Как локализовать корни нелинейного уравнения

1 Численный метод решения нелинейных уравнений

1.1 Область локализации корней

В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так , при этом корнем (решением) называется такое значение x*, что оказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня. Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения f ( x ), с осью абсцисс.

Например , для уравнения выполним преобразование и приведем его к виду f(x)= 0 т.е. . График этой функции представлен на рисунке 1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2].

Рисунок 1. График функции

Таким образом, можно приблизительно определять область локализации корней уравнения. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.

Некоторые виды уравнений допускают аналитическое решение. Например, степенные алгебраические уравнения степени n при n ≤ 4. Однако, в общем виде, аналитическое решение, как правило, отсутствует. В этом случае, применяются численные методы. Все численные методы решения уравнений представляют собой итерационные алгоритмы последовательного приближения к корню уравнения. То есть, выбирается начальное приближение к корню x ₀ и затем с помощью итерационной формулы генерируется последовательность x ₁, x ₂, …, x_k сходящаяся к корню уравнения .

1.2 Критерии сходимости при решении уравнений

Ø Абсолютная погрешность — абсолютное изменение приближения на соседних шагах итерации

Ø Относительная погрешность — относительное изменение приближения на соседних шагах итерации

Ø Близость к нулю вычисленного значения левой части уравнения (иногда это значение называют невязкой уравнения, так как для корня невязка равна нулю)

1.3 Метод половинного деления (метод дихотомии)

Метод половинного деления основан на последовательном делении отрезка локализации корня пополам.

Для этого выбирается начальное приближение к отрезку [ a , b ], такое, что f ( a ) × f ( b ) — середине отрезка [ a , b ]. Если он противоположен знаку функции в точке a, то корень локализован на отрезке [ a , c ], если же нет – то на отрезке [ c , b ]. Схема метода дихотомии приведен на рис у нке 2.

Рисунок 2. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню

Алгоритм метода дихотомии можно записать так:

1. представить решаемое уравнение в виде

2. выбрать a, b и вычислить

3. если f(a) × f( с ) то a=a; b = c иначе a = c; b=b

4. если критерий сходимости не выполнен, то перейти к п. 2

Пример решения уравнения методом дихотомии

Найти решение заданного уравнения методом дихотомии с точностью до 10 -5 .

Пример создания расчетной схемы на основе метода дихотомии на примере уравнения: на отрезке [1, 2]

Данный метод заключается в проверке на каждой итерации условия:

если f ( a ) × f (с) и выбор соответствующего отрезка для следующей итерации.

Рисунок 3. Последовательность итераций метода дихотомии при поиске корня уравнения на отрезке [1, 2]

a ) схема расчета (зависимые ячейки); b) режим отображения формул;

Для нашего примера итерационная последовательность для нахождения решения принимает вид:

Точность до пятой значащей цифры достигается за 20 итераций.

Скорость сходимости этого метода является линейной.

При выполнении начального условия он сходится к решению всегда.

Метод половинного деления удобен при решении физически реальных уравнений, когда заранее известен отрезок локализации решения уравнения.

2 Решение уравнений , используя “Подбор параметра ”

Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения вида f(x)=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;

2. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;

3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка П родолжить — для возврата в обычный режим подбора параметра.

2.1 Пример решения уравнения, используя “Подбор параметра”

Например , найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].

Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–3; 3] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.

Рисунок 4. Поиск приближенных значений корней уравнения

Выполните команду меню Сервис/Параметры, во вкладке Вычисления установите относительную погрешность вычислений E=0,00001, а число итераций N=1000, установите флажок Итерации.

Выполните команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 9) заполните следующие поля:

þ Установить в ячейке : в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

þ Значение : в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

þ Изменяя значение : в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

Рисунок 5. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня

После щелчка на ОК получим значение первого корня -1,65793685 .

Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101 .

3 Решение уравнений и систем уравнений, используя надстройку “Поиск решения”

Для решения уравнений можно также использовать команду Поиск решения, доступ к которой реализуется через пункт меню Сервис/Поиск решения.

Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Найти приближенное значение корня уравнения

2. Открыть диалог Поиск решения и установить следующие параметры (рисунок 10):

þ в поле У становить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу (левую часть уравнения);

þ установить переключатель в положение ‘ значению’ и ввести значение 0 (правая часть уравнения);

þ в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргумента x целевой функции,;

þ в поле Ограничения с помощью кнопки Д обавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска (область поиска корня уравнения);

þ для запуска процесса поиска решения нажать кнопку В ыполнить.

þ Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель С охранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения.

Рисунок 6. Диалоговое окно Поиск решения

Полученное решение зависит от выбора начального приближения. Поиск начальных приближений рассмотрен выше.

Рассмотрим некоторые Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Параметры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения):

þ Максимальное время — ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача большой размерности, то время необходимо увеличить).

þ Относительная погрешность — задает точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до 1).

þ Неотрицательные значения — этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.

þ Показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.

þ Метод поиска — служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Рисунок 7. Вкладка Параметры окна Поиск решения

3.1 Пример решения уравнения, используя надстройку “Поиск решения”

Например , найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3]. Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–3;3] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня. На рисунке 12 представлен пример заполнения окна Поиск решения для нахождения первого корня на отрезке [-2; -1].

Рисунок 8. Пример решения уравнения при помощи надстройки Поиск решения

Задание 1. Решение уравнений численным методом

На листе 1 (название листа: Численные методы) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания ) реализовать итерационные расчетные схемы методов, указанных в Таблице 1 для нахождения хотя бы одного корня на заданном интервале. Количество итераций просчитать, оценивая , .

Задания 2. Решение уравнений встроенными средствами “Подбор параметра” и “Поиск решения”

На листе 2 (название листа: Подбор Поиск) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания) на заданном интервале и с некоторым шагом (шаг выбрать самостоятельно) построить таблицу значений функции f(x) и определить количество корней уравнения и выделить интервалы, на которых находятся корни. Построить график функции. Уточнить на заданных интервалах с точностью до 10 -6 корни уравнения с помощью встроенных средств: Подбор параметра, Поиск решения

Нелинейные уравнения и системы уравнений. Методы их решения.

Нелинейные уравнения и системы уравнений. Методы их решения.

Одной из важных задач прикладной математики является задача решения нелинейных уравнений, встречающихся в разных областях научных исследований.

Под нелинейными уравнениями ( nonlinear equations ) понимаются алгебраические и трансцендентные уравнения с одним неизвестным в следующем виде:

,

где — действительное число, — нелинейная функция.

Под системой нелинейных уравнений понимается система алгебраических и трансцендентных уравнений в следующем виде:

где < > — действительные числа, < … > — нелинейные функции.

Алгебраическое уравнение — это уравнение содержащие только алгебраические функции, которое можно представить многочленом n ‐ ой степени с действительными коэффициентами (целые, рациональные, иррациональные) в следующем виде:

.

Трансцендентное уравнение – это уравнение содержащие в своем составе функции, которые являются не алгебраическими. Простейшими примерами таких функций служат показательная функция, тригонометрическая функция, логарифмическая функция и т.д.

Решением нелинейного уравнения (или системы нелинейных уравнений) называют совокупность (группа) чисел , которые, будучи подставлены на место неизвестных , обращают каждое уравнение (или систему уравнений) в тождество:

.

Для решения нелинейных уравнений (или систем нелинейных уравнений) существует несколько методов решения: графические, аналитические и численные методы.

Графические методы наименее точны, но позволяют в сложных уравнениях определить наиболее приближенные значения, с которых в дальнейшем можно начинать находить более точные решения уравнений.

Аналитические методы (или прямые методы) позволяют определить точные значения решения уравнений. Данный метод позволяет записать корни в виде некоторого соотношения (формул). Подобные методы развиты для решения простейших тригонометрических, логарифмических, показательных, а также алгебраических уравнений. Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. В таких случаях обращаются к численным методам, позволяющим получить приближенное значение корня с любой заданной точностью .

Численные методы решения нелинейных уравнений – это итерационный процесс расчета, который состоит в последовательном уточнении начального приближения значений корней уравнения (системы уравнений). При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа:

— локализация (отделение) корней

› Под локализацией корней понимается процесс отыскания приближенного значения корня или нахождение таких отрезков, в пределах которых содержится единственное решение

› Под уточнением корней понимается процесс вычисления приближенных значений корней с заданной точностью по любому численному методу решения нелинейных уравнений.

Недостатком почти всех итерационных методов нахождения корней является то, что они при однократном применении позволяют найти лишь один корень функции, к тому же, мы не знаем какой именно. В случае повторения итерационного процесса при изменении стартовых точек отсутствуют гарантии, что найдется новый корень уравнения, так как итерационный процесс может сойтись к найденному корню.

Для поиска других корней используется метод удаления корней. Данный метод основан на принципе создания новой функции путем деление основной функции на найденный корень уравнения:

.

Так, например, если — корень функции то, чтобы произвести удаление найденного корня и поиск оставшихся корней исходной функции необходимо создать функцию . Точка будет являться корнем функции на единицу меньшей кратности, чем , при этом все остальные корни у функций и совпадают с учетом кратности. Повторяя указанную процедуру, можно найти все корни с учетом кратности.

Следует обратить внимание, что когда производим деление на тот или иной корень , то в действительности мы делим лишь на найденное приближение , и, тем самым, несколько сдвигаем корни вспомогательной функции относительно истинных корней функции . Это может привести к значительным погрешностям, если процедура отделения применялась уже достаточное число раз. Чтобы избежать этого, с помощью вспомогательных функций вычисляются лишь первые итерации, а окончательные проводятся по исходной функции , используя в качестве стартового приближения, последнюю итерацию, полученную по вспомогательной функции.

Локализация корней.

› Локализация корней аналитическим способом

Для отделения корней уравнения необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке. Если функция непрерывна на отрезке , а на концах отрезка её значения имеют разные знаки , то на этом отрезке расположен, по крайней мере, один корень. Дополнительным условием, обеспечивающем единственность корня на отрезке является требование монотонности функции на этом отрезке. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условием знакопостоянства первой производной . Таким образом, если на отрезке функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то на рассматриваемом отрезке существует один и только один корень.

› Локализация корней табличным способом

Допустим, что все интересующие нас корни уравнения находятся на отрезке . Выбор этого отрезка (интервала поиска корней) может быть сделан, например, на основе анализа конкретной физической или иной задачи. Будем вычислять значения , начиная с точки , двигаясь вправо с некоторым шагом h . Как только обнаруживается пара соседних значений , имеющих разные знаки, так соответствующие значения аргумента x можно считать границами отрезка, содержащего корень.

Надежность рассмотренного подхода к отделению корней уравнений зависит как от характера функции , так и от выбранной величины шага h. Действительно, если при достаточно малом значении h ( ) на границах текущего отрезка функция принимает значения одного знака, то естественно ожидать, что уравнение корней на этом отрезке не имеет. Однако, это не всегда так: при несоблюдении условия монотонности функции на отрезке могут оказаться корни уравнения (рис. 1, а). Также несколько корней на отрезке могут оказаться и при выполнении условия (рис. 1, б). Предвидя подобные ситуации, следует выбирать достаточно малые значения h .

Рис. 1. Варианты поведения функции на интервале локализации корня

Поскольку данный способ предполагает выполнение лишь элементарных арифметических и логических операций, количество которых может быть велико при малых значениях h , для его реализации целесообразно использовать вычислительные возможности компьютера.

Отделяя, таким образом, корни, мы, по сути, получаем их приближенные значения с точностью до выбранного шага. Так, например, если в качестве приближенного значения корня взять середину отрезка локализации, то абсолютная погрешность этого значения не будет превосходить половины шага поиска ( h /2). Уменьшая шаг в окрестности каждого корня, можно, в принципе, повысить точность отделения корней до любого наперед заданного значения. Однако такой способ требует большого объема вычислений. Поэтому при проведении численных экспериментов с варьированием параметров задачи, когда приходится многократно осуществлять поиск корней, подобный метод не годится для уточнения корней и используется только для отделения (локализации) корней, т.е. определения начальных приближений к ним. Уточнение корней проводится с помощью других, более экономичных методов.

Уточнение корней.

На данном этапе задача состоит в получении приближенного значения корня, принадлежащего отрезку , с заданной точностью (погрешностью) e . Это означает, что вычисленное значение корня должно отличаться от точного не более чем на величину e :

Существует большое количество численных методов решения нелинейных уравнений для уточнения корней, которые условно можно разделить:

› Методы решение уравнений с одним неизвестным. Основными представителями являются:

— метод половинного деления;

— метод простой итерации;

— метод Ньютона для уравнения с одним неизвестным;

Решение нелинейных уравнений

ЛЕКЦИЯ 1

1 Решение нелинейных уравнений

1.1 Общая концепция методов

Как правило, процесс решения нелинейного уравнения общего вида: f(х)=0 осуществляется в два этапа. На первом этапе отделяют корни, т. е. находят такие отрезки, внутри которых находится строго один корень. На втором этапе уточняют корень, т. е. находят его значение с предварительно заданной точностью e. В практических задачах решением называют любое значение x, отличающееся по модулю от точного значения хточн не более чем на величину e.

Идеи аналитических методов первого этапа базируются на очевидном свойстве непрерывных функций: корни функции (точки пересечения f(х) с горизонтальной осью) обязательно лежат между соседними экстремумами функции (хотя обратное неверно: между каждой парой экстремумов необязательно находится корень).

Идеи методов второго этапа можно сгруппировать по трем основным направлениям. В первом – поиск корня с заданной погрешностью сводится к перебору всех возможных значений аргумента с проверкой наличия решения. Во втором – поиск корня нелинейной функции заменяется поиском корня той или иной более простой функции (линейной, параболической), близкой к исходной нелинейной; как правило, процесс поиска осуществляется итерационными процедурами (однотипными, последовательно повторяющимися). В третьем – нелинейное уравнение вида: f(x)=0 сводят к одной из форм вида: g(х) = y(х) и стремятся обеспечить равенство левой и правой частей тоже, как правило, с помощью итерационных процедур.

Условием окончания процесса решения уравнения (т. е. получения корня xточн с заданной погрешностью) может быть одно из двух возможных: 1) |f(х)| ≤ d, 2) |хточн – хk| ≤ e, где d, e – предварительно заданные малые величины, k – номер итерации, т. е. или близость к нулю левой части уравнения, или близость друг к другу двух значений х, между которыми находится решение. Второе условие во многих случаях можно использовать, не зная точного значения корня, путем замены его другим, например: |хk+1 – хk| ≤ e, при выполнении которого данное условие будет гарантированно выполняться. Условие окончания поиска выбирается исходя из неформальных соображений, и в некоторых случаях применение разных условий может привести к существенно разным результатам. При решении конкретных задач в математическом моделировании важными являются две цели решения:

1) обеспечение близости к нулю f(x) (f(х)» 0) как меры выполнения тех или иных балансовых соотношений, тогда не очень важно, при каких именно (в пределах здравого смысла конкретной прикладной задачи) значениях х это равенство справедливо с заданной погрешностью;

2) обеспечение точности нахождения решения хточн, имеющего содержательное значение, при этом f(х)» 0 является лишь индикатором правильности решения. Отсюда и выбирают условие окончания поиска решения.

1.2 Отделение корней

Отделение корней может производиться графически (путем построения графика функции f(x)) или аналитически. Для аналитического отделения корней находят все критические точки функции f(х), т. е. точки, в которых производные равны нулю или не существуют. Это можно сделать численными методами или – в несложных случаях – аналитически. Для этого f(х) дифференцируют, приравнивают производную к нулю и решают полученное уравнение относительно х. Кроме того, определяют все точки, где по тем или иным причинам (например, знаменатель обращается в нуль, под логарифмом появляется нуль и т. д.) производная может не существовать. В этих (критических) точках или в непосредственной близости от них определяют знак функции f(хi), т. е. находят sign f(хi). Затем строят ряд знаков функции в критических точках, включая в рассмотрение и крайние точки числовой оси — ¥ и + ¥. Анализируют этот ряд, и по числу смен знаков определяют количество корней (равно числу смен знаков sign f(хi)) и интервалы, где локализованы эти корни. На левой и на правой границах такого интервала функция f(х) должна иметь разные знаки. В случае необходимости можно дополнительно к критическим точкам использовать и произвольные точки, что позволяет сузить интервал локализации корня. Особенно это надо делать, когда одна из границ интервала находится в бесконечности, так как интервал хотя бы с одной границей в бесконечности не позволит уточнить корни.

Найти с точностью до целых все корни нелинейного уравнения x3 ‑ 10x + 7=0 а) построив таблицу и б) построив график. Найти корень уравнения на выделенном отрезке, используя опции «Подбор параметра» и «Поиск решения».

Решение будем производить в табличном процессоре Excel. Для этого найдем таблицу значений функции и по ней построим график. На рисунке 1 приведен снимок решения.

Рисунок 1 – Экранный снимок результата поиска корней нелинейного уравнения

На графике видно, что уравнение имеет три корня, принадлежащие отрезкам [-4, -3], [0, 1] и [2, 3], можно сказать, что x1» -3,5; x2» 0,7; x3» 2,7.

Для уточнения значений корней используем опции «Подбор параметра» и «Поиск решения». Пример оформления решения приведем на рисунках 2 и 3.

Рисунок 2 – Ввод значений для использования средств анализа

Рисунок 3 – Результаты выполнения

Отметим очевидный момент: при прочих равных условиях тот метод уточнения корней будет более эффективен, в котором результат с той же погрешностью найден за меньшее число раз вычисления функции f(x).

1.2.1 Алгоритм отделения корня

ЛЕКЦИЯ 2

1.3 Метод деления отрезка пополам

В этом методе сначала исходный отрезок делится на две равные части (пополам). Затем сравнивают знаки функции на концах каждой из двух половинок (например, знак произведения значений функций на концах) и определяют ту половинку, в которой содержится решение (знаки функции на концах должны быть разные), т. е. сужаем отрезок [а, b], перенося в найденную точку конец отрезка а или b. Затем найденную половинку опять делят на две равные части, снова выбирают одну из двух половинок, содержащую корень, и т. д. Условием окончания служит заданная малость отрезка, где содержится корень.

Построить таблицу для уточнения корня уравнения x3 –10x+7=0 методом деления отрезка пополам. Определить сколько шагов надо сделать методом деления отрезка пополам и какая при этом достигается точность по х, для достижения точности по y, равной 0,1; 0,01; 0, 001.

Решение будем производить в табличном процессоре Excel. Для этого построим таблицу допускающую автоматическое продолжение строк. На первом шаге заносим в таблицу значения левого и правого концов отрезка приближения, и вычисляем значение середины отрезка с=(a+b)/2, затем печатаем формулу для вычисления значения функции в точке a (f(a)) и растягиваем (копируем) её для вычисления f(c) и f(b) соответственно. Последний столбец содержит значения выражения (b—a)/2, характеризующего степень точности вычислений.

На втором шаге нам нужно автоматизировать процесс поиска той половины отрезка, где содержится корень. Для этого мы воспользуемся логической функцией ЕСЛИ (Меню: ВставкаФункцияЛогические). Для нового левого края отрезка мы проверяем истинность условия f(a)*f(c)>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения левого конца отрезка берем число c (т. к. это условие показывает, что корня на отрезке [a, c] нет), иначе оставляем значение a. Аналогично, для нового правого края отрезка мы проверяем истинность условия f(c)*f(b)>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения правого конца отрезка берем число c (т. к. это условие показывает, что корня на отрезке [c, b] нет), иначе оставляем значение b. Функция ЕСЛИ копируется на группу ячеек в соответствующих столбцах.

Итерационный процесс обрывается тогда, когда очередное значение в последнем столбце становится меньшим, чем заданный показатель точности e. При этом, значение середины отрезка в последнем приближении, принимается в качестве приближенного значения искомого корня нелинейного уравнения. На рисунке 4 приведен снимок решения.

Рисунок 4 – Снимок таблицы, реализующей метод деления отрезка пополам

Итак, одним из трех корней нелинейного уравнения x3 – 10x + 7=0, найденным с точностью e=0,0001, является x= — 3,46686. Как мы видим, он действительно принадлежит отрезку [-4; -3].

1.3.1 Алгоритм метода деления отрезка пополам

ЛЕКЦИЯ 3

1.4 Метод хорд

В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном интервале [а, b] заменяется линейной, в качестве которой берется хорда – прямая, стягивающая концы нелинейной функции. Эта хорда определяется как прямая, проходящая через точки с координатами (а, f(а)) и (b, f(b)). Имея уравнение хорды: у = cx + d, можно легко найти точку ее пересечения с горизонтальной осью, подставив в уравнение у = 0 и найдя из него x. Естественно, в полученной таким путем точке x1 не будет решения, ее принимают за новую границу отрезка, где содержится корень. Через эту точку с координатами (x1,f(x1)) и соответствующую границу предыдущего интервала опять проводят хорду, находят x2 и т. д. несколько раз, получая последовательность: х3, х4, х5 . сходящуюся к корню. Метод применим только для монотонных функций.

ВСТАВИТЬ ВЫВОД ФОРМУЛЫ И КАРТИНКУ!

Алгоритм метода зависит от свойств функции f(х). Если f(b) f»(x)>0, то строящаяся на каждом этапе хорда имеет правый фиксированный конец, и тогда алгоритм будет выглядеть так:

,

при этом последовательность х1, х2, х3. будет приближаться к корню слева x0=a.

Если f(a) f»(x) > 0, то строящаяся при каждом этапе хорда имеет левый фиксированный («закрепленный») конец и алгоритм выглядит следующим образом:

,

при этом последовательность х1, х2, x3. будет приближаться к корню справа x0=b.

Теоретически доказано, что если первые производные на концах интервала при монотонной и выпуклой функции f(x) не различаются более чем в 2 раза, то справедливо соотношение |хточн – хi| 0), или правая точка: x0 = b (если f(b) f»(х)>0). Алгоритм записывается следующим образом:

.

Алгоритм работоспособен при выпуклых и монотонных функциях f(x). Главным теоретическим достоинством метода является квадратичная скорость сходимости, что во многих случаях может привести к сокращению числа вычислений функции при получении решения с заданной погрешностью. В ряде случаев можно применять упрощенный алгоритм, связанный с сокращением числа повторений вычисления производных: вместо вычисления производной в каждой очередной точке f'(xi) использовать значение производной в начальной точке f'(x0). Видоизмененная формула:

.

Следует обратить внимание на следующую особенность метода: последовательность x1, x2, x3,… приближается к корню с другой стороны, в отличие от использования метода хорд при прочих равных условиях.

Отделить корни уравнения tg (0,55x+0,1) = x2 графически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001.

В предыдущем примере мы отделили один из корней и установили, что он принадлежит промежутку [0,6; 0,8]. Так как f (0,6) > 0, f (0,8) Q/2, где Q = max|f’(x)| на отрезке [a, b] и знак k совпадал бы со знаком f’(x) на [a, b]. Итерационный процесс сходится при условии | y’(x) |