Как доказать теорему виета для кубического уравнения

Теорема Виета для квадратных и других уравнений

Квадратные уравнения

Теорема Виета

Пусть и обозначают корни приведенного квадратного уравнения
(1) .
Тогда сумма корней равна коэффициенту при , взятому с обратным знаком. Произведение корней равно свободному члену:
;
.

Замечание по поводу кратных корней

Если дискриминант уравнения (1) равен нулю, то это уравнение имеет один корень. Но, чтобы избежать громоздких формулировок, принято считать, что в этом случае, уравнение (1) имеет два кратных, или равных, корня:
.

Доказательство первое

Находим сумму корней:
.

Чтобы найти произведение, применим формулу:
.
Тогда

.

Доказательство второе

Если числа и являются корнями квадратного уравнения (1), то
.
Раскрываем скобки.

.
Таким образом, уравнение (1) примет вид:
.
Сравнивая с (1) находим:
;
.

Обратная теорема Виета

Пусть и есть произвольные числа. Тогда и являются корнями квадратного уравнения
,
где
(2) ;
(3) .

Доказательство обратной теоремы Виета

Рассмотрим квадратное уравнение
(1) .
Нам нужно доказать, что если и , то и являются корнями уравнения (1).

Подставим (2) и (3) в (1):
.
Группируем члены левой части уравнения:
;
;
(4) .

Подставим в (4) :
;
.
Уравнение выполняется. То есть число является корнем уравнения (1).

Подставим в (4) :
;
.
Уравнение выполняется. То есть число является корнем уравнения (1).

Теорема Виета для полного квадратного уравнения

Теперь рассмотрим полное квадратное уравнение
(5) ,
где , и есть некоторые числа. Причем .

Разделим уравнение (5) на :
.
То есть мы получили приведенное уравнение
,
где ; .

Тогда теорема Виета для полного квадратного уравнения имеет следующий вид.

Пусть и обозначают корни полного квадратного уравнения
.
Тогда сумма и произведение корней определяются по формулам:
;
.

Теорема Виета для кубического уравнения

Аналогичным образом мы можем установить связи между корнями кубического уравнения. Рассмотрим кубическое уравнение
(6) ,
где , , , есть некоторые числа. Причем .
Разделим это уравнение на :
(7) ,
где , , .
Пусть , , есть корни уравнения (7) (и уравнения (6)). Тогда

.

Сравнивая с уравнением (7) находим:
;
;
.

Теорема Виета для уравнения n-й степени

Тем же способом можно найти связи между корнями , , . , , для уравнения n-й степени
.

Теорема Виета для уравнения n-й степени имеет следующий вид:
;
;
;

.

Чтобы получить эти формулы мы записываем уравнение в следующем виде:
.
Затем приравниваем коэффициенты при , , , . , и сравниваем свободный член.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
С.М. Никольский, М.К. Потапов и др., Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2006.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-10-2016

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Теорема Виета для уравнений третьей степени» ученицей 8 класса школы была поставлена и реализована цель, создать электронное пособие, которое может быть использовано как при классно–урочной, так при дистанционной системе обучения, которое расширит знания учащихся о теореме Виета и ее применении для решения уравнений третьей степени.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Теорема Виета для уравнений третьей степени» автор выполняет практические задания по решению уравнений третей степени прибегая к применению теоремы Виета, подробно описывает их. Также в работе рассмотрены нестандартные методы решения математических задач, используя теорему Виета. Данная работа рассчитана заинтересовать учащихся изучить принцип использования теоремы Виета в решении уравнений третей степени и сложных математических задач, чтобы расширить их знания и умения в области математики.

Оглавление

Введение
1. Виет Франсуа.
2. Теорема Виета для квадратных уравнений.
3. Теорема Виета для кубических уравнений
Заключение
Литература

Введение

Цель работы: создание электронного пособия, которое может быть использовано как при классно – урочной, так при дистанционной системе обучения, которое расширит знания учащихся по данной теме за пределы страниц школьного учебника, путём обобщения теоремы Виета для уравнений третьей степени и применения специальных методов решения задач.

1. на примере биографии великого ученого показать движущие силы научной мысли;
2. сформулировать, доказать и научить использовать теорему Виета в стандартных математических задачах;
3. исследовать возможность обобщения теоремы для уравнений третьей степени;
4. рассмотреть нестандартные методы решения математических задач, используя теорему Виета;
5. вызвать активный познавательный интерес, который позволит глубже изучить проблему.

Виет Франсуа

Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением.

Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику, и все свободное время отдавал этим наукам.

Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся.

Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка.

Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений.

Не случайно за это Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной символики.

Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin x и cos x.

Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам.

Гордясь найденным решением, Виет называл себя Алоллонием Гальским (Галлией во времена древнего Рима называли современную Францию).

Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали.

Громкую славу он получил при Генрихе III, во время франко-испанской войны.

Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась.

Благодаря такому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка всё время оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету.

Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки — Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

В конце 16 столетия голландский математик Андриан ван-Роумен, известный, пожалуй, тем, что вычислил число Пи с восемнадцатью верными знаками, решил бросить вызов всем математикам мира.

Он разослал во все европейские страны уравнение 45-й степени:

французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет способных справиться с задачей: Декарт в то время еще не родился, Пьера Рамуса в 1572 убили в Варфоломеевскую ночь, о других математиках не было слышно.

Так французские математики не смогли принять вызов. Больше всего было ущемлено самолюбие Генриха IV. — И все же у меня есть математик! — воскликнул король. — Позовите Виета! В приемную короля вошел пятидесятитрехлетний седоволосый советник короля Франсуа Виет. Он тут же, в присутствие короля, министров и гостей, нашел один корень предложенного уравнения. Виет увидел, что а есть сторона правильного 15-угольника, вписанного в круг радиуса 1, а по коэффициентам второго и последнего членов заключил, что х есть хорда 1/45 этой дуги, как оно и было на самом деле.

Король ликовал, все поздравляли придворного советника.

На следующий день Виет нашел еще 22 корня уравнения.

После такого успеха Виета составитель злополучного уравнения Роумен стал ревностным почитателем его.

В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «. 14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер . в Париже. Ему было более шестидесяти лет». Подозревают, что Виет был убит.

Несмотря на огромное желание и упорные занятия, книгу, которую назвал “Искусство анализа, или Новая алгебра”.

Виет всё же не завершил. Но главное было написано.

И это главное определило развитие всей математики Нового времени.

Теорема Виета для квадратных уравнений

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Рассмотрим квадратное уравнение вида ax2 + bx + c =0, где а ≠ 0. Приведём его к приведённому квадратному уравнении, путём деления на первый коэффициент а:

ax2 + bx + c = 0 |: а x^2+b/a x+c/a=0.

Введём обозначения: p=b/a, q=c/a. Тогда уравнение примет вид x2+px +q=0. Найдём дискриминант данного уравнения по формуле D = b2 – 4ac, т.е. D = p2 – 4q.

Теорема Виета, формулы Виета

В квадратных уравнениях существует целый ряд соотношений. Основными являются отношения между корнями и коэффициентами. Также в квадратных уравнениях работает ряд соотношений, которые задаются теоремой Виета.

В этой теме мы приведем саму теорему Виета и ее доказательство для квадратного уравнения, теорему, обратную теореме Виета, разберем ряд примеров решения задач. Особое внимание в материале мы уделим рассмотрению формул Виета, которые задают связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.

Формулировка и доказательство теоремы Виета

Формула корней квадратного уравнения a · x 2 + b · x + c = 0 вида x 1 = — b + D 2 · a , x 2 = — b — D 2 · a , где D = b 2 − 4 · a · c , устанавливает соотношения x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = c a . Это подтверждает и теорема Виета.

В квадратном уравнении a · x 2 + b · x + c = 0 , где x 1 и x 2 – корни, сумма корней будет равна соотношению коэффициентов b и a , которое было взято с противоположным знаком, а произведение корней будет равно отношению коэффициентов c и a , т. е. x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = c a .

Предлагаем вам следующую схему проведения доказательства: возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны — b a и c a соответственно.

Составим сумму корней x 1 + x 2 = — b + D 2 · a + — b — D 2 · a . Приведем дроби к общему знаменателю — b + D 2 · a + — b — D 2 · a = — b + D + — b — D 2 · a . Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: — b + D + — b — D 2 · a = — b + D — b — D 2 · a = — 2 · b 2 · a . Сократим дробь на: 2 — b a = — b a .

Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.

Теперь давайте перейдем ко второму соотношению.

Для этого нам необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: x 1 · x 2 = — b + D 2 · a · — b — D 2 · a .

Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: — b + D · — b — D 4 · a 2 .

Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: — b + D · — b — D 4 · a 2 = — b 2 — D 2 4 · a 2 .

Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: — b 2 — D 2 4 · a 2 = b 2 — D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 · a · c отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо D можно подставить b 2 − 4 · a · c :

b 2 — D 4 · a 2 = b 2 — ( b 2 — 4 · a · c ) 4 · a 2

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 4 · a · c 4 · a 2 . Если сократить ее на 4 · a , то остается c a . Так мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.

Запись доказательства теоремы Виета может иметь весьма лаконичный вид, если опустить пояснения:

x 1 + x 2 = — b + D 2 · a + — b — D 2 · a = — b + D + — b — D 2 · a = — 2 · b 2 · a = — b a , x 1 · x 2 = — b + D 2 · a · — b — D 2 · a = — b + D · — b — D 4 · a 2 = — b 2 — D 2 4 · a 2 = b 2 — D 4 · a 2 = = D = b 2 — 4 · a · c = b 2 — b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

При дискриминанте квадратного уравнения равном нулю уравнение будет иметь только один корень. Чтобы иметь возможность применить к такому уравнению теорему Виета, мы можем предположить, что уравнение при дискриминанте, равном нулю, имеет два одинаковых корня. Действительно, при D = 0 корень квадратного уравнения равен: — b 2 · a , тогда x 1 + x 2 = — b 2 · a + — b 2 · a = — b + ( — b ) 2 · a = — 2 · b 2 · a = — b a и x 1 · x 2 = — b 2 · a · — b 2 · a = — b · — b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , а так как D = 0 , то есть, b 2 — 4 · a · c = 0 , откуда b 2 = 4 · a · c , то b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Чаще всего на практике теорема Виета применяется по отношению к приведенному квадратному уравнению вида x 2 + p · x + q = 0 , где старший коэффициент a равен 1 . В связи с этим и формулируют теорему Виета именно для уравнений такого вида. Это не ограничивает общности в связи с тем, что любое квадратное уравнение может быть заменено равносильным уравнением. Для этого необходимо поделить обе его части на число a , отличное от нуля.

Приведем еще одну формулировку теоремы Виета.

Сумма корней в приведенном квадратном уравнении x 2 + p · x + q = 0 будет равна коэффициенту при x , который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е. x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q .

Теорема, обратная теореме Виета

Если внимательно посмотреть на вторую формулировку теоремы Виета, то можно увидеть, что для корней x 1 и x 2 приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 будут справедливы соотношения x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q . Из этих соотношений x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q следует, что x 1 и x 2 – это корни квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 . Так мы приходим к утверждению, которое является обратным теореме Виета.

Предлагаем теперь оформить это утверждение как теорему и провести ее доказательство.

Если числа x 1 и x 2 таковы, что x 1 + x 2 = − p и x 1 · x 2 = q , то x 1 и x 2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 .

Замена коэффициентов p и q на их выражение через x 1 и x 2 позволяет преобразовать уравнение x 2 + p · x + q = 0 в равносильное ему x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 .

Если в полученное уравнение подставить число x 1 вместо x , то мы получим равенство x 1 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 1 + x 1 · x 2 = 0 . Это равенство при любых x 1 и x 2 превращается в верное числовое равенство 0 = 0 , так как x 1 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 1 + x 1 · x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 · x 1 + x 1 · x 2 = 0 . Это значит, что x 1 – корень уравнения x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 , и что x 1 также является корнем равносильного ему уравнения x 2 + p · x + q = 0 .

Подстановка в уравнение x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 числа x 2 вместо x позволяет получить равенство x 2 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 2 + x 1 · x 2 = 0 . Это равенство можно считать верным, так как x 2 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 2 + x 1 · x 2 = x 2 2 − x 1 · x 2 − x 2 2 + x 1 · x 2 = 0 . Получается, что x 2 является корнем уравнения x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 , а значит, и уравнения x 2 + p · x + q = 0 .

Теорема, обратная теореме Виета, доказана.

Примеры использования теоремы Виета

Давайте теперь приступим к разбору наиболее типичных примеров по теме. Начнем с разбора задач, которые требуют применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее можно применять для проверки чисел, полученных в ходе вычислений, на предмет того, являются ли они корнями заданного квадратного уравнения. Для этого необходимо вычислить их сумму и разность, а затем проверить справедливость соотношений x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = a c .

Выполнение обоих соотношений свидетельствует о том, что числа, полученные в ходе вычислений, являются корнями уравнения. Если же мы видим, что хотя бы одно из условий не выполняется, то данные числа не могут быть корнями квадратного уравнения, данного в условии задачи.

Какая из пар чисел 1 ) x 1 = − 5 , x 2 = 3 , или 2 ) x 1 = 1 — 3 , x 2 = 3 + 3 , или 3 ) x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 — 7 2 является парой корней квадратного уравнения 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0 ?

Решение

Найдем коэффициенты квадратного уравнения 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0 . Это a = 4 , b = − 16 , c = 9 . В соответствии с теоремой Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна — b a , то есть, 16 4 = 4 , а произведение корней должно быть равно c a , то есть, 9 4 .

Проверим полученные числа, вычислив сумму и произведение чисел из трех заданных пар и сравнив их с полученными значениями.

В первом случае x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2 . Это значение отлично от 4 , следовательно, проверку можно не продолжать. Согласно теореме, обратной теореме Виета, можно сразу сделать вывод о том, что первая пара чисел не является корнями данного квадратного уравнения.

Во втором случае x 1 + x 2 = 1 — 3 + 3 + 3 = 4 . Мы видим, что первое условие выполняется. А вот второе условие нет: x 1 · x 2 = 1 — 3 · 3 + 3 = 3 + 3 — 3 · 3 — 3 = — 2 · 3 . Значение, которое мы получили, отлично от 9 4 . Это значит, что вторая пара чисел не является корнями квадратного уравнения.

Перейдем к рассмотрению третьей пары. Здесь x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 — 7 2 = 4 и x 1 · x 2 = 2 + 7 2 · 2 — 7 2 = 2 2 — 7 2 2 = 4 — 7 4 = 16 4 — 7 4 = 9 4 . Выполняются оба условия, а это значит, что x 1 и x 2 являются корнями заданного квадратного уравнения.

Ответ: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 — 7 2

Мы также можем использовать теорему, обратную теореме Виета, для подбора корней квадратного уравнения. Наиболее простой способ – это подбор целых корней приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Можно рассматривать и другие варианты. Но это может существенно затруднить проведение вычислений.

Для подбора корней мы используем тот факт, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения.

В качестве примера используем квадратное уравнение x 2 − 5 · x + 6 = 0 . Числа x 1 и x 2 могут быть корнями этого уравнения в том случае, если выполняются два равенства x 1 + x 2 = 5 и x 1 · x 2 = 6 . Подберем такие числа. Это числа 2 и 3 , так как 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 6 . Получается, что 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.

Теорему, обратную теореме Виета, можно использовать для нахождения второго корня, когда первый известен или очевиден. Для этого мы можем использовать соотношения x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = c a .

Рассмотрим квадратное уравнение 512 · x 2 − 509 · x − 3 = 0 . Необходимо найти корни данного уравнения.

Решение

Первым корнем уравнения является 1 , так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Получается, что x 1 = 1 .

Теперь найдем второй корень. Для этого можно использовать соотношение x 1 · x 2 = c a . Получается, что 1 · x 2 = − 3 512 , откуда x 2 = — 3 512 .

Ответ: корни заданного в условии задачи квадратного уравнения 1 и — 3 512 .

Подбирать корни, используя теорему, обратную теореме Виета, можно лишь в простых случаях. В остальных случаях лучше проводить поиск с использованием формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.

Благодаря теореме, обратной теореме Виета, мы также можем составлять квадратные уравнения по имеющимся корням x 1 и x 2 . Для этого нам необходимо вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.

Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа − 11 и 23 .

Решение

Примем, что x 1 = − 11 и x 2 = 23 . Сумма и произведение данных чисел будут равны: x 1 + x 2 = 12 и x 1 · x 2 = − 253 . Это значит, что второй коэффициент — 12 , свободный член − 253.

Составляем уравнение: x 2 − 12 · x − 253 = 0 .

Ответ: x 2 − 12 · x − 253 = 0 .

Мы можем использовать теорему Виета для решения заданий, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. Связь между теоремой Виета связана со знаками корней приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 следующим образом:

• если квадратное уравнение имеет действительные корни и если свободный член q является положительным числом, то эти корни будут иметь одинаковый знак « + » или « — » ;
• если квадратное уравнение имеет корни и если свободный член q является отрицательным числом, то один корень будет « + » , а второй « — » .

Оба этих утверждения являются следствием формулы x 1 · x 2 = q и правила умножения положительных и отрицательных чисел, а также чисел с разными знаками.

Являются ли корни квадратного уравнения x 2 − 64 · x − 21 = 0 положительными?

Решение

По теореме Виета корни данного уравнения не могут быть оба положительными, так как для них должно выполняться равенство x 1 · x 2 = − 21 . Это невозможно при положительных x 1 и x 2 .

Ответ: Нет

При каких значениях параметра r квадратное уравнение x 2 + ( r + 2 ) · x + r − 1 = 0 будет иметь два действительных корня с разными знаками.

Решение

Начнем с того, что найдем значения каких r , при которых в уравнении будет два корня. Найдем дискриминант и посмотрим, при каких r он будет принимать положительные значения. D = ( r + 2 ) 2 − 4 · 1 · ( r − 1 ) = r 2 + 4 · r + 4 − 4 · r + 4 = r 2 + 8 . Значение выражения r 2 + 8 положительно при любых действительных r , следовательно, дискриминант будет больше нуля при любых действительных r . Это значит, что исходное квадратное уравнение будет иметь два корня при любых действительных значениях параметра r .

Теперь посмотрим, когда корни будут иметь разные знаки. Это возможно в том случае, если их произведение будет отрицательным. Согласно теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Значит, правильным решением будут те значения r , при которых свободный член r − 1 отрицателен. Решим линейное неравенство r − 1 0 , получаем r 1 .

Ответ: при r 1 .

Формулы Виета

Существует ряд формул, которые применимы для осуществления действий с корнями и коэффициентами не только квадратных, но также кубических и других видов уравнений. Их называют формулами Виета.

Для алгебраического уравнения степени n вида a 0 · x n + a 1 · x n — 1 + . . . + a n — 1 · x + a n = 0 считается, что уравнение имеет n действительных корней x 1 , x 2 , … , x n , среди которых могут быть совпадающие:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = — a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n — 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n — 2 · x n — 1 · x n = — a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = ( — 1 ) n · a n a 0

Получить формулы Виета нам помогают:

• теорема о разложении многочлена на линейные множители;
• определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов.

Так, многочлен a 0 · x n + a 1 · x n — 1 + . . . + a n — 1 · x + a n и его разложение на линейные множители вида a 0 · ( x — x 1 ) · ( x — x 2 ) · . . . · ( x — x n ) равны.

Если мы раскрываем скобки в последнем произведении и приравниваем соответствующие коэффициенты, то получаем формулы Виета. Приняв n = 2 , мы можем получить формулу Виета для квадратного уравнения: x 1 + x 2 = — a 1 a 0 , x 1 · x 2 = a 2 a 0 .

Формула Виета для кубического уравнения:
x 1 + x 2 + x 3 = — a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + x 2 · x 3 = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 = — a 3 a 0

Левая часть записи формул Виета содержит так называемые элементарные симметрические многочлены.