Как написать уравнение колебаний напряжения
Колебания и волны > Электромагнитные > Уравнение колебаний напряжения (u).
Содержание | Величина | Наименование |
— уравнение колебаний напряжения на конденсаторе. Как будут выглядеть графики колебания напряжения, придуманные вами, можно увидеть здесь. В этом уравнении: Электромагнитные колебания и волныСвободные электромагнитные колебания. Колебательный контурЭлектромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур. Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединенными конденсатором и катушкой. Сопротивление катушки \( R \) равно нулю. Если зарядить конденсатор до напряжения \( U_m \) , то в начальный момент времени \( t_1=0 \) , напряжение на конденсаторе будет равно \( U_m \) . Заряд конденсатора в этот момент времени будет равен \( q_m=CU_m \) . Сила тока равна нулю. Полная энергия системы будет равна энергии электрического поля: Конденсатор начинает разряжаться, по катушке начинает течь ток. Вследствие самоиндукции в катушке конденсатор разряжается постепенно. Ток достигает своего максимального значения \( I_m \) в момент времени \( t_2=T/4 \) . Заряд конденсатора в этот момент равен нулю, напряжение на конденсаторе равно нулю. Полная энергия системы в этот момент времени равна энергии магнитного поля: В следующий момент времени ток течет в том же направлении, постепенно (вследствие явления самоиндукции) уменьшаясь до нуля. Конденсатор перезаряжается. Заряды обкладок имеют заряды, по знаку противоположные первоначальным. В момент времени \( t_3=T/2 \) заряд конденсатора равен \( q_m \) , напряжение равно \( U_m \) , сила тока равна нулю. Полная энергия системы равна энергии электрического поля конденсатора. Затем конденсатор снова разряжается, но ток через катушку течет в обратном направлении. В момент времени \( t_4=3T/4 \) сила тока в катушке достигает максимального значения, напряжение на конденсаторе и его заряд равны нулю. С этого момента ток в катушке начинает убывать, но не сразу (явление самоиндукции). Энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля. Конденсатор начинает заряжаться, и через некоторое время его заряд равен первоначальному, а сила тока станет равной нулю. Через время, равное периоду \( T \) , система возвращается в начальное состояние. Совершилось одно полное колебание, дальше процесс повторяется. Важно! В контуре происходят превращения энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. В любой произвольный момент времени полная энергия в контуре равна: где \( i, u, q \) – мгновенные значения силы тока, напряжения, заряда в любой момент времени. Эти колебания являются затухающими. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается из-за электрического сопротивления проводников. Вынужденные электромагнитные колебания. РезонансВынужденными электромагнитными колебаниями называют периодические изменения заряда, силы тока и напряжения в колебательном контуре, происходящие под действием периодически изменяющейся синусоидальной (переменной) ЭДС от внешнего источника: где \( \varepsilon \) – мгновенное значение ЭДС, \( \varepsilon_m \) – амплитудное значение ЭДС. При этом к контуру подводится энергия, необходимая для компенсации потерь энергии в контуре из-за наличия сопротивления. Резонанс в электрической цепи – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока в колебательном контуре с малым активным сопротивлением при совпадении частоты вынужденных колебаний внешней ЭДС с частотой собственных колебаний в контуре. Емкостное и индуктивное сопротивления по-разному изменяются в зависимости от частоты. С увеличением частоты растет индуктивное сопротивление, а емкостное уменьшается. С уменьшением частоты растет емкостное сопротивление и уменьшается индуктивное сопротивление. Кроме того, колебания напряжения на конденсаторе и катушке имеют разный сдвиг фаз по отношению к колебаниям силы тока: для катушки колебания напряжения и силы тока имеют сдвиг фаз \( \varphi_L=-\pi/2 \) , а на конденсаторе \( \varphi_C=\pi/2 \) . Это означает, что когда растет энергия магнитного поля катушки, то энергия электрического поля конденсатора убывает, и наоборот. При резонансной частоте индуктивное и емкостное сопротивления компенсируют друг друга и цепь обладает только активным сопротивлением. При резонансе выполняется условие: Резонансная частота вычисляется по формуле: Важно! Чем меньше потери энергии в цепи, тем сильнее выражен резонанс. Если активное сопротивление очень мало \( (R\to0) \) , то резонансное значение силы тока неограниченно возрастает. С увеличением сопротивления максимальное значение силы тока уменьшается, и при больших значениях сопротивления резонанс не наблюдается. График зависимости амплитуды силы тока от частоты называется резонансной кривой. Резонансная кривая имеет больший максимум в цепи с меньшим активным сопротивлением. Одновременно с ростом силы тока при резонансе резко возрастают напряжения на конденсаторе и катушке. Эти напряжения становятся одинаковыми и во много раз больше внешнего напряжения. Колебания напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе всегда происходят в противофазе. При резонансе амплитуды этих напряжений одинаковы и они компенсируют друг друга. Падение напряжения происходит только на активном сопротивлении. При резонансе возникают наилучшие условия для поступления энергии от источника напряжения в цепь: при резонансе колебания напряжения в цепи совпадают по фазе с колебаниями силы тока. Установление колебаний происходит постепенно. Чем меньше сопротивление, тем больше времени требуется для достижения максимального значения силы тока за счет энергии, поступающей от источника. Явление резонанса используется в радиосвязи. Каждая передающая станция работает на определенной частоте. С приемной антенной индуктивно связан колебательный контур. При приеме сигнала в катушке возникают переменные ЭДС. С помощью конденсатора переменной емкости добиваются совпадения частоты контура с частотой принимаемых колебаний. Из колебаний всевозможных частот, возбужденных в антенне, контур выделяет колебания, равные его собственной частоте. Резонанс может привести к перегреву проводов и аварии, если цепь не рассчитана на работу в условиях резонанса. Гармонические электромагнитные колебанияГармоническими электромагнитными колебаниями называются периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие по гармоническому – синусоидальному или косинусоидальному – закону. В электрических цепях это могут быть колебания:
В этих уравнениях \( \omega \) –циклическая частота, \( \varphi \) – начальная фаза колебаний, амплитудные значения: силы тока – \( I_m \) , напряжения – \( U_m \) и заряда – \( q_m \) . Важно! Сила тока равна первой производной заряда от времени: Амплитуда колебаний силы тока равна: Колебания заряда и напряжения в колебательном контуре происходят в одинаковых фазах. Амплитуда напряжения равна: Колебания силы тока смещены по фазе относительно колебаний заряда на \( \pi/2 \) . Период свободных электромагнитных колебаний Период свободных электромагнитных колебаний находится по формуле Томсона: где \( L \) – индуктивность катушки, \( C \) – электроемкость конденсатора. Важно! При свободных гармонических колебаниях происходит периодическое преобразование энергии. Период колебаний энергии в два раза меньше, чем период колебаний заряда, силы тока и напряжения. Частота колебаний энергии в два раза больше частоты колебаний заряда, силы тока и напряжения. Переменный ток. Производство, передача и потребление электрической энергииПеременным называется ток, изменяющийся по величине и направлению по гармоническому закону. Переменный ток представляет пример вынужденных электромагнитных колебаний. Для описания переменного электрического тока используют следующие величины: • мгновенное значение силы тока – i; • мгновенное значение напряжения – u; • амплитудное значение силы тока – Im; • амплитудное значение напряжения –Um. Цепь переменного тока представляет собой колебательный контур, к которому приложена внешняя синусоидальная ЭДС. В цепь переменного тока могут включаться различные нагрузки: резистор, катушка, конденсатор. Активное сопротивление Проводник, преобразующий всю энергию электрического тока во внутреннюю, называется активным сопротивлением \( R \) . (Эту величину мы раньше называли сопротивлением.) Активное сопротивление зависит от материала проводника, его длины и площади поперечного сечения и не зависит от частоты переменного тока. В проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока и напряжения совпадают по фазе: Мгновенное значение мощности: \( p=i^2R, \) среднее значение мощности за период: \( \overline =\frac Действующим значением силы переменного тока \( I_Д \) называют значение силы постоянного тока, который в том же проводнике выделяет то же количество теплоты , что и переменный ток за то же время: Действующим значением напряжения переменного тока \( U_Д \) называют значение напряжения постоянного тока, который в том же проводнике выделяет то же количество теплоты, что и переменный ток за то же время: Для цепи с активным сопротивлением выполняется закон Ома для мгновенных, амплитудных и действующих значений. Индуктивное сопротивление Катушка в цепи переменного тока имеет большее сопротивление, чем в цепи постоянного тока. В такой цепи колебания напряжения опережают колебания силы тока по фазе на \( \pi/2 \) . Колебания силы тока и напряжения происходят по закону: Амплитуда силы тока в катушке: где \( L \) – индуктивность катушки. Индуктивным сопротивлением \( X_L \) называют физическую величину, равную произведению циклической частоты на индуктивность катушки: Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте. Физический смысл индуктивного сопротивления: ЭДС самоиндукции препятствует изменению в ней силы тока. Это приводит к существованию индуктивного сопротивления, уменьшающего силу тока. Для цепи с индуктивным сопротивлением выполняется закон Ома. Емкостное сопротивлениеВ цепи постоянного тока через конденсатор ток не идет. Для переменного тока конденсатор обладает конечным сопротивлением, обратно пропорциональным его емкости. В цепи переменного тока сопротивление конденсатора меньше, чем в цепи постоянного тока. В такой цепи колебания напряжения отстают от колебаний силы тока по фазе на \( \pi/2 \) . Колебания силы тока и напряжения происходят по закону: Амплитуда силы тока в катушке: \( I_m=C\omega U_m. \) . Если ввести обозначение \( X_C=\frac<1> <\omega C>\) , то получим соотношение между амплитудными значениями силы тока и напряжения, аналогичное закону Ома: \( I_m=\frac Емкостным сопротивлением \( X_C \) называют величину, обратную произведению циклической частоты на электроемкость конденсатора. Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте. Физический смысл емкостного сопротивления: изменению переменного тока в любой момент времени противодействует электрическое поле между обкладками конденсатора. В цепи переменного тока колебания силы тока и ЭДС происходят по синусоидальному закону с одинаковой циклической частотой \( \omega \) и разностью фаз \( \varphi \) : Соотношения амплитудных значений силы тока \( I_m \) и ЭДС \( \varepsilon_m \) в цепи переменного тока связаны между собой законом Ома для цепи переменного тока: Он гласит: амплитуда силы переменного тока прямо пропорциональна амплитуде ЭДС и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи: Величина \( Z \) называется полным сопротивлением цепи переменного тока. Электрическая энергия имеет перед другими видами энергии следующие преимущества:
В настоящее время производится и используется энергия переменного тока. Это связано с возможностью преобразовывать его напряжение и силу тока с малыми потерями энергии, что особенно важно при передаче электроэнергии на большие расстояния. Различают следующие типы электростанций: Получение переменного тока Переменный ток получают с помощью генератора переменного тока. Генератор переменного тока (электромеханический генератор переменного тока) – это устройство, преобразующее механическую энергию в электрическую. В основе работы генератора переменного тока лежит явление электромагнитной индукции. Процесс получения переменного тока можно рассмотреть на примере вращения витка провода в однородном магнитном поле. Магнитный поток через площадь витка равен: Если период вращения витка \( T \) , то угол \( \alpha=\frac<2\pi t> Тогда \( \Phi=BS\cos\omega t. \) ЭДС индукции изменяется по закону \( e=-\Phi’=BS\omega\sin\omega t=\varepsilon_m\sin\omega t. \) Амплитуда ЭДС \( \varepsilon_m=BS\omega. \) Если рамка содержит \( N \) витков, то \( \varepsilon_m=NBS\omega. \) Основные части генератора переменного тока:
Промышленные генераторы вырабатывают напряжение порядка 10 4 В. Промышленная частота переменного тока в нашей стране 50 Гц. Передача электроэнергии Электроэнергия производится в основном вдалеке от основных потребителей энергии, там, где есть топливные ресурсы. С электростанции переменный ток по проводам линии электропередач (ЛЭП) поступает к различным потребителям электрической энергии. Для уменьшения потерь при передаче переменного тока необходимо использовать высокое напряжение. Чем длиннее линия, тем выше должно быть напряжение. В высоковольтных ЛЭП оно может достигать 500 кВ. Генераторы на электростанциях вырабатывают напряжение 16–20 кВ. Потребителям не нужно высокое напряжение. Возникает необходимость преобразования напряжения. С электростанции электрический ток поступает на повышающую подстанцию, затем передается по линии электропередач на понижающую подстанцию, где напряжение понижается до 6–10 кВ, а затем до 220–380 В. Для преобразования напряжения используют трансформатор. Трансформатор – устройство, преобразующее переменное напряжение без изменения его частоты. На схемах трансформатор обозначается: Основные части трансформатора:
Катушка, подключаемая к источнику переменного напряжения, называется первичной обмоткой; катушка, к которой подключается нагрузка, – вторичной обмоткой. Сердечник набирается из отдельных пластин для уменьшения потерь на нагревание вихревыми токами. Принцип действия основан на явлении электромагнитной индукции. При подключении первичной обмотки к полюсам источника напряжения в ней возникает переменный ток. Напряжение изменяется с течением времени по гармоническому закону. С такой же частотой будут изменяться сила тока в катушке и магнитный поток, создаваемый этим током. При изменении магнитного потока в каждом витке провода первичной обмотки возникает переменная ЭДС самоиндукции. Этот магнитный поток будет пронизывать и вторую катушку. В каждом ее витке возникает ЭДС индукции, изменяющаяся по гармоническому закону с той же частотой. Число витков в обмотках различно. Отношение ЭДС самоиндукции \( \varepsilon_1 \) в первичной обмотке к ЭДС индукции во вторичной обмотке \( \varepsilon_2 \) равно отношению числа витков в первичной обмотке \( N_1 \) к числу витков во вторичной обмотке \( N_2 \) : Режим работы
где \( k \) – коэффициент трансформации. Если \( k>1 \) , то трансформатор понижающий, если \( k , то повышающий.
Мощность тока в обмотках одинакова. Поэтому увеличение напряжения на входе повышающего трансформатора в \( k \) раз сопровождается уменьшением силы тока во вторичной катушке во столько же раз. В трансформаторе нет потерь на трение, так как нет вращающихся частей. Потери в сердечнике состоят из потерь на нагревание и на перемагничивание. Отношение мощности \( P_2 \) , потребляемой нагрузкой, к мощности \( P_1 \) , потребляемой первичной обмоткой трансформатора, называется коэффициентом полезного действия трансформатора: КПД трансформатора – 98%. Потребление электрической энергии: промышленность – около 70%; сельское хозяйство; транспорт; строительство; средства связи; в быту. Электромагнитное полеЭлектромагнитное поле – это особый вид материи, с помощью которого осуществляется электромагнитное взаимодействие заряженных тел или частиц. Это понятие было введено Д. Максвеллом, развившим идеи Фарадея о том, что переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Всякое изменение магнитного поля порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, силовые линии которого замкнуты. Вихревое электрическое поле порождает появление вихревого магнитного поля и так далее. Эти переменные электрическое и магнитное поля, существующие одновременно, и образуют единое электромагнитное поле. Характеристиками этого поля являются вектор напряженности и вектор магнитной индукции. Если электрический заряд покоится, то вокруг него существует только электрическое поле. Если напряженность электрического поля равна нулю, а магнитная индукция отлична от нуля, то обнаруживается только магнитное поле. Если электрический заряд двигается с постоянной скоростью, то вокруг него существует электромагнитное поле. Максвелл предположил, что при ускоренном движении зарядов в пространстве будет возникать возмущение, которое будет распространяться в вакууме с конечной скоростью. Когда это возмущение достигнет второго заряда, то изменится сила, с которой электромагнитное поле действует на этот заряд. При ускоренном движении заряда происходит излучение электромагнитной волны. Электромагнитное поле материально. Оно распространяется в пространстве в виде электромагнитной волны. Свойства электромагнитных волнЭлектромагнитная волна – это изменяющееся во времени и распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано английским физиком Дж. Максвеллом в 1864 году. Электромагнитные волны были открыты Г. Герцем. Источник электромагнитной волны – ускоренно движущаяся заряженная частица – колеблющийся заряд. Важно! Источниками электромагнитных волн служат антенны различных конструкций, в которых возбуждаются высокочастотные колебания. Электромагнитная волна называется монохроматической, если векторы \( \vec Длина электромагнитной волны: \( \lambda=cT=\frac где \( c \) – скорость электромагнитной волны, \( T \) – период, \( \nu \) – частота электромагнитной волны. Свойства электромагнитных волн
Важно! Плотность потока или интенсивность – это электромагнитная энергия, переносимая через поверхность единичной площади за единицу времени. Обозначение – \( I \) , единица измерения в СИ – ватт на квадратный метр (Вт/м 2 ). Важно! Электромагнитная волна обладает общими для любых волн свойствами, это:
Электромагнитная волна производит давление на вещество. Это означает, что у электромагнитной волны есть импульс. Различные виды электромагнитных излучений и их применениеЭлектромагнитные излучения имеют длины волн от 10 -12 до 10 4 м или частоты от 3·10 4 до 3·10 20 . Различают следующие виды электромагнитных излучений:
Границы между диапазонами условны, но излучения имеют качественные различия в свойствах. При переходе от излучений с малой частотой к излучениям с большей частотой волновые свойства проявляются слабее, а корпускулярные (квантовые) – сильнее. Радиоволны \( \lambda \) = 10 3 –10 -3 м, \( \nu \) = 10 5 –10 11 Гц. Источники радиоволн – колебательный контур, вибратор. Радиоволны делятся на:
Свойства: отражение, поглощение, интерференция, дифракция. Применение: радиосвязь, телевидение, радиолокация. Радиосвязью называется передача информации с помощью радиоволн. Радиосвязь осуществляется с помощью модулированных радиоволн. Модуляцией радиоволны называется изменение ее параметров (амплитуды, частоты, начальной фазы) с частотой, меньшей частоты передаваемой волны. Схема радиосвязи показана на рисунке: Передача радиоволн. Генератор высокой частоты вырабатывает высокочастотные колебания несущей частоты. Звуковые колебания поступают в микрофон, где преобразуются в электромагнитные колебания. В модуляторе эти колебания преобразуются в модулированные колебания. После усиления модулированные колебания поступают в передающую антенну, которая излучает электромагнитные волны. На рисунке показан звуковой сигнал низкой частоты и модулированный высокочастотный сигнал. Прием радиоволн. Электромагнитные колебания поступают в приемную антенну и вызывают электромагнитные колебания в приемном контуре. Эти колебания поступают в усилитель, а затем в детектор. В качестве детектора используют устройство с односторонней проводимостью. Это может быть полупроводниковый диод. В детекторе сигнал демодулируют (детектируют). Процесс детектирования заключается в выделении из высокочастотных модулированных колебаний колебаний низкой (звуковой) частоты. После сглаживания и усиления сигнал поступает в динамик. На рисунке показаны процессы детектирования (демодуляции) и сглаживания. Радиолокацией называют обнаружение и определение местоположения объектов с помощью радиоволн. Излучение осуществляется короткими импульсами. В интервале времени между излучением двух последовательных импульсов осуществляется прием отраженного от объекта сигнала. Для радиолокации используют ультракороткие радиоволны. Инфракрасное (тепловое) излучение \( \lambda \) = 10 -3 – 10 -7 м, \( \nu \) = 10 11 – 10 14 Гц. Источники – атомы и молекулы вещества. Это излучение испускают все тела при температуре, отличной от 0 К. Свойства: нагревает вещество при поглощении; интерференция; дифракция; проходит через дождь, снег, дымку; невидимо; преломление, отражение. Применение: в приборах ночного видения, в физиотерапии, промышленности (для сушки). Регистрируют с помощью термопары, болометра, фотографическим методом. Видимое излучение \( \lambda \) = 8·10 -7 – 4·10 -7 м, \( \nu \) = 4·10 11 – 8·10 14 Гц. Это излучение воспринимается глазом. Свойства: отражение, преломление, поглощение, интерференция, дифракция. Ультрафиолетовое излучение \( \lambda \) = 10 -8 – 4·10 -7 м, \( \nu \) = 8·10 14 – 3·10 15 Гц. Источники – кварцевые лампы. Ультрафиолетовое излучение дают светящиеся пары ртути и твердые тела, у которых температура выше 1000°С. Свойства: химическое действие; большая проникающая способность; биологическое действие; невидимо. Применение: в медицине, промышленности. Регистрируют фотографическими методами. Рентгеновское излучение \( \lambda \) = 10 -8 – 10 -11 м, \( \nu \) = 3·10 16 – 3·10 19 Гц. Источник – рентгеновские трубки. Возникает при торможении быстрых электронов. Свойства: высокая химическая активность; биологическое действие; интерференция; дифракция на кристаллической решетке; высокая проникающая способность. Применение: в медицине, промышленности, науке. Гамма-излучение Длина волны меньше 10 -11 м, частота от 10 20 Гц и выше. Источник – ядерные реакции. Свойства: высокая проникающая способность, сильное биологическое действие. Применение: в медицине, промышленности (дефектоскопия), науке. Шкала электромагнитных излучений позволяет сделать вывод: все электромагнитные излучения обладают одновременно волновыми и квантовыми свойствами, которые дополняют друг друга. Важно! Решение задач по теме «Электромагнитные колебания и волны» По этой теме можно выделить четыре группы задач:
Решение первой группы задач на определение параметров колебательного контура основано на использовании формулы Томсона (формулы периода свободных электромагнитных колебаний) и закона сохранения и превращения энергии в колебательном контуре. Поэтому необходимо записать уравнения для мгновенных значений заряда и напряжения на конденсаторе и силы тока в катушке; записать уравнение для полной энергии колебательного контура в произвольный момент времени. В качестве дополнительных формул могут понадобиться формулы электроемкости плоского конденсатора, индуктивности катушки и длины электромагнитной волны. Помните, что скорость распространения электромагнитной волны в вакууме равна скорости света – 3·10 8 м/с. В среде с показателем преломления \( n \) скорость света можно рассчитать по формуле: \( v=\frac Важно! При решении второй группы задач на уравнения гармонических электромагнитных колебаний рекомендуется записать заданное в задаче уравнение и уравнение гармонических колебаний в общем виде. Сравнить эти уравнения и определить основные характеристики: амплитуду, частоту, фазу. При решении задач на закон Ома нужно помнить, что электроизмерительные приборы показывают действующие значения напряжения и силы тока. Действующие значения величин пропорциональны амплитудным значениям. Важно помнить, что резонанс возникает при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Решение четвертой группы задач на расчет мощности и КПД трансформатора опирается на знание формул КПД и мощности в цепи. Электромагнитные колебанияАвтор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев Темы кодификатора ЕГЭ: свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур. Колебательный контурКолебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой. Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре. Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю. Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника. Начальный момент: . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1 ). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться. Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока. Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю. Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2 ). Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока. Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же — координата маятника) уменьшается. Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3 ). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора. Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока. Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю. Вторая четверть: . Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4 ). Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током. Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается. Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5 ). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора. Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна . Третья четверть: . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6 ). Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия. Конец третьей четверти: . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7 ). Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении. Четвёртая четверть: . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8 ). Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке. Конец четвёртой четверти и всего периода: . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9 ). Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок — рисунку 1 . Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше. Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение. Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю! Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения. В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов. Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения. Энергетические превращения в колебательном контуреПродолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна . Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой. Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе: Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке: В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна: Соотношение (1) применяется при решении многих задач. Электромеханические аналогииВ предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами. Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1) : Здесь, как вы уже поняли, — жёсткость пружины, — масса маятника, и — текущие значения координаты и скорости маятника, и — их наибольшие значения. Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2) , мы видим следующие соответствия: Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре. В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен: B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим: Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод. Гармонический закон колебаний в контуреНапомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания». Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10 ). Рис. 10. Положительное направление обхода Сила тока считается положительной 0)’ alt='(I > 0)’ /> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной . Заряд конденсатора — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае — заряд левой пластины конденсатора. При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если 0′ alt=’I > 0′ /> , то заряд левой пластины возрастает, и потому 0′ alt=’\dot Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной: Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8) ; не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если — функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ): Подставляя сюда и , получим: Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому Перепишем это в виде: Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна: Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен: Мы снова пришли к формуле Томсона. Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид: Циклическая частота находится по формуле (10) ; амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий. Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1 ); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой : Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12) , опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции: Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса: Амплитуда силы тока равна: Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2 ). Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13) . А теперь посмотрите на рис. 8 . Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело! Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13) . Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11 ). Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда. Используя формулу приведения запишем закон изменения тока (13) в виде: Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна . Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ). Вынужденные электромагнитные колебанияКак вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы. Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12 ). Рис. 12. Вынужденные колебания Если напряжение источника меняется по закону: то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте . Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току. источники: http://fizi4ka.ru/egje-2018-po-fizike/jelektromagnitnye-kolebanija-i-volny.html http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/elektromagnitnye-kolebaniya/ |