, не используя формулу корней. Теперь перемножим:

Все это выражение ровно в -a раз меньше, чем . То есть

Тогда произведение корней равняется .

Обычно школьников учат, что нельзя применять теорему Виета, не проверив, что корни есть. Данное доказательство позволяет говорить: «Применяйте теорему Виета, убедившись, что трехчлен имеет хотя бы один корень».

Как из теоремы Виета вывести теорему о корнях квадратного уравнения?

Рассмотрим вспомогательное утверждение.

Получается, что если есть корни, то квадрат их разности равен дискриминанту, деленному на а 2 . То есть если корни есть, то дискриминант больше либо равен нулю, и, если дискриминант отрицательный, то корней быть не может.

Так мы выводим формулу корней, рассуждая в обратную сторону — чтобы глубже ориентироваться в материале.

Теорема о корнях квадратного уравнения

x 2 = a. Почему нельзя сказать ? Ответ на задание «при каждом а решить уравнение» должен иметь смысл при каждом а, поэтому выражение не может быть ответом. Ответ в задаче с параметром не может не иметь смысл ни в одной точке в значении а, которая входит в данную область. Кроме того, допустим, а=-1. Разве можно записать x 2 =-1 и ответ ?

x 2 = a — нельзя единообразно решить для всех а.

Рассмотрим необычный способ решения уравнения

Решим методом деления полного квадрата. Умножим на 4а, чтобы гарантированно выделился полный квадрат.

Теорема о разложении квадратного трехчлена на множители.

Данная теорема идет рука об руку с теоремой о корнях.

Если дискриминант отрицательный, как доказать, что нет разложения на линейные множители? Рассмотрим от противного: допустим, дискриминант отрицательный.

Пусть такое разложение существует. Это значит, что при всех значениях x данные выражения действительно равны. Альфа или гамма: хотя бы один из этих коэффициентов не равен нулю.

Таким образом, наш квадратный трехчлен при отрицательном дискриминанте не разлагается на линейные множители.