Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами
Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.
Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.
Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).
Примеры решения дифференциальных уравнений
Задание
Решить дифференциальное уравнение xy’=y.
Решение
В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь
переписываем дифференциальное уравнение, получаем
Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем
Далее интегрируем полученное уравнение:
В данном случае интегралы берём из таблицы:
После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение
Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.
Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:
Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:
Если – это константа, то
0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />
– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:
– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.
Получаем общее решение:
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:
Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:
После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.
Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:
В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.
Далее упрощаем общий интеграл:
Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:
Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.
Решение
Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.
Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:
Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.
Получаем общее решение:
Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:
В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.
Решение
Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:
Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
можно выразить функцию в явном виде.
Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Проверка
Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:
Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.
Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение
дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:
Подставим полученное частное решение
и найденную производную в исходное уравнение
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Задание
Найти общий интеграл уравнения
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Ответ
Задание
Найти частное решение ДУ.
Решение
Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию
Подставляем в общее решение
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Левую часть интегрируем по частям:
В интеграле правой части проведем замену:
(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных.
Разделяем переменные и интегрируем:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Как находить общий интеграл дифференциального уравнения
1. У равнения с разделяющимися переменными
Общий вид уравнений
С учетом равенства
уравнение (8.10) может быть записано в виде .
Разделим обе части на произведение функций M ( x )∙ Q ( y ) (при условии ) и после сокращения получим: . Так как переменные разделены, проин тегрируем уравнение почленно: . После нахождения интегралов получаем общий интеграл исходного ДУ. Предполагая, что , мы могли потерять решения. Следовательно, необходимо подстановкой M ( x )=0, Q ( y )=0 в исходное уравнение сделать проверку. В том случае, когда данные функции удовлетворяют уравнению, они также являются его решениями.
Пример 8.2. Проинтегрировать уравнение .
Решение . Представим уравнение в виде . Разделим переменные: . Проинтегрируем уравнение:
После применения теоремы о сумме логарифмов и потенцирования получаем
2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Общий вид уравнений
где M ( x ; y ) и N ( x ; y )– однородные функции аргументов x и y одного и того же измерения m , то есть имеют место равенства
Метод решения уравнения (8.12) – деление на переменную x в степени измерения m : . Далее уравнение преобразуются с помощью следующей замены:
Однородное уравнение (8.12) принимает вид: – уравнение с разделяющимися переменными. Следовательно, дальнейшее решение – по пункту 1.
Пример 8.3. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Поделим уравнение на x 2 , получим . После замены (8.14) заданное по условию уравнение принимает вид , . В результате интегрирования получим . После обратной замены – искомый общий интеграл
Пример 8.4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .
Решение . Правая часть уравнения обладает свойством . Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Совершим замену , где u – некоторая функция от аргумента x . Отсюда . Исходное уравнение приобретает вид
или . Разделим переменные: .
После интегрирования обеих частей уравнения получаем
Потенцируя, находим .
Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид cy = x 2 + y 2 , где c – произвольная постоянная
3. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным или к уравнениям с разделяющимися переменными
Общий вид уравнений
где – числа.
При c 1 = c 2 = 0 уравнение является однородным. Рассмотрим два случая при c 1 и c 2 не равных нулю одновременно.
1) Определитель . Вводят новые переменные u и v , положив x = u + x 0 , y = v + y 0 , где ( x 0 ; y 0 ) – решение системы уравнений .
В результате данной подстановки уравнение (8.15) становится однородным.
Пример 8.5. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .
Решение . Определитель , следовательно, решаем систему уравнений . Получаем значения x 0 = – 1; y 0 =2, с использованием которых осуществляем замену x = u – 1; y = v + 2, при этом . Заданное по условию ДУ принимает вид:
, (*) – однородное ДУ относительно функции v и переменной u .
С помощью формул интегрирования (4.8) и (4.17) получаем:
Осуществим обратную подстановку :
– общий интеграл исходного уравнения
2) Определитель . Это означает пропорциональность коэффициентов или
Пример 8.6. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения
Решение . Определитель , следовательно, осуществляем замену
Исходное уравнение принимает вид:
Далее . Разделим переменные: или . Проинтегрируем уравнение:
После обратной замены получим: – общий интеграл исходного уравнения
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Общий вид уравнений
где P ( x ) и Q ( x ) – заданные функции (могут быть постоянными).
Уравнение (8.16) может быть решено двумя способами.
1) Метод Бернулли-Фурье состоит в том, что решение ищется в виде произведения двух неизвестных функций y ( x )= u ( x )∙ v ( x ) или коротко y = u ∙ v , при этом . Одна из функций будет представлять общую часть решения и содержать константу интегрирования c , другая функция может быть взята в частном виде при конкретном значении константы (общее решение ДУ первого порядка должно содержать одну константу интегрирования). Подставим выражения y и в (8.16), после чего оно принимает вид:
Функцию v ( x ) подберем в частном виде так, чтобы выражение в скобках обратилось в ноль. Для этого решим уравнение с разделяющимися переменными или . Отсюда в результате интегрирования получим: . Так функция v ( x ) выбиралась произвольно, то можно положить c = 1, тогда . Подставив найденную v ( x ) в (8.17), приходим к еще одному уравнению с разделяющимися переменными . Интегрируя его, получим функцию . Общее решение исходного ДУ (8.16) принимает вид
Пример 8.7. Проинтегрировать уравнен ие с помощью метода Бернулли.
Решение . Данное уравнение является линейным ДУ первого порядка с функциями . Применим подстановку y = u ∙ v , где u и v – некоторые функции аргумента x . Так как y = u ∙ v , то , и заданное уравнение принимает вид:
Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в ноль, то есть и л и
Полагая c = 1, получим u = cos x . При таком выборе функции u уравнение (**) примет вид:
. Отсюда v=tg x+c . Тогда – общее решение заданного уравнения.
Общее решение заданного ДУ можно также получить, пользуясь непосредственно формулой (8.18):
По условию задачи имеем: P ( x )= tg x , . Следовательно, . Так как , то с использованием основного логарифмического тождества получаем:
Таким образом, – общее решение исходного дифференциального уравнения
2) Метод Лагранжа иначе называют методом вариации произвольной постоянной. Рассмотрим сначала соответствующее линейное однородное ДУ первого порядка, то есть исходное уравнение без правой части . Разделив переменные и проинтегрировав, в найденном решении полагают постоянную c функцией c ( x ). После этого функцию y дифференцируют и вместе с подставляют в исходное уравнение. При этом получают уравнение относительно неизвестной функции c ( x ), отыскав которую, подставляют ее в y – общее решение заданного линейного неоднородного уравнения (с правой частью).
Пример 8.8. Проинтегрировать уравнение с помощью метода Лагранжа (сравни с пример ом 8.7).
Решение . Решим сначала соответствующее линейное однородное ДУ первого порядка или . Разделим переменные: . В результате интегрирования получаем: – общее решение соответствующего однородного уравнения. Применим метод варьирования константы, то есть предположим c = c ( x ). Тогда общее решение исходного линейного неоднородного уравнения будет иметь вид: . Подставим y и в исходное уравнение:
Подставляя найденное c ( x ) в y , имеем общее решение линейного неоднородного уравнения:
5. Уравнения Бернулли
Общий вид уравнений
При n = 1 (8.1 9) – уравнение с разделяющимися переменными. При n = 0 (8.1 9) – линейное ДУ.
Рассмотрим . Метод решения – деление уравнения на , после чего (8.1 9) принимает вид . С помощью замены z = y – n +1 исходное уравнение становится линейным относительно функции z ( x ):
то есть его решение находится аналогично пункту 4. На практике искать решение уравнения (8.17) удобнее методом Бернулли в виде произведения неизвестных функций y = u ∙ v . Заметим, что y = 0 – всегда является решением исходного уравнения (8.17).
Пример 8.9. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Заданное уравнение является уравнением Бернулли. Положим y = u ∙ v , тогда и уравнение примет вид:
Выберем функцию u так, чтобы выполнялось равенство: . Разделим переменные и проинтегрируем:
Тогда заданное уравнение после сокращения на u примет вид: или – уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение: . Интегрируя последнее уравнение, получим: . Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид:
6. Уравнения в полных дифференциалах
6.1. Общий вид уравнений
где левая часть есть полный дифференциал некоторой функции F ( x ; y ), то есть . В этом случае ДУ (8.21) можно записать в виде , а его общий интеграл будет F ( x ; y )= c .
Условие, по которому можно судить, что выражение является полным дифференциалом, можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 8.2. Для того чтобы выражение , где функции M ( x ; y ) и N ( x ; y ), их частные производные и непрерывны в некоторой области D плоскости x 0 y , было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия
(8.22)
Таким образом, согласно определению полного дифференциала (6.6) должны выполняться равенства:
Формула (8.22) представляет собой теорему Шварца, согласно которой смешанные производные второго порядка функции F ( x ; y ) равны.
Зафиксируем переменную y и проинтегрируем первое уравнение из (8.23) по x , получим:
Здесь мы применили метод вариации произвольной постоянной, так как предположили, что константа c зависит от y (либо является числом). Продифференцировав (8.24) по переменной y и приравняв производную к функции N ( x ; y ), мы получим уравнение для нахождения неизвестной c ( y ). Подставив c ( y ) в (8.24), находим функцию F ( x ; y ) такую, что .
Пример 8.10. Решить уравнение .
Решение. Здесь функция .
Проверим условие (8.22): . Следовательно, левая часть заданного уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции F ( x ; y ). Для ее отыскания проинтегрируем функцию M ( x ; y ) по переменной x , считая y = const :
Пусть c = c ( y ), тогда . Продифференцируем данную функцию по y , получим . Отсюда .
Найденное c ( y ) подставляем в функцию F ( x ; y ), получаем решение заданного ДУ:
Если условие (8.22) не выполняется, то ДУ (8.21) не является уравнением в полных дифференциалах.
Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением его на некоторую функцию μ ( x ; y ), называемую интегрирующим множителем .
Чтобы уравнение было уравнение в полных дифференциалах, должно выполняться условие
Выполнив дифференцирование и приведя подобные слагаемые, получим: . Для нахождения μ ( x ; y ) надо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить существование μ как функции только одного аргумента x либо только y .
6.2. Пусть μ = μ ( x ). Тогда уравнение (8.25) принимает вид:
При этом подынтегральное выражение должно зависеть только от x.
6.3. Пусть μ = μ ( y ). Тогда аналогично можно получить
где подынтегральное выражение должно зависеть только от y .
Пример 8.11. Решить уравнение .
Решение . Здесь , то есть . Проверим существование интегрирующего множителя. По формуле (8.26) составляем подынтегральное выражение:
7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной
К уравнениям данного вида относятся уравнения Лагранжа и Клеро, которые образуют достаточно большой класс ДУ, решаемых методом введения параметра .
7.1. Уравнение Лагранжа
Общий вид уравнений
где φ и ψ– известные функции от . После введения параметра уравнение (8.28) принимает вид
Продифференцируем его по x :
Полученное уравнение (8.30) является линейным уравнением относительно неизвестной функции x = x ( p ). Решив его, найдем:
Исключая параметр p из уравнений (8.29) и (8.31), получаем общий интеграл уравнения (8.28) в виде y = γ ( x ; c ).
Примечание. При переходе к уравнению (8.30) мы делили на . При этом могли быть потеряны решения, для которых или p = p 0 = const . Это означает, что p 0 является корнем уравнения p = φ ( p )=0 (смотри уравнение (8.30)). Тогда решение для уравнения (8.28) является особым
7.2. Уравнение Клеро представляет собой частный случай уравнения Лагранжа при , следовательно, его общий вид
. (8.32)
Вводим параметр , после чего уравнение (8.30) записывается так:
Продифференцируем уравнение (8.33) по переменной x:
При получаем частное решение уравнения в параметрической форме:
Это – особое решение уравнения Клеро, так как оно не содержится в формуле общего решения уравнения.
Пример 8.12. Решить уравнение Клеро .
Решение. Согласно формуле (8.32) общее решение имеет вид y = cx + c 2 . Особое решение уравнения получим по (8.33) в виде . Отсюда следует: , то есть
Как решить однородное дифференциальное уравнение
Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.
Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.
1) Решить уравнение
Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда
u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки
u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0
В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u
ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда
ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. ( по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:
По свойству логарифмов:
Это — общий интеграл уравнения.
Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что y=x ( x>0) входят в общее решение.
2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.
Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:
u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).
и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем
Выполняем обратную замену:
Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:
3) Найти общий интеграл однородного уравнения:
(x²-y²)dy-2xydx=0.
Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:
x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):
В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:
(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:
По свойствам логарифмов:
Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.
Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:
Геометрический смысл интегральной кривой в этом случае — семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящих через начало координат.
Задания для самопроверки:
Так как u=y/x, u²=y²/x², то есть y²=u²x²,
2) Проверив, что данное уравнение является однородным, делаем замену y=ux, отсюда y’=u’x+u. Подставляем в условие:
Делим обе части уравнения на x:
Интегрируем обе части:
и, умножив на x обе части уравнения, получаем:\
http://www.sites.google.com/site/vyssaamatem/glava-viii-elementy-teorii-obyknovennyh-differencialnyh-uravnenij/viii-2-nekotorye-vidy-differencialnyh-uravnenij-pervogo-poradka
http://www.matematika.uznateshe.ru/kak-reshit-odnorodnoe-differencialnoe-uravnenie/