Как избавиться от логарифма в дифференциальном уравнении

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Далее интегрируем полученное уравнение:

В данном случае интегралы берём из таблицы:

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Если – это константа, то

0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Получаем общее решение:

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

можно выразить функцию в явном виде.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Подставим полученное частное решение

и найденную производную в исходное уравнение

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Подставляем в общее решение

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях

В однородных уравнениях решение может потеряться в результате типовой замены и дальнейших сокращений, однако, на практике распространена и другая причина потери решений – это неосмотрительное деление. На самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях. В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы.

Аналогичная история с уравнением Примера 3 того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» в знаменатель. Строго говоря, следовало предварительно проверить, а не является ли решением данного диффура. Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл при нулевом значении константы.

В действительности, конечно же, вовсе «не обошлось» – ситуация была под контролем, но я намеренно умолчал об этих нюансах на 1-ом уроке, чтобы не перегружать «чайников» информацией.

При неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Чаще всего, сокращение на что-то или деление на что-то. Так, например, при делении на нужно проверить, являются ли функции решениями дифференциального уравнения. В то же время при делении на необходимость в такой проверке уже отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль.

Перечисленные тонкости также теряют актуальность, если в задаче требуется найти только частное решение (см., например, Пример №2 первого урока).

Следующий диффур – самостоятельно:

Решить дифференциальное уравнение

Полное решение и ответ в конце урока. Попробуйте для тренировки и здесь выразить общее решение.

В заключительной части урока рассмотрим еще пару характерных задач по теме:

Решить дифференциальное уравнение

Решение: «любимая функция» не является решением, что убавляет хлопот. Идём проторенной дорогой. Данное уравнение является однородным, проведем замену:

После замены проводим максимальные упрощения:

Разделяем переменные:

Интегрируем:

Интеграл левой части можно найти двумя способами: методом выделения полного квадрата или методом неопределенных коэффициентов. Как я уже отмечал, в диффурах удобнее использовать второй метод (если, конечно, многочлен можно разложить на множители)

Здесь многочлен на множители раскладывается: можно решить квадратное уравнение , найти его корни и в результате: . Опытные студенты способны выполнить подбор корней и устно.

Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:

Таким образом:

Получившийся общий интеграл упрощаем:

И только после упрощений выполняем обратную замену:

Ответ: общий интеграл:

Решить дифференциальное уравнение

Это пример для самостоятельного решения. Отмечу, что время от времени однородное уравнение встречается в виде дроби, и типичный пациент выглядит примерно так:

Наверное, многие обратили внимание, что во всех приведенных примерах мы не находили частные решения уравнений (задача Коши). Это не случайно. В практических заданиях
с однородными уравнениями частное решение требуют находить крайне редко, если честно, я даже не припомню таких случаев. Ну а если уж встретилась задача Коши в однородном уравнении, то, после изучения предыдущего урока, она не должна представлять для вас трудностей. Технология – точно такая же, как и для уравнений с разделяющимися переменными. Если уточнить, то почти всегда будут получаться не частные решения, а частные интегралы.

Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, иначе к большинству читателей во сне явится Александр Емелин известный персонаж с формулами на полосатом свитере.

И, для полноты картины, рекомендую изучить статью Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Проверим уравнение на однородность:
Вместо подставляем , вместо подставляем :

Все лямбды сократились, и получилось исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.
Очевидно, что является одним из решений данного уравнения.
Проведем замену: и максимально упростим уравнение:

Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:

Интегрируем:

Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.
Максимально упрощаем общий интеграл.
Если есть дроби, то от них лучше избавиться, умножаем каждую часть на 2:

Константу я переобозначу через :

(Если этот момент не понятен, читайте статью Дифференциальные уравнения первого порядка)
Собираем в правой части всё под логарифм, затем избавляемся от логарифмов

Обратная замена:

Умножаем все слагаемые на :

Ответ: общий интеграл:

Примечание: Решение входит в общее решение (когда ), поэтому его не нужно дополнительно указывать в ответе.

Проверка: Дифференцируем общий интеграл:

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.

Пример 4: Решение: Проверим уравнение на однородность:

Таким образом, данное уравнение является однородным.
Очевидно, что является одним из решений уравнения.
Проведем замену:


После подстановки проводим максимальные упрощения:

Разделяем переменные и интегрируем:

Новорожденный общий интеграл получен, здесь константу я не стал загонять под логарифм, в данном случае – это ни к чему. Использовать или не использовать этот прием с константой – понимание придет с опытом.
Упрощать особо нечего, поэтому проводим обратную замену: :

Общий интеграл можно упростить:

Ответ: общий интеграл: . Ещё одно решение:
Примечание: здесь решение не вошло в общий интеграл (т.к. не существует соответствующего значения константы), поэтому его следует указать дополнительно!

Пример 6: Решение: Преобразуем уравнение:

Очевидно, что является решением.
Данное уравнение является однородным, проведем замену:


Максимально упрощаем:

Разделяем переменные и интегрируем:

Упрощать нечего, поэтому проводим обратную замену :

Ответ: общий интеграл: . Ещё одно решение:

Примечание: также здесь можно выразить и общее решение: , для этого сразу после интегрирования константу следует загнать под логарифм.

Пример 8: Решение: Данное ДУ является однородным, проведем замену:





Обратная замена:

Ответ: общий интеграл:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Примеры решений

На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Для краткости их часто называют просто линейными уравнениями. Материал не представляет особых сложностей, главное, уметь уверенно интегрировать и дифференцировать.

Начнем с систематизации и повторения.

На что в первую очередь следует посмотреть, когда вам предложено для решения любое дифференциальное уравнение первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли у данного диффура разделить переменные? Если переменные разделить можно (что, кстати, далеко не всегда очевидно), то нужно использовать алгоритмы и приемы решения, которые мы рассмотрели на первом уроке – Дифференциальные уравнения первого порядка. Советую посетить этот урок чайникам и всем читателям, которые чувствуют, что их знания и навыки в теме пока не очень хороши.

Если переменные в ДУ разделить не удалось, переходим к следующему этапу – проверяем, а не является ли уравнение однородным? Проверку обычно выполняют мысленно или на черновике, с самим алгоритмом проверки и образцами решения однородных уравнений можно ознакомиться на втором уроке – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то в 90% случаев перед вами как раз линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид:

Что мы видим?
1) В линейное уравнение входит первая производная .
2) В линейное уравнение входит произведение , где – одинокая буковка «игрек» (функция), а – выражение, зависящее только от «икс».
3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение , тоже зависящее только от «икс». В частности, может быть константой.

Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части со сменой знака.

Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные модификации линейного уравнения.

– Как уже отмечалось, выражение может быть некоторой константой (числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид:

– Выражение тоже может быть некоторой константой , тогда линейное уравнение принимает вид: . В простейших случаях константа равна +1 или –1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще: или .

– Рядом с производной может находиться множитель , зависящий только от «икс»: – это тоже линейное уравнение.

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: .

Примеры дифференциальных уравнений с решениями

• Попробуйте решить приведенные ниже дифференциальные уравнения.
• Нажмите на изображение уравнения, и вы попадете на страницу с подробным решением.

Примеры решений дифференциальных уравнений первого порядка

Примеры решений дифференциальных уравнений второго и высших порядков

Найти общее решение дифференциального уравнения, или решение с заданными начальными условиями.

Примеры решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность
, .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 28-01-2016 Изменено: 26-11-2021