Гипербола
Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).
Функция заданная формулой \(y=\frac
Определение гиперболы.
График функции \(y=\frac
Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:
гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы. 
Пример №2:
$$y=\frac<1>
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота
Находим вторую асимптоту.
Дробь \(\color
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1): 
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
Остается y≠1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1): 
3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:
Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат. 
4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:
Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.
Вторая ось симметрии это прямая y=-x.
5. Гипербола нечетная функция.
6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:
а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.
в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5
г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).
д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).
е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞). 
7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment
Урок алгебры в 8-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»
Разделы: Математика
Всякое учение и всякое обучение основано на некотором уже ранее имеющемся знании.
Цели:
- обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения;
- научить решать уравнения графическим способом, в частности используя возможности компьютерных программ;
- учить анализировать, выделять главное, сравнивать.
Формирование компетенций: компетенции самосовершенствования – саморегулирование и саморазвитие, речевое развитие (через устную и самостоятельную работу, формулировка выводов); компетенции социального взаимодействия – сотрудничество; компетенции в общении – устном, письменном; компетенции познавательной деятельности – постановка и решение познавательных задач, проблемные ситуации (их создание и разрешение), прогнозирование деятельности; компетенции информационных технологий – приём, переработка и выдача информации, компьютерная грамотность.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Средства обучения: компьютер, медиапроектор, презентация (Приложение 1).
Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная, диалог, работа с текстом слайда, работа в тетради, парная.
Методы: наглядный, словесный, графический (практический).
Методы мотивации: поощрение, порицание; создание проблемной ситуации, побуждение к поиску решения; предъявление учебных требований, прогнозирование будущей деятельности, самооценка деятельности; создание ситуации взаимопомощи, заинтересованность в результатах коллективной работы.
1. Оргмомент (1 мин.)
2. Актуализация знаний (12 мин.)
А). По карточкам (на доске):
№1. Решите уравнение 4х + 8 = –17 + 9х.
№2. Решите уравнение х 2 + х – 2 = 0.
№3. Решите уравнение х 2 = 
.
№4. Заполните таблицу:
| х | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у = х 2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| х | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |
| у = | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |
(На этом этапе можно организовать взаимопроверку и взаимопомощь, если возникнет такая необходимость).
Б). Устная фронтальная работа. (Здесь и далее: подчёркивание – моменты управления презентацией)
Что называется функцией?
С какими функциями уже знакомы? (На партах – памятка, по которой учащиеся вспоминают связь между графиком и формулой, задающих функцию: Приложение 2).
Я предлагаю вашему вниманию формулы, задающие некоторые функции. Из этих функций нужно выбрать линейные. Но перед этим давайте вспомним определение линейной функции. (Работаем со слайдом 2).
Давайте вспомним, что является графиком (гиперссылка) линейной функции.
Среди выбранных нами линейных функций есть особенные. Что это за функции? Чем отличаются графики? (Разбейте линейные функции на две группы). (Работаем со слайдом 3).
Остались функции, о которых мы ничего ещё не сказали. Давайте дадим им название, и название их графикам. (Работаем со слайдом 4).
Что называется уравнением? Корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие уравнения мы уже можем решать?
В) Проверяется работа по карточкам №1; №2; №3.
1) 4х + 8 = –17 + 9х,
4х – 9х = – 17 – 8,
– 5х = – 25,
х = 5.
Ответ: 5.
2) х 3 + х – 2 = 0,
D = в 3 – 4ас = 12 – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0, уравнение имеет два корня.
х1 = 1;
х2 = – 2.
Ответ: 1; – 2. (Могут решать по свойству корней: а + в + с = 0).
3) х 2 = ,
х 3 = 6,
х 3 – 6 = 0. – Мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени. Как быть?
Значит, нужен другой способ решения таких уравнений. Как вы думаете, что это может быть за способ (исходя из устной работы). Одним из способов является графический способ. Записывается тема урока, (слайд 5).
Г). Давайте поставим цель урока. (Научиться решать уравнения с помощью графиков, слайд 6).
3. Изучение новой темы и первичное закрепление (15 мин.)
Мы получили уравнение х 3 – 6 = 0. Но строить график функции у = х 3 – 6 мы ещё не умеем. Т.е., что получается: это уравнение и графическим способом мы не можем решить? А может быть, нужно вернуться к первоначальному уравнению: х 2 = (слайд 7). Что мы видим внутри этого уравнения? Есть ли выражения, из которых мы можем составить знакомые нам функции? (Да: у = х 2 и у = ). Что нужно сделать?
– Построить их графики.
– В одной координатной плоскости.
– Дальше найдём координаты точки пересечения.
– Нет, только значение х.
Итак, давайте ещё раз выработаем алгоритм решения уравнений графическим способом (каждый этап подтверждается показом в «Живой геометрии», Приложение 3). Используются результаты индивидуальной работы по заполнению таблицы (карточка №4). Учащиеся работают в тетрадях. Некоторые этапы в тетради записываются подробно, (слайд 7).
- Из уравнения выделяем знакомые нам функции.
- Строим графики функций в одной координатной плоскости.
- Находим координаты точек пересечения графиков.
- Из найденных координат выбираем значение абсциссы, т.е. х.
- Записываем ответ.
4. Физминутка (1 мин.)
5. Закрепление (5 мин.)
- Сколько корней имеет уравнение? (Гиперссылка – слайд 8, в «Живую геометрию», 3 страницы. Приложение 4). а)
б) х + 2 = х 2 ; в) = х 2 . - Попади в цель! (Слайд 9. Работа со слайдом показана на рисунке 1)
б) х + 2 = х 2 ; в) 
= х 2 .
6. Домакшнее задание (слайд 10): (1 мин)
- п.26;
- № 623 (а), № 624(а);
- №4.10 на стр.117 (сборник Л.В.Кузнецовой): Наташа, Настя, Кирилл, Сергей.
7. Применение в образовательной области (1 мин)
Умения строить графики, читать графики, находить точки пересечения графиков нужны не только при изучении алгебры, но и при изучении физики, когда вы изучаете, н-р, зависимость плавления тела от температуры, зависимость скорости от времени движения двух тел. На уроках информатики, работая в электронных таблицах Excel, вы будете учиться строить графики, решать уравнения. На уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Умение строить графики, диаграммы нужны и в повседневной жизни: для описания результатов голосования, удоя молока; в инженерных специальностях это умение очень важно.
8. Проверочная работа в виде теста (6 мин)
В – 1:
1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:
а) у =
– 2; б) у = х – 2; в) у = х 2 – 2.2. График функции у = 
называется:
а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.
3. Установите соответствие между функциями и их графиками:
1) у =
; 2) у = 2х 2 ; 3) у = х – 2; 4) у = 2х.А. Б. В. Г. 
4. На рисунке 3 изображены графики функций у = х 3 и у = –2 х – 3. Используя графики, решите уравнение: х 3 = – 2х – 3.
В – 2:
1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:
а) у =
+ 1; б) у = 
+ 1; в) у = х 5 + 1.2. График функции у = 3х 2 называется:
а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.
3. Установите соответствие между функциями и их графиками:
1) у = –
А. Б. В. Г. 
4. На рисунке 5 изображены графики функций у = – х 2 + 2 и у = . Используя графики, решите уравнение: – х 2 + 2 = .
Ответы:
В – 1: 1. б 2. б 3. 1 – Б; 2 – А; 3 – В; 4 – Г 4. б
В – 2: 1. а 2. в 3. 1 – В; 2 – Г; 3 – А; 4 – Б 4. а
9. Рефлексивно-оценочный этап (отвечают письменно в тетради после выполнения теста) (2 мин.) (Слайд 11)
а) за теоретический опрос;
б) за фронтальную работу;
в) за самостоятельную работу.
Гипербола: определение, функция, формула, примеры построения
В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.
Определение и функция гиперболы
Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:
- x – независимая переменная;
- k ≠ 0;
- при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
- при k 0)
- y = -x (при k Алгоритм построения гиперболы
Пример 1
Дана функция y = 4 /x. Построим ее график.
Решение
Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.
Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.
| 0,5 | 8 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 8 | 0,5 |  Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y.
|
