Как доказать что уравнение не имеет рациональных корней

Как доказать что уравнение не имеет рациональных корней

Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени ? Оказы вается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.

Решите уравнение: `x^3 +4x^2 — 2x-3=0`.

Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x=1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x-1`. Выполнив деление, получаем:

`x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr`

Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравне ния? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.

Если несократимая дробь `p//q` (`p` — целое, `q` — натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами , то сво бодный член делится на `p` , а старший коэффициент делится на `q`.

Пусть несократимая дробь `p//q` — корень многочлена (8). Это означает, что

`a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ . «+a_2 (p/q)^2 +a_1(p/q)+0=0`.

Умножим обе части на `q^n`, получаем:

`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + . + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+a_0q^n=0`.

Перенесём в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:

Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая часть также делится на `p`. Числа `p` и `q` взаимно просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.

Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.

Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.

а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`; (15)

б) `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`. (16)

а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` — корень. Тогда `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители:

Поэтому `p` может принимать значения:

Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:

Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:

1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.

2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.

б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in<+-1;+-2;+-5;+-10>`; `qin<1;2;3;6>`.Возможные варианты для `x_0`:

Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем

Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` — корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:

Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.

К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни. Тогда приходится прибегать к другим методам.

Разложите на множители:

а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`

Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:

в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:

Обозначим `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках принимает вид:

В итоге получаем:

Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).

г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению

Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.

Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть

Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:

Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:

Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.

Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:

2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:

Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.

Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому

Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.

Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Умножим обе части равенства (1) на (q ≠ 0). Получаем

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь счи­тается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произве­дение a₀q n может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a₀ делится на р. Таким образом, р — делитель свобод­ного члена a₀.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a₀. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффи­циентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент а_n = 1, то делителями а_n могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х 3 – х 2 + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р не­обходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать сре­ди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера мож­но записать, что

Многочлен 2х 2 + 12 не имеет действительных корней (а тем более рацио­нальных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональ­ный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х 4 + 3х 3 – 2х 2 – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х 2 + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х 3 + 5х 2 + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Квадратный трехчлен 2х 2 + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не расклады­вается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х 2 + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х 2 + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры дока­зывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на ли­нейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого раз­ложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х 4 + х 3 + 3х 2 + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Рас­кроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравне­нию 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть толь­ко делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рас­сматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) най­дем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

Поскольку квадратные трехчлены х 2 – х + 2 и х 2 + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

1. Найдите целые корни многочлена:

1. Найдите рациональные корни уравнения:

1. Разложите многочлен на множители:

1. Найдите действительные корни уравнения:

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффи­циентов:

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью ме­тода неопределенных коэффициентов в виде (х 2 + bх + с) 2 – (mх + n) 2 : :

Нахождение рациональных корней

Содержание:

Теорема о рациональных корнях

Если для многочлена с целыми коэффициентами существует рациональный корень, то этот корень имеет вид

Доказательство:

Пусть несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами:

Умножим обе части равенства на :

Так как в последнем равенстве каждый член, кроме члена , содержит множитель и каждый член, кроме члена , содержит множитель , то коэффициент должен делится на , а коэффициент должен делится на .

Задача пример №8

Найдите рациональные корни многочлена .

Решение:

свободный член 6, старший коэффициент 2.

Для , запишем все возможные числа вида

, т.е. одним из множителей является двучлен . Другие множители найдем, используя синтетическое деление:

Так как, , получим, что являются корнями многочлена.

Следствие 1. Если старший коэффициент ±1 и многочлен имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Следствие 2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами (если они имеются) являются делителями свободного члена.

Задача пример №9

Найдите корни многочлена .

Решение:

по теореме о рациональных корнях многочлена, целый корень данного многочлена (если он существует) надо искать среди делителей числа 5. Это числа ±5; ±1.

Запишем это короче при помощи синтетического деления и проверим, являются ли эти числа корнями многочлена.

Так как , то, решив квадратное уравнение , получим другие корни: . Значит данный многочлен третьей степени имеет три корня: —.

Внимание! Если коэффициенты многочлена являются рациональными числами, то для нахождения рациональных корней уравнения сначала обе части уравнения надо умножить на такое число (отличное от нуля), чтобы коэффициенты стали целыми.

Например, для нахождения корней многочлена надо умножить все члены уравнения на 12, а затем решить полученное уравнение .

Для нахождения рациональных корней выполните следующие действия:

1. Записывается множество всех возможных дробей, числителями которых являются делители свободного члена, а знаменателями являются делители старшего коэффициента.

2. Из этих чисел выбирается число (обращающее значение многочлена в нуль), которое является корнем многочлена, т.е. определяется двучлен , на который многочлен делится без остатка.

3. Для данного многочлена при помощи синтетического деления на двучлен определяется другой множитель.

4. Если другой множитель является квадратным трехчленом или его можно разложить при помощи формул сокращенного умножения, находятся другие корни. Иначе все линейные множители находятся синтетическим делением.

5. Возможно, что ни одно число из списка не будет нулем многочлена. В этом случае многочлен не имеет рациональных корней. Например, рациональными корнями многочлена могут являться числа ±1.

Проверим: ; . Значит, многочленах не имеет рациональных корней.

Исследование:

1) Перепишите примеры в тетрадь и проведите обсуждение.

a) Многочлен первой степени имеет один корень:

b) Многочлен второй степени имеет два корня: , ;

c) Многочлен третьей степени имеет три корня:

d) Многочлен четвертой степени имеет четыре корня:

e) Принимая во внимание, что уравнение имеет кратные корни, получим 5 корней:

2) Укажите степень и найдите корни многочленов, разложение на множители которых имеет вид .

3) Равна ли степень произвольного многочлена количеству его корней?

Покажем на примере, что многочлен n-ой степени имеет n корней.

Задача пример №10

Найдите все корни многочлена .

Решение:

рациональными корнями данного многочлена (если они существуют), согласно правилу, могут являться числа ±1, ±5. Проверим:

.

Значит, является корнем данного многочлена . Другие корни найдем синтетическим делением.

В выражении для множителя вновь применим теорему о рациональных корнях и синтетическое деление. Тогда ; . Решим уравнение ; ; (корень кратности 2); ;

Корни:

Во всех рассмотренных нами примерах уравнение n-ой степени всегда имеет n корней, включая кратные корни (действительных или комплексных).

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.