Как графически решать уравнения с корнями

Графический метод при решении иррациональных уравнений

Продолжаем изучать методы решения иррациональных уравнений. Сейчас сосредоточимся на графическом методе. Сначала скажем, в каких ситуациях для решения иррациональных уравнений применяется графический метод. Дальше кратко напомним основные положения метода, его особенности и алгоритм. После этого подробно разберем решения наиболее характерных иррациональных уравнений.

Какие иррациональные уравнения решаются графически

Обычно, графическим методом решаются иррациональные уравнения, для которых выполняются два следующих условия:

Не видно другого более простого метода решения.
Функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков.

Понятно, что в общем случае построение графиков функций – это дело непростое. Именно поэтому графическим методом решают лишь уравнения f(x)=g(x) , которые, во-первых, не решаются другим способом или решение другим способом сопряжено со значительными сложностями, и, во-вторых, для которых функции f и g либо основные элементарные, либо их графики могут быть получены из графиков основных элементарных функций при помощи геометрических преобразований.

Например, решать графическим методом иррациональное уравнение можно, но не стоит, так как решение этого уравнения легко получить по определению корня или методом возведения обеих частей уравнения в квадрат. А вот для решения уравнения графический метод — самое то: не видно легкого решения другими методами и легко построить графики функций, отвечающих частям этого уравнения. Решение этого иррационального уравнения мы приведем ниже.

Краткое описание метода, его особенности и алгоритм

Подробное описание графического метода дано в статье «Графический метод решения уравнений». Здесь мы не будем повторяться, а лишь кратко и без пояснений напомним главные положения этого метода, его особенности и алгоритм.

Графический метод решения уравнений предполагает использование графиков функций, отвечающих частям уравнения, для нахождения решения уравнения. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций.

Без использования специализированных компьютерных программ сложно достичь высокой точности построения графиков функций. Поэтому, все результаты, полученные с использованием графиков, мы можем считать лишь приближенными, нуждающимися в проверке и обосновании (кроме, разве что, самых очевидных). Это главная особенность графического метода.

Наконец, алгоритм. Согласно графическому методу решения уравнений, нужно:

Построить в одной прямоугольной системе координат графики функций, отвечающие левой и правой частям уравнения.
По чертежу определить все точки пересечения графиков:
- если точек пересечения нет, то решаемое уравнение не имеет корней,
- если точки пересечения имеются, то переходим к следующему шагу алгоритма.
По чертежу определить абсциссы всех точек пересечения графиков – это приближенные значения всех корней исходного уравнения.
Если есть основания полагать, что некоторые или все определенные на предыдущем шаге значения являются точными значениями корней решаемого уравнения, то осуществить их проверку, например, подстановкой.

Решение характерных иррациональных уравнений

Практическую часть откроем иррациональным уравнением, для решения которого непросто предложить какой-либо аналитический метод. А вот графический метод позволяет показать, что уравнение не имеет корней.

Решите иррациональное уравнение

Иногда графический метод позволяет определить точные значения корней уравнения. Это обычно происходит, когда корнями являются целые числа. Но даже целые корни, найденные по графикам, полезно проверять при помощи подстановки в исходное уравнение. Продемонстрируем это при решении следующего иррационального уравнения графическим методом.

Решить уравнение

Часто при помощи графического метода невозможно получить точные значения корней. Более того, в некоторых случаях по графикам невозможно определить даже количество корней уравнения, не то что их значения. Это касается тех случаев, когда графики функций, отвечающие правой и левой части уравнения, очень близки на некоторых участках, почти совпадают. Выход из такой ситуации может состоять в построении графиков именно на этих участках в увеличенном масштабе при повышенной точности построения. Однако делать это без компьютера проблематично, и по понятным причинам предпочтительнее обратиться к какому-либо аналитическому методу решения, если, конечно, есть такая возможность.

Решить иррациональное уравнение

Мы подробно рассмотрели как графический метод применяется при решении иррациональных уравнений. Можно приступать к изучению следующего метода решения иррациональных уравнений — метода, базирующегося на свойствах возрастающих и убывающих функций.

Графически решить уравнение с корнем

Допустим дано такое уравнение:
√x – 0.5x = 0

Требуется решить его графическим способом.

Графический метод решения уравнений заключается в приравнивании двух выражений (частей уравнения), рисования графиков этих выражений-функций на координатной плоскости, нахождения точек пересечения графиков двух функций.

В данном случае преобразуем уравнение к такому виду:
√x = 0.5x

Получаются две функции, чьи графики следует изобразить на координатной плоскости:
f(x) = √x
g(x) = 0.5x

Первый график — это ветвь параболы, вытянутая вдоль оси x. Второй график — прямая.

Как видно из построения, графики функций пересекаются в двух точках: (0; 0) и (4; 2). Нас интересует только координата x. Значит уравнение √x – 0.5x = 0 имеет два корня: x₁ = 0 и x₂ = 4.

Действительно, если подставить в уравнение определенные по графикам значения x, то левая и правая части уравнения будут равны друг другу.

Решим графически такое уравнение:
√x = (0.6x−3.3) 2 − 4

Здесь в качестве графиков функций имеем параболу и ветвь параболы:

Графики функций, как и в первом случае, пересекаются в двух точках. Однако точно определить точки пересечения нельзя. Можно лишь сказать приблизительно, чему будут равны корни такого уравнения. Одна точка пересечения графиков — это примерно (3; –1.7), вторая точка имеет примерные координаты (7.4; –2.7). Таким образом, x₁ ≈ 3, x₂ ≈ 7.4.

Следует отметить, что графики функций какого-либо заданного уравнения могут пересекаться только в одной точке. В таком случае, уравнение имеет только один корень. Если графики вообще не пересекаются, то уравнение не имеет корней.

Урок-практикум «Графическое решение уравнений, содержащих функцию y=√х (функцию квадратного корня)». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Базовый учебник: Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович.

Цель урока: применить алгоритм решения уравнений графически к функции у = .

Задачи:

Обучающая: способствовать закреплению знаний свойств функции у = , умение строить график этой функции, использовать алгоритм графического решения уравнений применительно к графику квадратного корня из неотрицательного числа.
Развивающая: развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить; развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом; работа на интерактивной доске, познавательная активность.
Воспитывающая: воспитание познавательного интереса к предмету; к самостоятельности при решении учебных задач; воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок практикум.

Методы:

словестные: фронтальная работа
наглядные алгоритм, графики.
практические: индивидуальная, парная и групповая работа, тренировочная самостоятельная работа.

Оборудование: учебник, рабочая тетрадь, раздаточный материал, школьная доска, интерактивная доска.

План урока.

1. Организационный момент. 1 мин

2. Проверка домашнего задания. 5 мин

3. Актуализация знаний. Устная работа с классом. 7 мин

4. Закрепление материала 20 мин

5. Тренировочная самостоятельная работа. 8 мин

6. Постановка домашнего задания. 3 мин

7. Рефлексия. 1 мин

8. Итог урока. 1мин

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания. (Учащиеся проверяют домашнюю работу, сверяясь с эталоном, оценивают правильность и полноту выполнения согласно критериям, ставят оценку).

Для №13.3 Сопоставьте график который получился у вас дома с одним из графиков. Слайд 2. Из данных утверждений (приложение 1 у каждого ученика) выберите те свойства, которые подходят для функции у = — :

С помощью графика найдите: Слайд 3

а) значения у при х = 1; ; 9; (выборочно)

б) значения х, если у = 0; -2; -4; (выборочно)

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке ;

г) при каких значениях х график функции расположен выше прямой у = -2. Ниже прямой у = -2.

3. Актуализация знаний. Устная работа с классом.

1. Принадлежит ли графику функции у = точки

А(2; ); В(1; 0); С(6,25; 2,5); Д(-9; 3).Слайд 4

2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции у = Слайд 5

а) на отрезке ;

б) на полуинтервале [4; 7);

в) на луче [0; )

3. Решите уравнение по заданному графику: х 2 = х +2. Слайд 6

Учащиеся вспоминают (7 класс) алгоритм решения уравнений данного типа, проговаривая, что является корнем уравнения. Как данное задание мы будем применять на уроке.

Ученики говорят тему урока(на доске записана), формулируют цель,

4. Закрепление материала

Задание 1. Итак, повторив алгоритм решения уравнений графически выполним задание № 13.9 (б).

(ученик у доски, остальные в тетради)

= 6 – х;

1) Рассмотрим две функции у = и у = 6 — х

2) Построим график функции у = ,

х 0 1 4
у 0 1 2

3) Построим график функции у = 6 – х,

х 0 2
у 6 4

4) По графику устанавливаем, что графики пересекаются в одной точке А(4; 2). Проверим принадлежность данной точки нашим функциям.

Ответ: х = 4. Слайд 7

Задание 2 Решить уравнение графически: два человека у доски остальные на местах выполняют соответственно свои варианты самостоятельно. Совместно устраняют в ходе проверки обнаруженные пробелы (на доске и на листах учеников готовая памятка с построенным графиком линейной функции). Построение графика квадратного корня ученики выполняют самостоятельно. И записывают ответ.

Памятка 1 вариант

а) – = х – 2

х	0	1
у	-2	-1

Оцените себя, отметив уровень этого показателя. Понимание: – ______________+

Памятка 2 вариант

б) — = 2 – 3х

х	0	1
у	2	-1

Оцените себя, отметив уровень этого показателя. Понимание: – ______________+

Задание 3. Решить графически систему уравнений

(работа выполняется в парах используя приложение № 2)

После выполнения задания учащиеся проверяют свое решение, сравнивая с эталоном. Слайд 8

Встаньте те кто справился с данным заданием.

Физкультминутка для глаз. Слайд 9

Задание 4. Работа в группах(задания дифференцированы, приложение 3): Слайд 10

Задание 1 группе: Докажите, что графики функций у = и у = х + 0,5 не имеют общих точек. Слайд 11

Чтобы доказать, что графики функций y = и у = х + 0,5 не имеют общих точек, достаточно их построить.

Задание 2 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = х + b Слайд 12

а) Построим график функции y = и будем относительно него передвигать прямые вида y = x + b. Это параллельные прямые, которые образуют острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

Таким образом, очевидно, что уравнение = x + b может иметь один, два корня, а может и не иметь корней.

Задание 3 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = — х + b

Прямые вида y = –x + b – это параллельные прямые, которые образуют тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.

Получаем, что уравнение = –x + b имеет либо один корень, либо не имеет корней.

Обсуждение решений каждой группы.( Для готовых графиков квадратного корня на интерактивной доске учащиеся показывают свои решения)

5. Тренировочная самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

1 . По графику функции у = найдите:

а) значение функции при х = 3, у =____

б) значение аргумента, которому соответствует значение y = 1,8; х = _____

2. Принадлежит ли графику функции y = точка:

а) А (36; 6); ______ б) В (–9; 3)_______?

3. Решите уравнение графически — = — х

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

В а р и а н т 2

1. По графику функции y = найдите:

а) значение функции при х = 5; у =

б) значение аргумента, которому соответствует значение у = 1,5; х =

2. Принадлежит ли графику функции y = — точка:

а) А (81; -9)______ б) В (–16; 4)_______

3. Решите уравнение графически = х

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

Проверяем работу с помощью эталона. Слайд 13 Выясняем проблемы по данной теме.

6. Постановка домашнего задания.

№ 13.9(г), № 13.11(г), № 13.16(рис 7 опишите свойства функции)

7. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

8. Итог урока.

Урок я хочу закончить словами древнегреческого ученого Фалеса:

Что быстрее всего? – Ум

Что мудрее всего? – Время

Что приятнее всего? Достичь желаемого.

Я думаю, мы с вами достигли желаемого? Еще раз вспомнли функцию квадратного корня из неотрицательного числа и применили алгоритм решения уравнения графически к этой функции. Но ребята, кроме у = в дальнейшем мы будем рассматривать более сложные функции, например у = у = -1 у = +5.