Как из уравнения скорости сделать уравнение движения

Уравнение движения тела. Все виды уравнений движения

Понятие «движение» определить не так уж просто, как это может показаться. С житейской точки зрения, это состояние является полной противоположностью покоя, но современная физика считает, что это не совсем так. В философии под движением подразумеваются любые изменения, происходящие с материей. Аристотель полагал, что данное явление равносильно самой жизни. А для математика любое перемещение тела выражается уравнением движения, записанным при помощи переменных и цифр.

Материальная точка

В физике перемещение различных тел в пространстве изучает раздел механики, именуемый кинематикой. Если размеры некоего объекта слишком малы в сравнении с расстоянием, которое ему приходится преодолевать вследствие его движения, то он рассматривается здесь как материальная точка. Примером тому может служить автомобиль, едущий по дороге из одного города в другой, птица, летящая в небе, а также многое другое. Подобная упрощенная модель удобна при написании уравнения движения точки, за которую принимается определённое тело.

Бывают и другие ситуации. Представим, что тот же автомобиль хозяин решил переместить с одного конца гаража в другой. Здесь изменение местоположения сравнимо с размерами объекта. Поэтому каждая из точек автомобиля будет иметь разные координаты, а сам он рассматривается как объёмное тело в пространстве.

Основные понятия

Следует учитывать, что для физика путь, пройденный определённым объектом, и перемещение – совсем не одно и то же, а эти слова не являются синонимами. Уяснить разницу между данными понятиями можно, рассмотрев движение самолёта в небе.

След, который он оставляет, наглядно показывает его траекторию, то есть линию. При этом путь представляет собой её длину и выражается в определённых единицах (к примеру, в метрах). А перемещение – это вектор, соединяющий лишь точки начала и конца движения.

Подобное можно увидеть на рисунке, приведённом ниже, который демонстрирует маршрут машины, едущей по извилистой дороге, и вертолёта, летящего по прямой. Векторы перемещения для этих объектов будут одинаковые, а пути и траектории – разными.

Равномерное движение по прямой

Теперь рассмотрим различные виды уравнений движения. И начнём с самого простого случая, когда некий объект перемещается по прямой с одинаковой скоростью. Это значит, что по истечении равных промежутков времени путь, который он проходит за данный период, не меняется по величине.

Что нам потребуется для описания данного движения тела, вернее, материальной точки, как уже было условлено его называть? Важно выбрать систему координат. Для простоты предположим, что перемещение происходит вдоль некоей оси 0Х.

Тогда уравнение движения: x = х₀ + v_хt. Оно и будет описывать процесс в общем виде.

Важным понятием при изменении местоположения тела является скорость. В физике она является векторной величиной, поэтому принимает положительное и отрицательное значение. Здесь всё зависит от направления, ведь тело может перемещаться по выбранной оси с возрастающей координатой и в противоположную сторону.

Относительность движения

Почему так важно выбрать систему координат, а также точку отсчёта для описания указанного процесса? Просто потому, что законы мироздания таковы, что без всего этого уравнение движения не будет иметь смысла. Это показано такими великими учёными, как Галилей, Ньютон и Эйнштейн. С начала жизни, находясь на Земле и интуитивно привыкнув выбирать её за систему отсчёта, человек ошибочно полагает, что существует покой, хотя для природы не бывает такого состояния. Тело может менять местоположение или оставаться статичным лишь относительно какого-либо объекта.

Мало того, тело может двигаться и находиться в покое одновременно. Примером тому может послужить чемодан пассажира поезда, который лежит на верхней полке купе. Он движется относительно деревни, мимо которой проезжает состав, и покоится по мнению своего хозяина, расположившегося на нижнем сидении у окна. Космическое тело, некогда получив начальную скорость, способно лететь в пространстве миллионы лет, пока не столкнётся с другим объектом. Движение его не будет прекращаться потому, что перемещается оно лишь относительно прочих тел, а в системе отсчёта, связанной с ним, космический путешественник находится в покое.

Пример составления уравнений

Итак, выберем за точку отсчёта некий пункт А, при этом координатной осью пусть будет для нас автомагистраль, находящаяся рядом. А направление её будет проходить с запада на восток. Предположим, что в эту же сторону в пункт В, расположенный за 300 км, пешком отправился путешественник со скоростью 4 км/ч.

Получается, что уравнение движения задаётся в виде: х = 4t, где t – время в пути. Согласно этой формуле, появляется возможность вычислить местонахождение пешехода в любой необходимый момент. Становится понятно, что через час он пройдёт 4 км, через два – 8 и достигнет пункта Б спустя 75 часов, так как его координата х = 300 окажется при t = 75.

Если скорость отрицательна

Предположим теперь, что из В в А едет автомобиль, имея скорость 80 км/час. Здесь уравнение движения имеет вид: х = 300 – 80t. Это действительно так, ведь х₀ = 300, а v = -80. Следует обратить внимание, что скорость в данном случае указывается со знаком «минус», потому что объект перемещается в отрицательном направлении оси 0Х. Через какое время автомобиль достигнет пункта назначения? Это произойдёт, когда координата примет нулевое значение, то есть при х = 0.

Остаётся решить уравнение 0 = 300 – 80t. Получаем, что t = 3,75. Это означает, что автомобиль достигнет пункта В через 3 часа 45 минут.

Необходимо помнить, что координата тоже может быть отрицательной. В нашем случае это оказалось бы, если б существовал некий пункт С, находящийся в западном направлении от А.

Движение с увеличением скорости

Перемещаться объект может не только с постоянной скоростью, но и менять её с течением времени. Движение тела может происходить по очень сложным законам. Но для простоты следует рассмотреть случай, когда ускорение увеличивается на определённое постоянное значение, а объект перемещается по прямой. В данном случае говорят, что это равноускоренное движение. Формулы, описывающие этот процесс, приведены ниже.

А теперь рассмотрим конкретные задачи. Допустим, что девочка, сев на санки на вершине горы, которую мы выберем за начало воображаемой системы координат с направлением оси по наклону вниз, начинает двигаться под действием силы тяжести с ускорением, равным 0,1 м/с 2 .

Тогда уравнение движения тела имеет вид: s_x = 0,05t 2 .

Понимая это, можно узнать расстояние, которое девочка проедет на санках, для любого из моментов перемещения. Через 10 секунд это будет 5 м, а через 20 секунд после начала движения под гору путь составит 20 м.

Как выразить скорость на языке формул? Поскольку v_0x = 0 (ведь санки начали катиться с горы без начальной скорости только под действием силы притяжения), то запись не будет слишком сложной.

Уравнение скорости движения примет вид: v_x= 0,1t. Из него мы сможет узнать, как изменяется этот параметр с течением времени.

К примеру, через десять секунд v_x= 1 м/с 2 , а через 20 с примет значение 2 м/с 2 .

Если ускорение отрицательно

Существует и другой вид перемещения, относящийся к тому же типу. Это движение называют равнозамедленным. В данном случае скорость тела тоже изменяется, но с течение времени не увеличивается, а уменьшается, и тоже на постоянную величину. Снова приведём конкретный пример. Поезд, ехавший до этого с постоянной скоростью 20 м/с, начал тормозить. При этом ускорение его составило 0,4 м/с 2 . Для решения примем за начало отсчёта точку пути поезда, где он начал тормозить, а координатную ось направим по линии его перемещения.

Тогда становится понятно, что движение задано уравнением: s_x = 20t — 0,2t 2 .

А скорость описывается выражением: v_x = 20 – 0,4t. Необходимо заметить, что перед ускорением ставится знак «минус», так как поезд тормозит, и данная величина отрицательна. Из полученных уравнений возможно заключить, что состав остановится через 50 секунд, проехав при этом 500 м.

Сложное движение

Для решения задач в физике обычно создаются упрощённые математические модели реальных ситуаций. Но многогранный мир и явления, происходящие в нём, далеко не всегда вписываются в подобные рамки. Как составить уравнение движения в сложных случаях? Проблема решаема, ведь любой запутанный процесс возможно описать поэтапно. Для пояснения снова приведём пример. Вообразим, что при запуске фейерверков одна из ракет, взлетевшая с земли с начальной скоростью 30 м/с, достигнув верхней точки своего полёта, разорвалась на две части. При этом соотношение масс получившихся осколков составило 2:1. Далее обе части ракеты продолжили двигаться отдельно одна от другой таким образом, что первая полетела вертикально вверх со скоростью 20 м/с, а вторая сразу упала вниз. Следует узнать: какова была скорость второй части в момент, когда она достигла земли?

Первым этапом данного процесса окажется полёт ракеты вертикально вверх с начальной скоростью. Перемещение будет равнозамедленным. При описании понятно, что уравнение движения тела имеет вид: s_x = 30t – 5t 2 . Здесь мы полагаем, что ускорение свободного падения для удобства округляется до значения 10 м/с 2 . Скорость при этом будет описываться следующим выражением: v = 30 – 10t. По этим данным уже возможно вычислить, что высота подъёма составит 45 м.

Вторым этапом движения (в данном случае уже второго осколка) окажется свободное падение этого тела с начальной скоростью, получаемой в момент распадения ракеты на части. При этом процесс будет равноускоренным. Для нахождения окончательного ответа сначала вычисляет v₀ из закона сохранения импульса. Массы тел относятся 2:1, а скорости находятся в обратной зависимости. Следовательно, второй осколок полетит вниз с v₀ = 10 м/c, а уравнение скорости примет вид: v = 10 + 10t.

Время падения мы узнаем из уравнения движения s_x = 10t + 5t 2 . Подставим уже полученное значение высоты подъёма. В результате выходит, что скорость второго осколка приблизительно равна 31,6 м/с 2 .

Таким образом, разделяя сложное движение на простые составные части, можно решать любые запутанные задачи и составлять уравнения движения всех видов.

Уравнение движения, графики равномерного прямолинейного движения

п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой

Система отсчета, с помощью которой можно описать прямолинейное движение состоит из:
1) тела отсчета; 2) координатной прямой; 3) часов для отсчета времени.
Пусть телом отсчета будет дом.
В начальный момент времени машина стоит в 20 м справа от дома.

Рассмотрим движение машины со скоростью 10 м/с вправо.
Направим координатную прямую параллельно вектору скорости, вправо.

Составим таблицу перемещений за первые 4 секунды:

Стартуя с точки x₀=20, машина каждую секунду удаляется от дома еще на 10 м.
Пройденный путь за 2 секунды – 10·2=20 м, за 3 секунды – 10·3=30 м, за t секунд s=vt метров. Значит, для произвольного времени t можем записать координату x в виде: \begin x=x_0+s=x_0+vt\\ x=20+10t \end

Если при тех же начальных условиях и направлении координатной прямой машина будет двигаться влево, получим таблицу:

В этом случае координата x в любой момент времени t имеет вид: \begin x=x_0-st=x_0-vt\\ x=20-10t \end Если же машина никуда не едет, её скорость v=0, и координата x=x₀ в любой момент времени t.

п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения

Зависимость координаты тела от времени в механике называют уравнением движения.
Если уравнение движения известно, то мы можем решить основную задачу механики.

п.3. Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении

При решении задачи можно выбрать различные тела отсчета и связать с ними различные системы координат. Как правило, некоторая система отсчета является наиболее удобной для решения данной задачи в том смысле, что в ней уравнение движения выглядит и решается проще, чем в других системах.

При решении задач на прямолинейное движение телом отсчета может быть неподвижная поверхность (земля, пол, стол и т.п.), само движущееся тело или другое тело.
При этом системой координат является координатная прямая, параллельная направлению движения (вектору перемещения) тела, уравнение движения которого мы хотим получить.

Проекции скорости и перемещения на координатную прямую могут быть положительными, равными нулю или отрицательными. Величины скорости и перемещения будут равны длинам соответствующих проекций.

п.4. График движения x=x(t)

Сравним полученное уравнение движения \(x(t)=x_0+v_x t\) с уравнением прямой \(y(x)=kx+b\) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).

В уравнении движения роль углового коэффициента \(k\) играет проекция скорости \(v_x\), а роль свободного члена \(b\) – начальная координата \(x_0\).

Построим графики зависимости координаты от времени для нашего примера:

x=20+10t — машина движется вправо (в направлении оси OX)
x=20-10t — машина движется влево (в направлении, противоположном оси OX)
x=20 — машина стоит

п.5. Как найти уравнение движения по графику движения?

п.6. График скорости v_x=v_x(t)

Для рассмотренного примера:

п.7. Как найти путь и перемещение по графику скорости?

Пусть тело движется прямолинейно равномерно, зависимость его координаты от времени описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ Тогда в некоторый момент времени \(t_1\) координата равна \(x_1=x_0+v_x t_1\).
Несколько позже, в момент времени \(t_2\gt t_1\) координата равна \(x_2=x_0+v_x t_2\).
Если \(v_x\gt 0\), то пройденный за промежуток времени \(\triangle t=t_2-t_1\) путь равен разности координат: $$ s=x_2-x_1=(x_0+v_x t_2)-(x_0+v_x t_1)=x_0-x_0+v_x (t_2-t_1)=v_x \triangle t $$ В общем случае, т.к. \(v_x\) может быть и отрицательным, а путь всегда положительный, в формуле нужно поставить модуль: $$ s=|v_x|\triangle t $$
Изобразим полученное соотношение на графике скорости:

Проекция скорости \(v_x\) может быть не только положительной, но и отрицательной.
Если учитывать знак, то произведение: $$ \triangle x=v_x \triangle t $$ дает проекцию перемещения на ось OX. Знак этого произведения указывает на направление перемещения.

Проекция перемещения может быть как положительной, так и отрицательной или равной 0.

п.8. Задачи

Задача 1. Спортсмен бежит по прямолинейному участку дистанции с постоянной скоростью 8 м/с. Примите \(x_0=0\) и запишите уравнение движения.
а) Постройте график движения \(x=x(t)\) и найдите с его помощью, сколько пробежит спортсмен за \(t_1=5\ с\), за \(t_2=10\ с\);
б) постройте график скорости \(v=v(t)\) и найдите с его помощью, какой путь преодолеет спортсмен за промежуток времени \(\triangle t=t_2-t_1\)?

По условию \(x_0=0,\ v_x=8\).
Уравнение движения: \(x=x_0+v_x t=0+8t=8t\)
а) Строим график прямой \(x=8t\) по двум точкам:

По графику находим: \begin x_1=x(5)=8\cdot 5=40\ \text<(м)>\\ x_2=x(10)=8\cdot 10=80\ \text <(м)>\end
б) Скорость \(v_x=8\) м/с — постоянная величина, её график:

$$ t_1=5\ с,\ \ t_2=10\ с $$ Пройденный путь за промежуток времени \(\triangle t=t_2-t_1\) равен площади заштрихованного прямоугольника: $$ s=v_x \triangle t=8\cdot (10-5)=40\ \text <(м)>$$ Ответ: а) 40 м и 80 м; б) 40 м

Задача 2. Космический корабль движется прямолинейно с постоянной скоростью.
Известно, что через 1 час после старта корабль находился на расстоянии 38 тыс.км от астероида Веста, а через 2 часа после старта – на расстоянии 56 тыс.км.
а) постройте график движения корабля, найдите по графику уравнение движения.
б) на каком расстоянии от астероида находился корабль в начальный момент времени?
в) на каком расстоянии от астероида будет находиться корабль через 4 часа после старта?
г) чему равна скорость корабля в километрах в секунду?

а) Будем откладывать время в часах, а расстояние в тыс.км
Отмечаем точки A(1;38) и B(2;56), проводим через них прямую.
Полученная прямая и есть график движения \(x=x(t)\).

Найдем скорость корабля \(v_x\): $$ v_x=\frac=\frac<56-38><2-1>=18\ (\text<тыс.км/ч>) $$ Найдем начальную координату \(x_0\): $$ x_0=x_1-v_x t_1=38-18\cdot v_1=20\ (\text<тыс.км/ч>) $$ Получаем уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t,\ \ x(t)=20+18t $$ где \(x\) – в тыс.км, а \(t\) – в часах.

б) В начальный момент времени корабль находился на расстоянии \(x_0=20\) тыс.км от астероида.

в) Через 4 часа после старта корабль будет находиться на расстоянии $$ x(4)=20+18\cdot 4=92\ (\text<тыс.км>) $$
г) Переведем скорость в км/с: $$ 18000\frac<\text<км>><\text<ч>>=\frac<18000\ \text<км>><1\ \text<ч>>=\frac<18000\ \text<км>><3600\ \text>=5\ \text <км/c>$$ Ответ:
а) \(x(t)=20+18t\) (\(x\) в тыс.км, \(t\) в часах); б) 20 тыс.км; в) 92 тыс.км; г) 5 км/с

Механическое движение

О чем эта статья:

Механическое движение

Когда мы идем в школу или на работу, автобус подъезжает к остановке или сладкий корги гуляет с хозяином, мы имеем дело с механическим движением.

Механическим движением называется изменение положения тел в пространстве относительно других тел с течением времени.

«Относительно других тел» — очень важные слова в этом определении. Для описания движения нам нужны:

• тело отсчета
• система координат
• часы

В совокупности эти три параметра образуют систему отсчета.

В механике есть такой раздел — кинематика. Он отвечает на вопрос, как движется тело. Дальше мы с помощью кинематики опишем разные виды механического движения. Не переключайтесь 😉

Прямолинейное равномерное движение

Движение по прямой, при котором тело проходит равные участки пути за равные промежутки времени называют прямолинейным равномерным. Это любое движение с постоянной скоростью.

Например, если у вас ограничение скорости на дороге 60 км/ч, и у вас нет никаких препятствий на пути — скорее всего, вы будете двигаться прямолинейно равномерно.

Мы можем охарактеризовать это движение следующими величинами.

Скалярные величины (определяются только значением)

• Время — в международной системе единиц СИ измеряется в секундах [с].
• Путь — длина траектории (линии, по которой движется тело). В случае прямолинейного равномерного движения — длина отрезка [м].

Векторные величины (определяются значением и направлением)

• Скорость — характеризует быстроту перемещения и направление движения материальной точки [м/с].
• Перемещение — вектор, проведенный из начальной точки пути в конечную [м].

Проецирование векторов

Векторное описание движения полезно, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения.

Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами — проекциями векторов.

Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция равна длине вектора. А если вектор противоположно направлен оси — проекция численно равна длине вектора, но отрицательна. Если вектор перпендикулярен — его проекция равна нулю.

Скорость может определяться по вектору перемещения и пути, только это будут две разные характеристики.

Скорость — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту перемещения, а средняя путевая скорость — это отношение длины пути ко времени, за которое путь был пройден.

Скорость

— скорость [м/с]
— перемещение [м]
— время [с]

Средняя путевая скорость

V ср.путевая = S/t

V ср.путевая — средняя путевая скорость [м/с]
S — путь [м]
t — время [с]

Задача

Найдите, с какой средней путевой скоростью должен двигаться автомобиль, если расстояние от Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 километров ему нужно пройти за 2,5 часа. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Возьмем формулу средней путевой скорости
V ср.путевая = S/t

Подставим значения:
V ср.путевая = 210/2,5 = 84 км/ч

Ответ: автомобиль будет двигаться со средней путевой скоростью равной 84 км/ч

Уроки физики в онлайн-школе Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Уравнение движения

Одной из основных задач механики является определение положения тела относительно других тел в данный момент времени. Для решения этой задачи помогает уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t).

Уравнение движения

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_x — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v

Уравнение движения при движении против оси

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_x — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Прямолинейное равноускоренное движение

Чтобы разобраться с тем, что за тип движения в этом заголовке, нужно ввести новое понятие — ускорение.

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. В международной системе единиц СИ измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

СИ — международная система единиц. «Перевести в СИ» означает перевод всех величин в метры, килограммы, секунды и другие единицы измерения без приставок. Исключение — килограмм с приставкой «кило».

Итак, равноускоренное прямолинейное движение — это движение с ускорением по прямой линии. Движение, при котором скорость тела меняется на равную величину за равные промежутки времени.

Уравнение движения и формула конечной скорости

Основная задача механики не поменялась по ходу текста — определение положения тела относительно других тел в данный момент времени. У равноускоренного движения в уравнении появляется ускорение.

Уравнение движения для равноускоренного движения

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_0x — начальная скорость тела в [м/с]
t — время [с]
a_x — ускорение [м/с 2 ]

Для этого процесса также важно уметь находить конечную скорость — решать задачки так проще. Конечная скорость находится по формуле:

Формула конечной скорости

— конечная скорость тела [м/с]
— начальная скорость тела [м/с]
— время [с]
— ускорение [м/с 2 ]

Задача

Найдите местоположение автобуса, который разогнался до скорости 60 км/ч за 3 минуты, через 0,5 часа после начала движения из начала координат.

Решение:

Сначала найдем ускорение автобуса. Его можно выразить из формулы конечной скорости:

Так как автобус двигался с места, . Значит

Время дано в минутах, переведем в часы, чтобы соотносилось с единицами измерения скорости.

3 минуты = 3/60 часа = 1/20 часа = 0,05 часа

Подставим значения:
a = v/t = 60/0,05 = 1200 км/ч 2
Теперь возьмем уравнение движения.
x(t) = x₀ + v_0xt + a_xt 2 /2

Начальная координата равна нулю, начальная скорость, как мы уже выяснили — тоже. Значит уравнение примет вид:

Ускорение мы только что нашли, а вот время будет равно не 3 минутам, а 0,5 часа, так как нас просят найти координату в этот момент времени.

Подставим циферки:
км

Ответ: через полчаса координата автобуса будет равна 150 км.

Движение по вертикали

Движение по вертикали — это частный случай равноускоренного движения. Дело в том, что на Земле тела падают с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Для Земли оно приблизительно равно 9,81 м/с 2 , а в задачах мы и вовсе осмеливаемся округлять его до 10 (физики просто дерзкие).

Вообще в значении ускорения свободного падения для Земли очень много знаков после запятой. В школе обычно дают значение: g = 9,8 м/с 2 . В экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в справочных данных дают g = 10 м/с 2 .

Частным случаем движения по вертикали (частным случаем частного случая, получается) считается свободное падение — это равноускоренное движение под действием силы тяжести, когда другие силы, действующие на тело, отсутствуют или пренебрежимо малы.

Помните о том, что свободное падение — это не всегда движение по вертикали из состояния покоя. Если мы бросаем тело вверх, то начальная скорость, конечно же, будет.