2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13
Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.
Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.
В предыдущих сериях:
В это части будут рассмотрены:
2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена).
2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции.
2.12. Mетод переменных состояния.
2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния.
Попробуем применить, полученные знания на практике, создавая и сравнивая расчетные модели в разных видах. Будет интересно познавательно и жестко.
2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена)
Рассмотрим динамическое звено САР изображенное на рисунке 2.9.1
Предположим, что уравнение динамики имеет вид:
где: 
— постоянные времени;
— коэффициент усиления.
Пусть известны отображения:
Найдем изображения для производных: 
Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:
B(s) — слагаемое, которое определяется начальными условиями, при нулевых начальных условиях B(s)=0.
W(s) — передаточная функция.
Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного сигнала к входному воздействию при нулевых н.у.
После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.
Пример
Построить выходной сигнал звена САР при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях, если уравнение динамики звена имеет следующий вид:
входное воздействие: 
— единичное ступенчатое воздействие.
Выполним преобразование Лапласа:
Подставим в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:
Для получения выходного сигнала из уравнения в изображениях выполним обратное преобразования Лапласа:
2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
Определение: Весовой функцией звена (системы) называется реакция системы при нулевых н.у. на единичное импульсное воздействие.
Определение: Переходной функцией звена (системы) при н.у. называется реакция на единичное ступенчатое воздействие.
На этом месте можно вспомнить, что преобразование Лапласа это интеграл от 0 до бесконечности по времени (см. предыдущий текст), а импульсное воздействие при таком интегрировании превращается в 1 
тогда в изображениях получаем что:
Передаточная функция играет роль изображения реакции звена или системы на единичное импульсное воздействие.
Для единичного ступенчатого воздействия преобразование Лапласа тоже известно (см. предыдущий текст):
тогда в изображениях получаем, что реакция системы 
на ступенчатое воздействие, рассчитывается так:
Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие рассчитывается обратным преобразованием Лапласа:
2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции. Формула Дюамеля-Карсона
Предположим, что на вход системы поступает произвольное воздействие x(t), заранее известное. Найти реакцию системы y(t), если известны входное воздействие x(t) и весовая функция w(t).
Представим, что входное воздействие представляет собой последовательность прямоугольных импульсов до времени t и ступеньки высотой x(t) в момент времени t. см.рис. 2.11 Для каждого импульса мы можем записать реакцию системы через весовую функциию:
где:
— значение отклика по завершению предыущего импульса;
— время завершения текущего импульса;
— значение весовой функции в начале текущего импульса.
Тогда для определения занчения отклика в произвольный момент времени необходимо сложить все импульсы и ступенчатое воздействие в момент времени t:
Переходя к пределам
если перейти от t к бесконечности мы получим формулу интеграла Дюамеля-Карсона, или по другому «интеграла свертки» который обеспечивает вычисление оригинала функции по произвдению изображения двух функций:
где 
— вспомогательное время
Для вывода аналогичной зависмости от переходной функции вспомним что изображение весовой и переходной функции связаны соотношением: 
запишем выражение изображения для отклика в операторной форме:
Используя интеграл свертки получаем, что при известной переходной функции (h(t)) и известному входному воздействию х(t) выходное воздействие рассчитывается как:
2.12. Mетод переменных состояния.
До этого мы рассматривали системы с одной передаточной функцией, но жизнь всегда сложнее и как правило в системах есть несколько передаточных функций несколько входных воздейстий и несколько реакций системы. (см. рис. 2.12.1)
В этом случае наиболее удобной формой пердставления систем для их анализа и расчета оказался метод переменных состояния. Для этого метода, вместо передаточных функций связывающих вход с выходом используются дополнительные переменные состояния, которые описывают систему. В этом случае можно говорить, что состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно. см. рис. 2.12.2
В методе состояний, производные всех переменных состояния, в общем случае зависит от всех переменных и всех входных воздействия, и могут быть записаны в представленной ниже системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первой степени. Эта система уравнений называю системой ОДУ в форме Коши:
Выход из системы зависит от переменных состояния и, в общем случае от входных воздействий и описывается следующей системой уравнений:
где:
n — количество перемнных состояния,
m — количество входных воздействий,
p — количество выходных переменных;
Данная система уравнений может быть записана в матричной форме:
где:
— вектор входа (или вектор управления);
— вектор столбец производных переменных состояния;
— вектор столбец переменных состояния;
— вектор выхода;
— собственная матрица системы [n x n],
— постоянные коэффициенты;
— матрица входа [n x m],
— постоянные коэффициенты;
— матрица выхода а [p x n],
— постоянные коэффициенты;
— матрица обхода [p x m],
— постоянные коэффициенты;
В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми: D = 0.
Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать различные технические системы. Явная формула для расчета производных позволяет достаточно просто осуществлять численное интегрирование по времени. И это используется в различных программах моделирования
Другое использование данного представления для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.
Еще одним преимуществом данного описания, является то, что уравнения в форме Коши можно получить из законов физики
Пример решения задачи в форме коши.
Рассмотрим задачу моделирования гидравлического привода, при следующих условиях:
Дано:
Цилиндрический плунжер диаметром 10 мм, с приведенной массой 100 кг, работает на пружину жесткостью 200 Н/мм и демпфер с коэффициентом вязкого трения — 1000 Н/(м/с). Полость начальным объемом 20 см 3 соединяется с источником давлния дросселем диаметром диаметр которого 0,2 мм. Коэффициент расхода дросселя 0.62. Плотность рабочей жидкости ρ = 850 кг/м 3 .
Определить:
Перемещение дросселя, если в источнике давление происходит скачек 200 бар. см. рис. 2.12.13
Уравенение движение плунжера:
Где: 
– площадь плунжера, 
– жесткость пружины, 
– коэффициент вязкого трения, p – давление в камере.
Поскольку дифференциальное движения это уравнение второго порядка, превратим его в систему из двух уравнений первого порядка, добавив новую переменную — скорость 
, тогда 
Уравнение давления в камере, для упрощения принимаем что изменениям объема камеры из-за перемещения плунжера можно пренебречь:
Где: Q – расход в камеру, V — объем камеры.
Расход через дроссель:
Где: f– площадь дросселя, 
– давление в источнике, p – давление в камере.
Уравнение дросселя не линейное, по условию задачи, давление входное изменяется скачком, от 0 до 200 бар, проведем линеаризацию в окрестности точки давления 100 бар тогда:
Подставляем линеаризованную формул расхода в формулу давления:
Таким образом общая система уравнений в форме Коши, для рис 2.12.3 привода принимает вид:
Матрицы A, B, С, В для матричной формы системы уравнений принимают вид:
Проверим моделированием в SimInTech составленную модель. На рисунке 2.12.13 представлена расчетная схема содержащая три модели:
1 — «Честная» модель со всеми уравнениями без упрощений.
2 — Модель в блоке «Переменные состояние» (в матричной форме).
3 — Модель в динамическом блоке с линеаризованным дросселем.
Все условия задачи задаются как глобальные константы проекта, в главном скрипте проекта, там же расчитываются на этапе инициализации расчета, площади плунжера и проходного сечения дросселя см. рис. 2.12.5:
Рисунок 2.12.5 Глобальный скрипт проекта.
Модель на внутреннем языке программирования представлена на рис. 2.12.6. В данной модели используется описание модели в форме Коши. Так же выполняется учет изменения объема дросселя на каждом шаге расчета, за счет перемещения плунжера (Vk = V0+Ap*x.)
Рисунок 2.12.6 Скрипт расчета модели в форме Коши.
Модель в матричном форме задается с использованием глобальных констант в виде формул. (Матрица в SimInTech задается в виде последовательности из ее столбцов) см. рис. 2.12.7
Результаты расчета показывают, что модель в матричной форме и модель на скриптовом языке в форме Коши, практически полностью совпадают, это означает, что учет изменения объема полости практически не влияют на результаты. Кривые 2 и З совпадают.
Процедура линеаризация расхода через дроссель вызывает заметное отличие в результатах. 1-й график c «честной» моделью дросселя, отличается от графиков 2 и 3. (см. рис. 2.12.8)
Сравним полученные модели, с моделью созданной из библиотечных блоков SimInTech, в которых учитываются так же изменение свойств реальной рабочей жидкости — масла АМГ-10. Сама модель представлена на рис. 2.12.9, набор графиков на рисунке 2.12.10
На графиках видно, что уточненная модель отличается от предыдущих, однако погрешность модели составлят наших упрощенных моделей составляют примерно 10%, в лишь в некоторые моменты времени.
2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно
Рассмотрим несколько вариантов перехода от описания «вход-выход», к переменным состояния:
Вариант прехода зависит от правой части уравнения с переменными «вход-выход»:
2.13.1. Правая часть содержит только b0*u(t)
В этом варианте, в уравнениях в правой части отсутствуют члены с производными входной величины u(t). Пример с плунжером выше так же относится к этому варианту.
Что бы продемонстрировать технологию перехода рассмотрим следующее уровнение:
Для перехода к форме Коши ведем новые переменные:
И перепишем уравнение относительно y»'(t):
Используя эти переменные можно перейти от дифференциального уравнения 3-го прядка, к системе из 3-х уравнений первого порядка в форме Коши:
Соотвественно матрицы для матричного вида уравнений в переменных сосотяния:
2.13.2. Правая часть общего вида
Более сложный случай, когда в уравнениях есть производные от входных воздействий и уравнение в общем случае выглядит так:
Сделаем преобразования: перейдем к уравнениям динамики в изображениях:
Тогда можно представить уравнение в изображениях в виде:
Разделим уравнение в изображениях на произведение полиномов 
, получим:
Где: 
— некоторая комплексная величина (отношение двух комплексных величин). Можно считать, что отображение величины 
. Тогда входная величина может быть в изображениях представлена как:
Вренемся к оригиналу от изображений получим: 
,
где: 
— дифференциальный оператор.
А это дифференциальное уравнение n-го порядка мы можем преобразовать к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка, как это мы делали выше:
Таким образом, мы получили систему уравнение в форе Коши, относительно переменных состояния 
:
А регулируемую величину (выход системы) мы так же можем выразить через эти переменные, в изображениях:
Перейдем от изображения к оригиналам:
Если обозначить вектор 
, то мы получим уравнения переменных состояниях в матричной форме, где D = 0:
Пример:
Рисунок 2.13.1 Передаточная функция.
Имеется передаточная функция (рис. 2.13.1) в изображениях :
Необходимо преобразовать передаточную функцию к системе уравнений в форме Коши
В изображения реакция системы связана с входным воздействие соотношением:
Разделим в последнем правую и левую часть на произведения 
, и введем новую перменную 
:
Полиномы N(s) и L(s) равны:
Перейдем в последнем выражении от изображения к оригиналам и ведем новые переменные (состояния):
Переходим от уравнения третьего порядка к системе трех уравнений первого порядка:
Или в матричной форме:
Для получения второго матричного уравнения воспользуемся соотношением для новых переменных в отображениях:
Перейдем от изображений к оригиналу:
Таким образом второе уравнение матричной системы выглядит так:
Проверим в SimInTech сравнив передаточную функцию и блок переменных состояния, и убедимся, что графики совпадают см. рис. 2.13.2
Рисунок 2.13.2 Сравнение переходного процеса у блока передаточной функции и блока переменных состояния.
Как из диф уравнения получить передаточную функцию
Понятие линейного динамического звена
САУ удобно представлять для анализа и при синтезе в виде взаимосвязанной совокупности отдельных элементов динамических звеньев.
Под динамическим звеном понимают в общем случае абстрактное устройство, имеющее вход и выход, и для которого задано уравнение, связывающее сигналы на входе и выходе, как это показано на рис. 1.
Подробное изучение свойств реальных объектов управления и систем автоматического управления приводит к описанию динамических звеньев в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Но во многих случаях их можно линеаризовать, то есть заменить нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системах. Тем самым осуществляется декомпозиция задач анализа и синтеза систем, то есть первоначально используют линейное представление, а затем осуществляют учет вносимых нелинейностями особенностей. Такому подходу способствует то, что, в большинстве случаев, нормально функционирующая система работает в режиме малых отклонений, при которых нелинейности не проявляются. В дальнейшем мы будем рассматривать преимущественно аппарат изучения линейных систем, а особенности систем других классов: нелинейных, импульсных, цифровых и стохастических, будут излагаться позднее в других учебных дисциплинах.
Если уравнение, связывающее сигналы 
и 
, линейно, то говорят о линейном динамическом звене
Уравнение линейного динамического звена имеет следующий общий вид:
где 
— постоянные коэффициенты, 
.
Использовать такое описание динамического звена в задачах анализа и синтеза систем и объектов управления не рационально, поэтому существуют и иные формы описания и представления динамических звеньев и систем в целом.
Подвергнем уравнение (1) преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями по Лапласу
.
Используя теоремы преобразования Лапласа линейности и дифференцирования, получим операторное уравнение, связывающие изображения входного и выходного сигналов
Преобразуем уравнение (2) к следующему виду
Получим из (3) отношение изображений выходного и входного сигналов
Отношение (4) не зависит от изображений сигналов, определяется только параметрами самого динамического звена (
), имеет вид дробно-рациональной функции.
Отношение изображений выходного и входного сигналов называют передаточной функцией динамического звена
.
,
называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.
Определим передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме
По второму закону Кирхгоффа запишем уравнения описывающие схему
С учетом того, что
,
Получим операторные уравнения
Из второго уравнения выразим значение изображения тока
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы
.
В итоге получаем искомую передаточную функцию
.
Графически передаточные функции динамического звена представляют в следующем виде:
Если известно изображение входного сигнала и передаточная функция динамического звена, всегда можно найти изображение выходного сигнала при нулевых начальных условиях
.(5)
В общем случае САУ состоит из множества динамических звеньев, сигналы с выходов звеньев могут суммироваться или вычитаться, суммироваться с внешними для САУ сигналами. Суммирование и вычитание изображений сигналов могут быть представлено графически с помощью суммирующих звеньев:
Показанная выше неоднозначность графического представления вычитания изображений на суммирующем элементе связана с различием в стандартах разных стран.
Используя графическое представление передаточных функций звеньев и суммирующие звенья, можно в графической форме представить операторные уравнения, описывающие САУ. Такое графическое представление операторных уравнений в ТАУ называют структурной схемой.
По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта.
Получим систему операторных уравнений, подвергнув исходную систему дифференциальных уравнений преобразованию Лапласа и заменив оригиналы изображениями,
Из первого уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим
.
Тогда передаточная функция этого звена имеет вид
,
а выражение 
описывает суммирующее звено 
. Таким образом, получены два фрагмента структурной схемы
Из второго уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим, вводя обозначение,
.
Тогда передаточная функция этого звена имеет вид
,
а выражение 
описывает суммирующее звено 
. Таким образом, получены еще два фрагмента структурной схемы
Соединим все фрагменты структурной схемы объекта управления, объединяя одноименные сигналы, либо разветвляя их с помощью точек ветвления , показанных на схеме. В результате получим
Временные характеристики динамического звена
Временной или импульсной характеристикой динамического звена называют реакцию звена на 
, обозначая ее как 
. При этом схема эксперимента имеет вид
Выясним, что представляет собой временная характеристика, то есть почему ее называют характеристикой динамического звена?
Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией 
В этом случае, в соответствии с (5), имеем
.
Получаем, что передаточная функция звена это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического звена. В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции
,
при использовании разложения в форму Хэвисайта и обратное преобразование Лапласа.
Знание импульсной характеристики позволяет определить реакцию динамического звена на сигнал любой формы.
Для динамического звена с передаточной функцией 
преобразуем (5), используя теорему об умножении изображений преобразования Лапласа,
,
а если легко получить 
, тогда
.
Переходной характеристикой или переходной функцией динамического звена называют реакцию динамического звена на 
, обозначая ее как 
. При этом схема эксперимента имеет вид
Для анализа переходной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией 
В этом случае, в соответствии с (5), имеем
.
По теореме об интегрировании оригинала имеем
Переходная функция является интегралом по времени от импульсной характеристике и наоборот
.
Переходная характеристика динамического звена может быть определена по передаточной функции
Контрольные вопросы и задачи
Что такое линейное динамическое звено?
Как определить передаточную функцию линейного динамического звена?
Перечислите основные элементы структурных схем систем управления.
Как определить по передаточной функции динамического звена его временные характеристики: импульсную и переходную?
Как по переходной характеристике определить импульсную характеристику динамического звена?
Определите передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме
.
Определите передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме
.
По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта.
Как из диф уравнения получить передаточную функцию
Глава 4. Динамические свойства САР
4.1. Дифференциальные уравнения и передаточные функции САР
Динамические свойства системы можно описать аналитическими или экспериментальными характеристиками. К первым относятся дифференциальные уравнения и передаточные функции. Дифференциальные уравнения
где а и b – постоянные коэффициенты;
m≤n – целые числа.
Постоянные коэффициенты характеризуют параметры системы.
П е р е д а т о ч н а я функция W(p) – это отношение преобразования Лапласа для выходной величины к преобразованию Лапласа для входной величины при нулевых начальных условиях. Формально W(p) представляет собой более удобный вид записи дифференциального уравнения с заменой операции дифференцирования умножением на оператор р =(d/ dt ).
Преобразования Лапласа позволяет заменить функцию вещественного переменного, например, времени f(t), функцией комплексного переменного F(p) при помощи интеграла
В преобразовании Лапласа функция вещественного переменного f(t) называется оригиналом, функция комплексного переменного F(p) называется изображением. Переход от оригинала f(t) к изображению F(p) записывается в виде прямого преобразования Лапласа
переход от изображения к оригиналу записывается в виде обратного преобразования Лапласа
Каждой операции над оригиналом соответствует определенная операция над изображением. В частности, операциям дифференцирования и интегрирования оригиналов соответствуют более простые операции умножения и деления изображений на оператор р в степени, соответствующей порядку производной или кратности интеграла.
Обозначив преобразование Лапласа для х(t) через x(p) и для y(t) через y(p) т.е. x(p)=L[x(t)] , y(p)=L[y(t)]. Применив преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению системы при нулевых начальных условиях, получим уравнение САР в операторной форме
C уравнением в операторной форме можно выполнять любые действия как с обыкновенным алгебраическим уравнением, и, в частности, вычислить
Таким образом, передаточная функция вычисляется из дифференциального уравнения как частное от деления оператора К( р) его правой части на оператор H(p) левой части. При р =0, в установившемся режиме, W(0) =b0/a0 =K – передаточная функция становится равной статическому коэффициенту передачи. Для линейных систем передаточная функция (как и диф . уравнение) исчерпывающе характеризует реакцию системы на любые возмущения, так как W(p) не зависит от формы возмущения. Зная W(p), можно определить y(p) и y(t):
( т.е. чтобы определить реакцию системы y(t), необходимо найти изображение возмущения x(p), умножить его на передаточную функцию, а затем перейти от изображения к оригиналу. Пользуясь этим правилом, можно установить, как проходит через линейную систему сигнал любой формы.
4.2.Экспериментальные динамические характеристики САР
В ряде случаев динамические свойства достаточно полно могут быть описаны экспериментальными характеристиками. Экспериментальные динамические характеристики показывают, как реагирует система на типовые стандартные возмущения -с тупенчатое, импульсное, гармоническое. Рассмотрим динамические характеристики, имеющие наибольшее практическое значение.
Переходная характеристика h(t) — (рис.16) описывает реакцию системы на типовое ступенчатое однократное
Рис.16 – Переходная характеристика САР
скачкообразное возмущение, т.е. переходной процесс, вызванный этим возмущением. Для t const . Обычно рассматривается единичное ступенчатое возмущение u(t)=x(t)=1 при t ≥0. Это возмущени является наиболее распространенным на практике (мгновенный сброс или приложение нагрузки, скачок температуры, давления, напряжении т.п.). По виду h(t) можно определить общие динамические свойства системы. Аналитическое уравнение переходной функции h(t) можно получить, решая диф . уравнение системы при x(t)=1(t) и нулевых начальных условиях. Связь между h(t) и W(p) устанавливается следующим образом. Изображение по Лапласу единичной функции L[u(t)]=1/p соответствует изображение выходной величины
Переходя от изображения к оригиналу получим
т.е. для нахождения переходной функции необходимо умножить передаточную функцию на 1/p, а затем найти оригинал этого изображения.
Частотные характеристики ( ЧХ) описывают реакцию системы в установившемся состоянии на входное возмущение, представляющее собой периодическую функцию времени, т.е. линейную комбинацию sin ωt , cos ωt , где ω=2πf -круговая частота.
Рис.17 – Типы возмущений 
На практике необходимо знать реакцию системы на наиболее часто встречающиеся возмущения типа прямоугольная (рис.17,а), треугольная (рис.17,б), трапецеидальная (рис.17,в) волна и др. Получить аналитическое описание таких возмущений довольно сложная задача. Поэтому такие возмущения разлагаются в ряды Фурье и реакция САР исследуется на гармонические составляющие этого разложения.
Рассмотрим основные виды частотных характеристик и их физический смысл. Если на вход линейной САР подать гармонические возмущения вида x(t)= X·sin ( ωt ), или в показательной форме записи комплексного числа
то после завершения переходного процесса на выходе установятся гармонические колебания (рис.18),
или в показательной форме записи комплексного числа
Рис.18 – Переходной процесс в САР 
Частота колебаний на входе и выходе совпадают, но их амплитуды и фазы в общем случае отличаются. Если при постоянных амплитуде и фазе входных колебаний изменять их частоту и при этом измерять амплитуды и фазы выходных установившихся колебаний, то можно определить следующие общепринятые частотные характеристики:
1)амплитудно–частотная (амплитудная – АЧХ) представляет собой зависимость отношения амплитуды выходных и входных колебаний от частоты
2) фазо – частотная (фазовая – ФЧХ) представляет собой сдвиг по фазе выходных колебаний относительно входных в зависимости от частоты
3) амплитудно — фазовая частотная характеристика (АФЧХ) определяет зависимость от частоты комплексного коэффициента передачи
Рассмотрим теперь способы представления различных ЧХ и их связь между собой и другими динамическими характеристиками. АФЧХ W( jω ) является комплексной величиной. Если принять комплексную форму записи в соответствии с (19) и (20), то получим
W( jω )= [Y· e j( ωt+φ ) ]/ ( X·e jωt )=(Y/X)· e jφ .
Если рассматривать изменение ω в определенном диапазоне (обычно 0 ≤ ω ≤∞), то модуль функции W( jω ) представляет АЧХ, а ее аргумент —Ф ЧХ, т.е.
При использовании алгебраической формы записи комплексного числа W( jω ) можно представить в виде суммы вещественной R(ω) и мнимой I(ω) составляющих
АЧХ и ФЧХ удобно представлять в прямоугольных координатах (рис.19,а ,б ), АФЧХ -в прямоугольных или полярных. В первом случае по оси абсцисс откладывается вещественная часть, а по оси ординат — мнимая часть АФЧХ (рис.19,в).
В полярной системе координат для каждого фиксированного значения ω длина радиус -в ектора равна значению А(ω), а угол между этим вектором и положительной полуосью абсцисс —φ(ω) (рис.19,в).
Рис.19 – Графическое представление частотных характеристик
Изображением АФЧХ служит геометрическое место точек концов радиус-вектора (годограф вектора) в положительной плоскости при изменении ω от 0 до +∞. Для частоты— ∞
Связь между W( jω ) и передаточной функцией W(p) устанавливается с помощью интегрального преобразования Фурье F( jω ) для периодической функции времени f(t), записываемого в комплексной форме
Преобразования Фурье и Лапласа имеют одну и ту же математическую форму и все операции, относящиеся к прямым и обратным преобразованиям Лапласа, распространяются и на преобразование Фурье. Для нахождения преобразования Фурье для функции f(t) достаточно найти ее преобразование Лапласа и в него вместо оператора р подставить jω :
Значение для АФЧХ можно получить из W(p) путем подстановки в него вместо р комплексной переменной jω : W( jω )=W(p)p= jω .
4.3.Логарифмические частотные характеристики
Построение и применение ЧХ ( амплитудной и фазовой) значительно упрощается при использовании логарифмического масштаба. Амплитудная ЧХ, построенная в логарифмическом масштабе, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой —Л АЧХ. При построении ЛАЧХ единицей измерения для оси абсцисс принимается декада, т.е. десятикратное изменение частоты (например, интервал ω от 0,1 до 1) и октаву — двухкратное изменение частоты. Модуль IW( jω )I отсчитывается в логарифмических единицах децибеллах (рис.20). Обозначив ЛАЧХ через L(ω), можно получить ее значение из ординат амплитудно-частотной характеристики А (ω).
Рис.20 –Логарифмический масштаб для ЛАЧХ 
Децибел является единицей логарифмической относительной величиной. Изменению отношения двух величин в 10 раз соответствует изменение усиления на 20 децибелл . Так как АЧХ А( ω) представляет собой отношение двух амплитуд: амплитуды колебаний на выходе к амплитуде колебаний на входе, то изменению усиления на 20 децибелл соответствует изменению отношения двух амплитуд в 10 раз.
А(ω) 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000
L(ω) ,дб -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
Если отношение двух величин рано единице, то усиление равно нулю, т.к. lg 1=0. Это означает, что амплитуды выходных и входных колебаний равны между собой. В случае, когда отношение двух величин меньше единицы, усиление в логарифмическом масштабе будет отрицательным. Отрицательное усиление означает ослабление сигнала или уменьшение амплитуды выходных колебаний по сравнению с амплитудой колебаний на входе. Логарифмическая фазовая частотная характеристика ЛФЧХ строится в полулогарифмическом масштабе — по оси абсцисс откладывается ω в логарифмическом масштабе в декадах, по оси ординат —φ, в угловых градусах или радианах -л инейный масштаб. Логарифмические частотные характеристики получили широкое применение в автоматике. Они дают наиболее простой и наглядный способ построения ЧХ, т.к. позволяют аппроксимировать экспериментальные ЧХ, имеющие вид плавной кривой, ломаной кривой, отрезки которой являются асимптотическими прямыми, к которым стремиться ЧХ в данном интервале частот.
1.Что описывают дифференциальные уравнения САР?
2.Что такое передаточная функция системы регулирования?
3.В чем заключается преобразование Лапласа?
4.Что описывает переходная характеристика ?
5. Какие Вы знаете частотные характеристики и что они описывают?
6.В чем смысл преобразования Фурье?
7.Что такое ЛАЧХ?
http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3.html
http://www.kstu.kz/wp-content/uploads/2018/05/tsifrovaya-mitallurgiya/el-uch-po-ampr/gl24.htm