Как научить детей решать уравнения

Статья по теме «Как научить детей решать уравнения»
статья по алгебре (5 класс)

Как научить детей решать уравнения

Скачать:

Предварительный просмотр:

Как научить детей в 5 классе решать уравнения

Летом 1995 г. я была на курсах повышения квалификации «Изучении математики по учебникам Петерсон Л.Г. и Дорофеева Г.В». Там меня очень заинтересовала лекция Петерсон Л.Г. о методах решения уравнений. Мне было бы приятно поделиться этой методикой с Вами, дорогие коллеги.

Всем учителям математики хорошо известны, какие трудности порой возникают у учеников любого класса при решении уравнений. Например, решая в 6 классе уравнение:

школьники в растерянности и не могут сразу выбрать способ нахождения неизвестного, то ли как неизвестный член пропорции, то ли как неизвестный делитель, т.е.

В 5 классе школьники не понимают, как решать и как оформить решение уравнения вида

Это происходит, возможно, от того, что правила нахождения неизвестного компонента арифметических действий является неудобным инструментом решения уравнений.

Рассмотрим другой подход у обучения детей решению уравнений. При таком подходе увеличивается глубина и прочность знаний.

Рассмотрим основные этапы обучения детей решению уравнений

Школьникам показывают, что операции сложения и вычитания – совокупность предметов и величин. С помощью наглядных изображений устанавливаются соотношении, выражающие зависимость между частью и целым.

Составляя такие равенства школьники на их основе практических действий выводят и усваивают правила:

• Целое равно сумме частей
• Чтобы найти часть надо из целого вычесть другую часть

Такие правила позволяют быстро научить школьников находить в каждом числовом или буквенном равенстве части и целое, например:

Взаимосвязь между целым и частью является для учащихся удобным инструментом, который даст им возможность легко решать уравнения с неизвестными слагаемыми, уменьшаемыми, вычитаемыми. Школьники рассуждают так,

1) х+18=37 х и 18 – части, 27 целое.

Ищем часть, из целого вычитаем другую часть.

43 – целое, х и 24 – часть. Чтобы найти часть надо из целого вычесть другую часть

Х – целое, 15 и 17 – части. Ищем целое, потому части складыем.

При условии, что навык таких уравнений доведен до автоматизма, решение более сложных уравнений происходит без затруднений, например

(х — 5) и 18 части, 23 – целое. Найдем часть х – 5, из целого вычтем другую часть. Получили более простое уравнение, в котором х – целое, 5 и 5 –части.

Для иллюстрации операций умножения и деления используется прямоугольник. Устанавливаются равенства, в которых множители – стороны прямоугольника, а произведение – площадь.

Очевидно, что стороны – это части, а площадь – целое.

Такие соответствия позволяют решать уравнения, содержащие неизвестный множитель, делимое, делитель.

Решение уравнений с комментированием, т.е. проговаривая выполняемые операции над компонентами действий.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произвеение разделить на известный множитель

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Конструкции уравнений усложняются. Для их решения ученики должны выполнить последовательно несколько преобразований. Каждое из которых освоено ими раньше.

Неизвестно вычитаемое. Найдем его. Неизвестен делитель

Таким образом, внешне ответ ученика у доски выглядит обычно. На самом деле предложения, которые произносит ученик, не заучиваются им, а осмысливаются каждый шаг решения на основе ранее полученных знаний.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

тренажёр «Решаем уравнения»

тренажёр для подготовки к ЕГЭ.

Конспект занятия по математике Научим Незнайку решать задачи

Занятие для подготовительной группы.

Из опыта работы учителя математики: Как я учу детей решать уравнения с модулем.

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах. Несмотря на то, ч.

как решать уравнения

Статья «Как научить детей воспринимать музыку?»

В статье раскрываюся такие понятия, как «восприятие музыки», «любовь к музыке», «понимание музыки». Даются методические рекомендации по формированию умения слушать и вопринимать классическ.

Статья «Научить детей создавать красоту на уроках ИЗО»

«Если ты хочешь наслаждаться искусством, ты должен быть художественнообразованным человеком». К.Маркс.

Статья «Научить детей создавать красоту на уроках ИЗО»

«Если ты хочешь наслаждаться искусством, ты должен быть художественнообразованным человеком». К.Маркс.

Методика изучения уравнений и способов их решения.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Методика изучения уравнений и способов их решения.

Уравнение в начальном курсе математики трактуется как равенство, содержащее букву (переменную). Решить уравнение — значит узнать, при каких значениях буквы (переменной) уравнение обращается в верное числовое равенство. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, называют решением уравнения.

В учебнике М.И. Моро учащиеся решают уравнения двумя способами: 1) способом подбора (в простейших случаях); 2) способом, основанном на применении правил нахождения неизвестных компонентов арифметических действий.

В методике формирования у младших школьников представлений об уравнении можно выделить следующие этапы:

I этап – подготовительный. На этом этапе выполняются следующие два вида упражнений: 1) решаются способом подбора примеры с «окошком» вида  + 3 = 7;  — 4 = 2; 8 —  = 5;

2) раскрывается связь между компонентами и результатом действий сложения и вычитания (правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого).

Выполнение специальных упражнений – равенств с «окошками» является подготовкой для перехода к решению простейших уравнений вида х + 2 = 7; х — 5 = 4; 8 — х = 6, с которыми учащиеся знакомятся только во 2 классе (часть 1, с.68).

II этап – знакомство с уравнением и овладение способом его решения.

Введение понятия «уравнение» фактически сводится к замене «окошка» латинской буквой х и к введению термина «неизвестное число».

Ознакомление с уравнением можно начать с рассмотрением равенства с «окошком»:  + 4 = 7

К какому числу надо прибавить 4, чтобы получилось 7?

(Вместо «окошка» учащиеся подставляют одно за другим числа 0, 1, 2, 3, пока не найдут такое, которое подходит, чтобы получилось верное равенство).

Учитель объясняет, что в математике принято обозначать неизвестное число латинской буквой х (вставляет х в окошко).

х + 4 = 7 – это уравнение.

Решить уравнение – значит найти неизвестное число.

Чему равно неизвестное число в данном уравнении? (3).

На данном этапе очень важно сформировать осознанный и математически верный подход к решению уравнений, чтобы ученик сразу ориентировался на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится.

Сначала уравнения решаются способом подбора (учащиеся могут при этом воспользоваться как знанием состава числа, так и вычислительными приемами сложения или вычитания в пределах 10).

Используя способ подбора, учащиеся смогут справиться и с решением уравнений на нахождение неизвестного уменьшаемого или вычитаемого. Например, 9 – х = 7. (Подставим вместо х один: 9 — 1  7, х  1; подставим число 2: 9 – 2 = 7, х = 2).

Аналогично в 3 классе вводятся уравнения вида х • 3 = 12, 5 • х = 10, х : 2 = 4, 6 : х = 3, которые также вначале решаются подбором с использованием табличных случаев умножения и деления.

Позднее, когда учащиеся усвоят знания связей между компонентами и результатами арифметических действий уравнения начинают решать на основе знаний правил нахождения неизвестного компонента.

Для решения уравнений вторым способом с помощью правила предлагается такое уравнение, которое дети не могут быстро решить способом подбора, например: х + 13 = 71.

Решение уравнения оформляется следующим образом:

х + 13 = 71 х — 5 = 27 32 — х = 8

х = 71 — 13 х = 27 + 5 х = 32 — 8

58 + 13 = 71 32 — 5 = 27 32 — 24 = 8

71 = 71 27 = 27 8 = 8

14 • х = 28 х : 6 = 12 48 : х = 4

х = 28 : 14 х = 12 • 6 х = 48 : 4

14 • 2 = 28 72 : 6 = 12 48 : 12 = 4

28 = 28 12 = 12 4 = 4

Ученики объясняют решение уравнения х + 13 = 71 так: читаю уравнение х плюс 13 равно 71 (сумма чисел х и 13 равна 71; х увеличить на 13 получится 71). В уравнении неизвестно первое слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть второе слагаемое. Из 71 вычтем 13, получим 58. Значит, х равен 58. Проверим: к 58 прибавим 13, получим 71. Получилось верное равенство 71 = 71, значит уравнение решено правильно .( 3 кл. ч 2 с. 20- объяснить самост)

Особенности ознакомления с уравнениями в курсе Л.Г. Петерсон

В 1 классе (часть 3, уроки 11 — 18) решаются уравнения на сложение и вычитание с фигурами, линиями и числами на основе взаимосвязи между частью и целым. Для решения этих уравнений достаточно применить уже известные учащимся правила:

Целое равно сумме частей.

Чтобы найти часть надо из целого вычесть другую часть.

На уроке 11 вводится понятие уравнения. Перед этим в устные упражнения целесообразно включать примеры с «окошками», решаемые на основе взаимосвязи «часть — целое»:

Затем рассматриваются способ решения уравнений на основе понятий «целое» и «части»:

1) х + 4 = 8 х и 4 — части, 8 — целое.

х = 8 — 4 Ищем часть, поэтому из целого вычитаем другую часть.

Во втором классе во второй части (урок 1) рассматриваются уравнений нового вида с умножением и делением (а • х = b , х : а = b , а : х = b .)

Учащиеся знакомятся еще с новым способом решения таких уравнений на основе правил на нахождение стороны и площади прямоугольника.

Для решения уравнений данного вида нельзя использовать правила о части и целом, так как второй множитель ( х • 4 = 12 ) — это не часть, а количество равных частей, на которое разбито целое.

В 3 классе (часть 1, урок 10) дается определение уравнения и корня уравнения; показывается решение уравнений на основе правил нахождения неизвестных компонентов действий:

— Если в равенство, содержащее переменную, подставить какое-нибудь число, то может получиться верное или неверное высказывание. Например, при x = 3 равенство x + 2 = 5 будет верным, а при x = 8 — неверным.

— Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.

— Значение переменной, при котором из уравнения получается верное равенство, называют корнем уравнения. Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что их нет).

Неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Неизвестно делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.

Неизвестен делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Затем решаются уравнения более сложной структуры, которые после упрощения числовых выражений в правой части, сводятся к известным случаям: (х + 3) : 8 = 5.При решении таких уравнений рассуждаем так: 1) последнее действие – деление, значит задано частное. 2) неизвестное в делимом, чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель: х + 3 = 5 ∙ 8; х + 3 = 40.

3) получили сумму, неизвестно первое слагаемое, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: х = 40 – 3; х = 37. Проверка: (37 + 3) : 8 = 5; 5 = 5.

О методике работы репетитора по математике с темой «решение уравнений» в 5-6 классах

З накомство ребенка с уравнениями начинается почти с самого начала изучения математики, задолго до ЕГЭ и, как правило, задолго до обращения к репетитору. Еще в младшей школе решаются простейшие алгебраические уравнения, которые служат фундаментом для построения алгоритмов решения уравнений в 11 классе. Каких только разновидностей уравнений не встретишь в школе: алгебраические, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические. Голова идет кругом. При этом, почти к каждому разделу учебника математики прикрепляются уравнения определенного вида с различной комбинацией изученных действий, функций и разным уровнем сложности. Репетитору по математике важно помнить о том, что методы обучения решению уравнений на разных этапах освоения предмета имеют много общего, так как по сути перед учеником ставится одна и та же задача — подбор числа или чисел, удовлетворяющих данному равенству.

Основы работы с уравнениями закладываются задолго до 11 класса и объясняются на простых математических объектах, пока предмет еще не разделен на алгебру и геометрию. Именно в этом возрасте ребенку отводится время на формирование представление о том, как изучаемый объект устроен и как он используется в реальных ситуациях. Исключение этого важного этапа математической подготовки в большинстве случаев оказывается в последствии невосполнимым. Даже опытный репетитор по математике, работая с учеником старших классов, не сможет в полной мере компенсировать недостаток внимания к уравнениям в младших. Можно только дать представление о методах решения или натаскать на заучивание определенных алгоритмов.

Наверное любой репетитор по математике, успевший плотно поработать с учениками 5-6 классов хотя бы пару лет, слышал жалобы от родителей, связанные со снижением успеваемости при переходе в 6 класс. Проблемы начинают возникать даже, казалось бы, с такой простой темой, как уравнения. К удивлению родителей она вдруг неожиданно переходит в категорию трудных. «Мой ребенок всегда хорошо решал уравнения и вдруг перестал их понимать», — часто жалуются родители репетитору математики. «Что нам делать? Я не могу ему донести то, что понимаю сама, а в школе преподаватель толком ничего не объясняет, а только требует», — обычная картина из практики репетитора: родители в панике. Однако, попытка найти спасение нанимая ребенку преподаваеля, не всегда приводит к желаемому результату. Почему?

Репетитор по математике в работе со слабым шестиклассником часто повторяет методологию учебников и опирается на определенные навыки работы с числами и действиями, которые должны быть у школьника сформированны к этому моменту. Но это относится только к способному ребенку. Реальность репетиторской работы такова, что эти навыки дети часто или не получают вовсе или не могут применить их работе с аналогичными, но более сложными конструкциями. И дело не только в том, что этому мало кто учит. Причина кроется еще и в возрастных особенностях работы памяти ребенка и его мышления, в способности рассмотреть простой объект внутри сложного. В большинстве случаев, с которыми репетитору приходится сталкиваться, ученику рано переходить к использованию алгоритмов в более сложных математических объектах.

Во-первых, понимание этих аналогий часто еще не успевает сформираться. Во-вторых, механизмы позволяющие переносить эти операции на более сложные объекты могут быть не отработаны на достаточном количестве заданий. В третьих, сами операции и правила, по которым они выполняются, часто забываются.

Глубоким заблуждением многих методистов, репетиторов по математике и школьных преподавателей является мнение о том, что правила нахождения компонентов алгебраических действий помогают ребенку принять решение о том том, сложить ли ему данные числа, или отнять, найти ли разность a-b или b-a. Вспомните себя, помогало ли вам на уроках математике такое правило: чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность? Приходится вспоминать названия участников действия, затем текст правила (каждое для своего случая). Пока будет вспоминать текст, — успеет забыть где у него в уравнении стоит уменьшаемое, а где вычитаемое. Начтет вспоминать названия — забудет правило. А еще нужно правильно записать и произвести вычисления. Куда тут до правильного ответа? Укротить бы термины.

Как действует ученик в простом случае и почему он промахивается с подбором действий в более сложных? Дело в том, что к моменту, когда ему необходимо решить уравнение 8-x=3 он, как правило, получает хорошую практику вычислений (если преподаватель по математике дал классу эту практику) и просто узнает знакомую картинку, в которой пропущено одно число. Он может и без правил догадаться, какое число ему поставить вместо икса. И если требуется записать действие для его нахождения, он переберет все возможные варианты с числами 8 и 3 (благо они перед глазами) и выпишет подходящее. Никакими правилами нахождения вычитаемого он в большинстве случаев не пользуется. Это слишком сложно для него.

С некоторым напряжением ученику даются уравнения, нагруженные несколькими действиями, например . Если числа в таких уравнених не очень большие, то в голове пятиклассника реализуется тот же самый алгоритм подбора неизвестного компонента 2x-8 в делении. Этот алгоритм, обычно, опережает подбор действия, с помощью которого получается ответ. Сложности возникают только с тем, что ребенку приходится находить не икс, а некотороый промежуточный результат. Практика моей работы репетитором по математике показывает, что с этим видом непонимния часто удается справиться сравнительно легко. Главная помощь репетитора здесь заключается в своевременном повторении понятия «корень уравнения» и «проверка корня». При этом репетитор должен уделить внимание практическому ходу этой проверки и выделить в ней определенные этапы:
1) Берем наугад число для проверки
2) Выполняем его умножение на 2, затем потом вычитаем 8 и получаем некоторый промежуточный результат
3) делим 42 на него и должно получиться 7.

При такой форме ребенок в 95 % случаев сам скажет репетитору математики, что нужно разделить 6. В этот момент грамотный репетитор обязательно укажет ученику на то, что подобранное число 6 должно получиться в результате вычитания. Останется понять как при вчитани числа 8 получить 6. Репетитору должен поставить новую цель: что вставить вместо икса, чтобы после умножения на 2 и вычитания восьми эта шестерка получилась. Тогда надо решить уравнение, в котором слева уже стоит не , а . Этот момент отдельно выделяется и репетитору обязательно нужно на нем остановиться отдельно. Решая такими путями уравнения ребенок запоминиает поведение чисел. Те взаимосвязи, которые предлагабются ему для заучивания запоминаются в естественном порядке, а именно в процессе деятельности.

Существуют простые, но важные правила работы с методикой:

1) Репетитор по математике должен исключить из текстов своих пояснений стандартные математические термины и шаблонные фразы («значение выражения», «переменная», «делитель», «значение переменной, при которой. »)

2) При подборе уравнения следует не дупустить проникновение в него повторяющихся действий и даже повторяющихся чисел (как начальной в записи самого уравнения, так и во всех дальнейших формах). Иначе ребенок запутается, о каком делении репетитор по математики говорит в конкретный момент и о каком числе 6 идет речь, если она используется дважды.

3) Каждая пара чисел в уравнении на каждом этапе решения должна быть удобной для подбора третьего числа.

В конце 5-го и в начале 6-ого класса понятие числа расширяется. Появляются уравнения с дробями (десятичными и обыкновенными) и вместе с ними приходят главные проблемы. Как теперь решить такое?

Подбор числа и действия затрудняется, так как операции с дробями делаются в несколько этапов. Если раньше ребенок мог распознать, что число а не делится на число b, то теперь уже можно делить друг на друга почти все числа. Сложнее узнать знакомое сочетание и подбирать для него соответствующее арифметическое действие. При достаточном количестве решенного ранее, способные дети дети запоминают алгоритмы и по аналогии применяют их в новой систуации. А что делать отстающим? У многих из них информация о правилах еще успела прочно отложиться в его долговременной памяти. Репетитор по математике истытывает в работе с такими детьми огромные трудности, а ведь решение проблемы лежит на поверхности.

Репетитору необходимо продлить время привычной деятельности ученика при решении уравнений. То есть подбирать действия прежним способом. Для этого преподавателю достаточно обязать (или разрешить) рядом с решаемым уравнением составить любой простенький пример на это же действие, но с натуральными числами. Допустим, надо решить уравнение:

Репетитор просит ученика определить последнее действие в левой части уравнения, составить с его участием любой простенький пример из программы 2-го класса и записать его где-нибудь рядом. В особых случаях можно рекомендовать использовать нижнюю строчку под самим уравнением. Ребенок смотрит, какой учасник последнего действия в исходном уравнении неизвестен, находит его аналог в придуманном примере и по нему подбирает арифметическое действие с соседними числами (благо они перед глазами). Затем просто переносит его на свое уравнение. И так с каждым исключением последнего действия. Полное оформление может выглядеть следующим образом:

Репетитор по математике должен договориться с учеником о том, чтобы в составленных примерах числа не повторялись. Не стоит cоставлять такие примеры:
и подобные им .

Для совсем слабых детей репетитор может заготовить отдельные карточки с уже подобранными примерами на все действия и класть их перед учеником в нужный момент.

Статья из цикла «методики для репетиторов».
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва, Строгино.