Как из матрицы сделать уравнение плоскости

Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители

Сегодня мы разберем очень простой и — не побоюсь этого слова — красивый прием, с помощью которого составляется уравнение плоскости в задаче C2 из ЕГЭ по математике. Урок разделен на две части: теоретическую (что такое определитель и как его считать) и практическую (как с помощью определителя находить уравнение плоскостей). Те, кому не терпится, могут сразу перейти ко второй части — «Уравнение плоскости через определитель».

Если вы до сих пор не сталкивались с определителями, не расстраивайтесь — сегодня мы разберем все, что надо знать об этих объектов для решения задачи C2. А если кто-то из учителей (особенно на пробниках) будет возникать, мол, этого нет в школьной программе, пошлите их читать учебник Калинина «Геометрия 10—11 классы». В этой замечательной книге (довольно объёмной и содержательной, между прочим) все подробно расписано на стр. 450. Итак, поехали!

Что такое матрица и определитель

В этом уроке не будет строгих определений из высшей математики. Потому что они крайне сложны для понимания. Лучше определим их вот как:

• — это просто таблица, заполненная числами. Матрицы бывают квадратными (когда количество строк совпадает с количеством столбцов) и прямоугольными (когда не совпадает);
• — это число, которое находится по специальному алгоритму из чисел, записных в квадратной матрице. У каждого размера матрицы свой алгоритм. Для прямоугольных матриц определитель найти нельзя.

Примеры квадратных матриц размером 2×2, 3×3 и 4×4:

Примеры прямоугольных матриц 2×3, 3×2 и даже 4×1:

Как видите, матрицы бывают разных размеров и обозначаются квадратными скобкам. Внутри них могут стоять совершенно разные числа, в т.ч. отрицательные и нули. Но для решения задачи C2 нам потребуются только квадратные матрицы размером 3×3. Например, такие:

Как считать определитель 3-го порядка

Теперь разберемся с определителями. Чаще всего их обозначают буквой d (от слова determinant). Поскольку нас интересуют только матрицы 3×3, учимся считать определители именно для них. Процедура выглядит довольно просто. Взгляните на картинку:

Что это за пентаграммы? На первом рисунке мы берем три числа, лежащие на диагонали, и перемножаем их. Затем берем другие тройки чисел, лежащие в вершинах треугольников, и тоже перемножаем их между собой. В результате всех этих махинаций мы получим три числа, которые надо сложить (поэтому внизу левой картинки стоит знак плюс).

Теперь разбираемся со второй картинкой. Здесь мы снова берем и перемножаем три числа, но уже на другой диагонали. Так же мы снова берем два треугольника и перемножаем числа, стоящие в их углах (отдельно для каждого треугольника). Полученные три числа опять складываем, а результат вычитаем из первого числа (поэтому внизу справа стоит знак минус).

На первый взгляд, без бутылки не разберешься. Но на практике такие определители считаются очень быстро. Некоторые даже умудряются считать их устно. Чтобы убедиться в этом, давайте попробуем найти пару определителей.

Задача. Найдите определитель квадратной матрицы:

Перемножаем числа. стоящие на первой диагонали (выходит из левого верхнего угла):

Теперь перемножаем числа, стоящие в вершинах треугольников на первом рисунке. Каждую тройку надо считать отдельно:

2 · 6 · 7 = 84;
3 · 4 · 8 = 96.

Осталось сложить полученные числа:

45 + 84 + 96 = 225

Итак, для первого рисунка (отмеченного знаком плюс) мы получили число a = 225.

Переходим ко второй диагонали набору треугольников. Эта диагональ начинается из правого верхнего угла матрицы. Имеем:

Выписываем числа из двух оставшихся треугольников:

2 · 4 · 9 = 72;
1 · 6 · 8 = 48;

Осталось выполнить последние шаги — сложить эти три числа, а полученное число (назовем его b ) вычесть из числа a = 225, найденного ранее:

b = 105 + 72 + 48 = 225;
d = a − b = 225 − 225 = 0.

Получили число d = 0 — это и есть определитель.

Задача. Найдите определитель квадратной матрицы:

В этот раз не будем подробно расписывать каждый шаг. Запишем только то, что действительно надо писать в решении. А именно:

a = 1 · (−2) · 5 + 2 · 3 · 0 + 3 · (−1) · 4 = −10 + 0 − 12 = −22;
b = 3 · (−2) · 0 + 2 · (−1) · 5 + 1 · 3 · 4 = 0 − 10 + 12 = 2;
d = a − b = −22 − 2 = −24.

Вот и все! Число d = −24 — это ответ.

Задача. Найдите определитель квадратной матрицы:

Снова запишем только вычисления:

a = 1 · 6 · (−2) + 0 · 1 · 0 + (−1) · 3 · (−3) = −12 + 0 + 9 = −3;
b = (−1) · 6 · 0 + 1 · 1 · (−3) + 0 · 3 · (−2) = 0 − 3 + 0 = −3;
d = a − b = −3 − (−3) = −3 + 3 = 0.

Из первой и последней задачи следует, что определитель матрицы вполне может равняться нулю. Это свойство как раз и потребуется для решения задачи C2. Точнее, для того, чтобы быстро составлять уравнения плоскостей.

Ну и как составлять эти уравнения? Ответ смотрите во второй части — «Уравнение плоскости через определитель».

Составить уравнение плоскости с помощью матриц

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

С использованием матриц Уравнение плоскости по трем точкам Котова И. Е. МАОУ СОШ №2 Имени Н. А. Тимофеева г.о. Бронницы

Что такое матрица и определитель Матрица — это просто таблица, заполненная числами. Матрицы бывают квадратными (когда количество строк совпадает с количеством столбцов) и прямоугольными (когда не совпадает); Определитель — это число, которое находится по специальному алгоритму из чисел, записных в квадратной матрице. У каждого размера матрицы свой алгоритм. Для прямоугольных матриц определитель найти нельзя.

Как считать определитель 3-го порядка

Что это за пентаграммы? На первом рисунке мы берем три числа, лежащие на диагонали, и перемножаем их. Затем берем другие тройки чисел, лежащие в вершинах треугольников, и тоже перемножаем их между собой. В результате всех этих действий мы получим три числа, которые надо сложить (поэтому внизу левой картинки стоит знак плюс). Теперь разбираемся со второй картинкой. Здесь мы снова берем и перемножаем три числа, но уже на другой диагонали. Так же мы снова берем два треугольника и перемножаем числа, стоящие в их углах (отдельно для каждого треугольника). Полученные три числа опять складываем, а результат вычитаем из первого числа (поэтому внизу справа стоит знак минус).

Вычислить определитель 1 · 5 · 9 = 45 2 · 6 · 7 = 84; 3 · 4 · 8 = 96. 45 + 84 + 96 = 225 3 · 5 · 7 = 105 2 · 4 · 9 = 72; 1 · 6 · 8 = 48; 105 + 72 + 48 = 225 =225 − 225 = 0.

Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 Плоскость задается тремя точками А(х1;у1;z1) В(х2;у2;z2) С(х3;у3;z3) Т(х; у;z) точка с произвольными координатами. Принадлежащая этой плоскости

Проведем векторы и найдем их координаты

Составляем квадратную матрицу Так как вектора лежат в одной плоскости, определитель равен нулю.

Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки A1 = (0, 0, 1); B1 = (1, 0, 0); C1 = (1, 1, 1);

Раскрываем определитель: a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y; b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x; d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1; d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки

В единичном кубе составьте уравнение плоскости (А1EF), где Е – середина В1С1, 1 1 1 F E A1 (1; 0; 1) Е (0,5; 1; 1) Запишем уравнение плоскости (А1EF): х у z

В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 4, а высота – 6. Составьте уравнение плоскости (АDS). Запишем уравнение плоскости (АSD): (2;-2;0) (-2;-2;0) (0;0;6) х y z

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 568 348 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

2.1. Расстояние от точки до плоскости

Другие материалы

• 21.01.2020
• 460
• 1

• 21.01.2020
• 1747
• 159

• 21.01.2020
• 302
• 6

• 20.01.2020
• 221
• 2

• 20.01.2020
• 323
• 0

• 20.01.2020
• 1234
• 128

• 19.01.2020
• 220
• 1

• 19.01.2020
• 2066
• 221

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 21.01.2020 977
• PPTX 137.3 кбайт
• 8 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Котова Ирина Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 4024
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

Если заданы координаты точки A( x ₁, y ₁, z ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.