«Некоторые методы решения логарифмических уравнений»
Разделы: Математика
Некоторые методы решения логарифмических уравнений.
Настоящая статья содержит систематическое изложение методов решения логарифмических уравнений с одной переменной. Это поможет учителю, прежде всего в дидактическом смысле: подбор упражнений позволяет составить для учащихся индивидуальные задания с учетом их возможностей. Данные упражнения могут быть использованы для урока обобщения и для подготовки к ЕГЭ.
Краткие теоретические сведения и решения задач позволяют учащимся самостоятельно развивать умения и навыки решения логарифмических уравнений.
Решение логарифмических уравнений.
Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения:
Обычно решение логарифмических уравнений начинается с определения ОДЗ. В логарифмических уравнениях рекомендуется все логарифмы преобразовать так, чтобы их основания были равны. Затем уравнения либо выражают через один какой – либо логарифм, который обозначается новой переменной, либо уравнение преобразовывают к виду, удобному для потенцирования.
Преобразования логарифмических выражений не должны приводить к сужению ОДЗ, если же примененный метод решения сужает ОДЗ, выпуская из рассмотрения отдельные числа, то эти числа в конце задачи необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, т.к. при сужении ОДЗ возможна потеря корней.
1. Уравнения вида – выражение, содержащее неизвестное число, а число .
Для решения таких уравнений надо:
1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если ) .
2. Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.
Для решения таких уравнений надо:
1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).
3. Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.
Для решения таких уравнений надо:
- сделать замену переменной;
- решить полученное уравнение;
- сделать обратную замену;
- решить полученное уравнение;
- сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
4.Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.
Для решения таких уравнений надо:
- прологарифмировать уравнение;
- решить полученное уравнение;
- сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
корни (решения).
5. Уравнения, которые не имеют решения.
- Для решения таких уравнений надо найти ОДЗ уравнения.
- Проанализировать левую и правую часть уравнения.
- Сделать соответствующие выводы.
Исходное уравнение равносильно системе:
Доказать, что уравнение не имеет решения.
ОДЗ уравнения определяется неравенством х ≥ 0. На ОДЗ имеем
Сумма положительного числа и неотрицательного числа не равна нулю, поэтому исходное уравнение решений не имеет.
Ответ : решений нет.
В ОДЗ попадает только один корень х = 0. Ответ: 0.
Произведем обратную замену.
Найденные корни принадлежат ОДЗ.
ОДЗ уравнения – множество всех положительных чисел.
Аналогично решаются данные уравнения:
Задачи для самостоятельного решения:
Используемая литература.
- Бесчетнов В.М. Математика. Москва Демиург 1994
- Бородуля И.Т. Показательная и логарифмическая функции. ( задачи и упражнения). Москва «Просвещение» 1984
- Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва «Наука» 1987
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. Москва «Илекса»2007
- Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В.. Задачи по алгебре и началам анализа. Москва «Просвещение» 2003
Логарифмические уравнения
Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.
Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.
Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:
Основное логарифмическое тождество:
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.
Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.
Простейшие логарифмические уравнения
Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.
Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.
Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.
2. Решите уравнение:
В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.
3. Решите уравнение:
Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.
4. Решите уравнение:
Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />
Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.
Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.
5. Решите уравнение:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end
Ответ: –4.
Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.
Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
0 \end
Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.
ОДЗ:
0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end
Теперь можно «убрать» логарифмы.
— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.
8. Решите уравнение .
ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />
Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.
Вернемся к переменной х:
Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.
Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.
Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену
Вернемся к переменной х. Получим:
. Мы нашли все корни исходного уравнения.
Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.
ОДЗ логарифма
ОДЗ логарифма следует непосредственно из определения логарифма.
По определению, логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число знаком логарифма:
Основание степени должно быть положительным числом, отличным от единицы.
При возведении в любую степень такого числа всегда получается положительное число.
Таким образом, область допустимых значений логарифма (ОДЗ логарифма)
состоит из трёх условий:
1) Под знаком логарифма должно стоять положительное число:
0;\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
2-3) В основании логарифма должно стоять положительное число, отличное от единицы:
0;\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Все три условия должны быть выполнены одновременно.
Таким образом, чтобы найти ОДЗ логарифма
надо решить систему из трёх неравенств:
0;\\ g(x) > 0;\\ g(x) \ne 1. \end
Если в основании логарифма стоит число:
ОДЗ логарифма содержит всего одно условие:
0.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Если под знаком логарифма стоит число, а в основании — выражение с переменной:
то в область допустимых значений нужно записать два условия:
0;\\ g(x) \ne 1 \end
Примеры нахождения ОДЗ логарифма рассмотрим отдельно.
http://ege-study.ru/logarifmicheskie-uravneniya/
http://www.logarifmy.ru/odz-logarifma/