Типы дифференциальных уравнений
Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Особенности дифференциальных уравнений первого порядка
При решении уравнений первого порядка функцию y и переменную x следует считать равноправными. То есть решение может быть в виде так и в виде .
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
Уравнения с разделяющимися переменными
;
. Подробнее
Приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными:
Подробнее
Однородные уравнения
Однородные уравнения не меняют свой вид при замене
,
где t – постоянная. При такой замене производная не меняется:
.
В общем виде обобщенно однородные уравнения можно записать посредством однородных функций:
,
где и – однородные функции с равными показателями однородности, то есть обладающие следующим свойством:
.
Общий вид однородных уравнений также можно выразить через произвольную функцию:
. Подробнее
Приводящиеся к однородным
,
где и – однородные функции с равными показателями однородности. В общем виде такие уравнения можно выразить через произвольную функцию:
. Подробнее
Обобщенно однородные уравнения не меняют свой вид при замене
,
где t – постоянная, . Для производной такая замена выглядит так:
.
В общем виде обобщенно однородные уравнения можно записать посредством однородных функций:
,
где и – однородные функции с равными показателями однородности.
Обобщенно однородные уравнения также можно записать через произвольную функцию:
. Подробнее
Линейные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- Линейное по y:
- Линейное по f(y):
- Линейное по x:
- Линейное по f(x):
Уравнения Риккати
Уравнения Якоби
Уравнения в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то следует попытаться найти интегрирующий множитель, чтобы свести его к уравнению в полных дифференциалах:
;
. Подробнее
Уравнения, не разрешенные относительно производной y′
Уравнения, допускающие решение относительно производной y′
Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной y′ . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.
Уравнения, не разрешенные относительно производной y′
Уравнения, допускающие разложение на множители:
.
Подробнее
Уравнения, не содержащие x и y:
. Подробнее
Уравнения, не содержащие x или y:
, или . Подробнее
Уравнения, разрешенные относительно зависимой переменной y
Уравнения Клеро:
. Подробнее
Уравнения Лагранжа:
. Подробнее
Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли:
;
. Подробнее
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах
Уравнения, содержащие переменную и старшую производную
Общий случай:
. Подробнее
Разрешенные относительно старшей производной:
. Подробнее
Разрешенные относительно переменной:
. Подробнее
Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-1
Общий случай:
. Подробнее
Разрешенные относительно младшей производной:
. Подробнее
Разрешенные относительно старшей производной:
. Подробнее
Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-2
Общий случай:
. Подробнее
Разрешенные относительно старшей производной:
. Подробнее
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие зависимую переменную y (и возможно несколько первых производных):
, или
. Подробнее
Уравнения, не содержащие независимую переменную x:
. Подробнее
Уравнения, однородные относительно функции и ее производных y, y′, y′′, . :
, причем
. Подробнее
Обобщенно однородные уравнения относительно переменных x, y:
, причем
. Подробнее
Дифференциальные уравнения с полной производной:
. Подробнее
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:
. Подробнее
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:
.
Решение методом Бернулли (двух функций)
Решение методом Лагранжа (вариация постоянных)
Решение линейной подстановкой
Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью:
,
где – многочлены степеней и . Подробнее
Уравнения Эйлера:
. Подробнее
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-05-2012 Изменено: 26-11-2021
Что такое дифференциальное уравнение и зачем оно нужно?
На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений – без этого не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д. Ниже мы приведем пример использования дифференциальных уравнений в экономике, но перед этим кратко расскажем об основных типах уравнений.
Дифференциальные уравнения – простейшие виды
Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны на математическом языке. Конечно, в алгебре есть много примеров различных уравнений, но это, большей частью, учебные примеры, неприменимые на практике. По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, протекающие в реальной жизни. Но как отразить фактор времени, которому подчиняются реальные процессы – инфляция, выработка продукции или демографические показатели?
Вспомним одно важное определение из курса математики, касающееся производной функции. Производная является скоростью изменения функции, следовательно, она может помочь нам отразить фактор времени в уравнении.
То есть, мы составляем уравнение с функцией, которая описывает интересующий нас показатель и добавляем в уравнение производную этой функции. Это и есть дифференциальное уравнение. А теперь перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений для чайников.
Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид $y’(x)=f(x)$, где $f(x)$ – некоторая функция, а $y’(x)$ – производная или скорость изменения искомой функции. Оно решается обычным интегрированием: $$y(x)=\int f(x)dx.$$
Второй простейший тип называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Такое уравнение выглядит следующим образом $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Видно, что зависимая переменная $y$ также входит в состав конструируемой функции. Уравнение решается очень просто – нужно «разделить переменные», то есть привести его к виду $y’(x)/g(y)=f(x)$ или $dy/g(y)=f(x)dx$. Остается проинтегрировать обе части $$\int \frac
Последний простой тип – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид $y’+p(x)y=q(x)$. Здесь $p(x)$ и $q(x)$ – некоторые функции, а $y=y(x)$ – искомая функция. Для решения такого уравнения применяют уже специальные методы (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной, метод подстановки Бернулли).
Есть более сложные виды уравнений – уравнения второго, третьего и вообще произвольного порядка, однородные и неоднородные уравнения, а также системы дифференциальных уравнений. Для их решения нужна предварительная подготовка и опыт решения более простых задач.
Большое значение для физики и, что неожиданно, финансов имеют так называемые дифференциальные уравнения в частных производных. Это значит, что искомая функция зависит от нескольких переменных одновременно. Например, уравнение Блека-Шоулса из области финансового инжиниринга описывает стоимость опциона (вид ценной бумаги) в зависимости от его доходности, размера выплат, а также сроков начала и конца выплат. Решение дифференциального уравнения в частных производных довольно сложное, обычно нужно использовать специальные программы, такие как Matlab или Maple.
Пример применения дифференциального уравнения в экономике
Приведем, как и было обещано, простой пример решения дифференциального уравнения. Вначале поставим задачу.
Для некоторой фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид $MR=10-0,2q$. Здесь $MR$ – маржинальная выручка фирмы, а $q$ – объем продукции. Нужно найти общую выручку.
Как видно из задачи, это прикладной пример из микроэкономики. Множество фирм и предприятий постоянно сталкивается с подобными расчетами в ходе своей деятельности.
Приступаем к решению. Как известно из микроэкономики, маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж.
С математической точки задача свелась к решению дифференциального уравнения $R’=10-0,2q$ при условии $R(0)=0$.
Проинтегрируем уравнение, взяв первообразную функцию от обеих частей, получим общее решение: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$
Чтобы найти константу $C$, вспомним условие $R(0)=0$. Подставим: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Значит C=0 и наша функция общей выручки принимает вид $R(q)=10q-0,1q^2$. Задача решена.
Другие примеры по разным типам ДУ собраны на странице: Дифференциальные уравнения с решениями онлайн.
Дифференциальные уравнения (ДУ) — методы и примеры решения уравнений разного порядка
Многих людей, хоть как-то изучавших курс высшей математики в учебном заведении, приводит в ужас словосочетание «дифференциальные уравнения». Согласно строгому научному определению в книгах – так именуются математические выражения, где в состав входят функция, ее производная или параметр. Имеется достаточно большое количество типов этих равенств, рассмотрим подходы к их решению так, чтобы они были понятны даже для «чайников».
Дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенное диффуравнение (ДУ) 1-го порядка задается относительно некой функции, имеющей вид у(х):
здесь, F(x,y,y ’ ) – это функция, задающаяся для трех аргументов (в этом примере для х, у и у ’ ).Таково строгое математическое определение ДУ.
Для примера можно привести следующее уравнение:
функция вида F(x,y,p) = xp — y 2
Простейшие ДУ первого порядка
Общепринятый механизм нахождения решения таких выражений (чаще всего похожи на y’ = f(x)) – это интегрирование левой и правой части такого уравнения на заданном промежутке Х.
После интегрирования получим такое выражение:
Воспользовавшись свойствами, которые относятся к интегральным выражениям, упростим выражение до вида:
здесь, F(x) – это первообразная от функции f(x) на заданном интервале Х, а N – случайным образом выбранная константа.
Задача №1
Необходимо определить все возможные варианты решения диффуравнения, имеющего вид
Последовательно рассмотрим решение.
Представленное диффуравнение может иметь смысл только при действительных значениях параметра х. Примем условие, что x ≠ 0, тогда выражение легко преобразовывается в следующее:
Если же, напротив, принять, что х = 0, то выражение приобретет следующий вид, характерный для любых функций y’, удовлетворяющих данному условию:
Можно заключить, что решением при справедливости условия х = 0 будет любая функция у, найденная, когда аргумент равен нулю. Остается только проинтегрировать полученное диффуравнение:
Данное выражение – это решение для приведенного диффуравнения.
ДУ с разделяющимися переменными
Среди дифуров 1-го порядка можно выделить такие, где все переменные х и у можно преобразовать так, что они окажутся по разные стороны от знака равенства.
Соответственно уравнения, где путем преобразований это возможно сделать, называются диффуравнениями с разделяющимися переменными.
Их общий вид следующий:
После проведения нескольких преобразований, это выражение может быть сведено к следующему виду:
При составлении преобразований необходимо внимательно разделять переменные, не допуская, чтобы функции обращались в ноль, иначе возможна потеря некоторых значений.
Задача №2
Рассмотрим обыкновенный пример. Необходимо определить все возможные решения диффуравнения y’ = y(x 2 + e x )
Как решать? В первую очередь проводим разделение переменных в разные части уравнения:
Данные преобразования справедливы, если у ≠ 0.
Если рассмотреть вариант решения при нулевом показателе функции, то можно заметить ,что
Это означает, что y = 0 – одно из возможных решений задачи.
Рассмотрим другие варианты решений, для чего произведем интегрирование диффуравнения:
Финальная часть преобразований будет вторым решением диффуравнения. Останется только потенциировать это выражение, чтобы привести его к более явному виду:
Правильными решениями, в результате преобразований, будут:
Кроме того, можно воспользоваться онлайн системой для нахождения ответа. Подробные объяснения даны в решебниках Филиппова и Понтрягина.
Линейные неоднородные ДУ первого порядка
Линейные неоднородные уравнения – это такие выражения, которые можно записать в формате y’ + b(x)y = f(x), при этом функции b(x) и f(x) – непрерывные.
Основной принцип при нахождении решения сводится к следующим шагам:
Первым делом для уравнения необходимо произвести поиск решения, которое бы соответствовало линейному однородному диффуравнению.
Затем необходимо варьировать произвольной постоянной, производя ее замену на функцию.
На финальном этапе функция подставляется в первоначальное уравнение, откуда, решая ДУ, получается ответ.
Задача №3
Рассмотрим применение методики решения на примере.
Необходимо найти решение дифференциального уравнения вида
Решение заключается в следующем. Первоначально примем, что y = m∗n, следовательно, получается:
На следующем этапе нужно определить, что такое m (оно обязательно не должно быть равным нулю), при котором все выражение внутри скобок будет равно нулю.
Получаем дополнительное дифференциальное уравнение:
Теперь необходимо принять одно из частных решений n = x 2 + 1, которое соответствует равенству С2 — С1=0.
Выполняем оставшиеся преобразования:
Вполне очевидно, что ответом на условие задачи будет функция:
Задача Коши для ДУ
При рассмотрении решения практически любого диффуравнения, имеющего вид F(m,n,n’) = 0, становится очевидно, что это бесконечно большое количество решений (это следствие самого возникновения диффуравнения).
На данном этапе математики сталкиваются с вопросом о выборе конкретного решения и способе его выделения из множества.Иными словами, если представить решения в виде бесконечного множества интегральных кривых, то необходимо найти среди них нужную.
Чтобы это сделать, необходимо рассмотреть плоскость Xoy, где должна быть задана некая точка D0, имеющая координаты (x0, y0) – именно через них и должна пройти интегральная кривая, чтобы стать искомым ответом.
Когда мы с самого начала задаем точку D0(x0, y0) – это означает, задание начального условия y(x0) = y0. Диффуравнение, для которого определено начальное условие в представленном формате, называется уравнением с заданной задачей Коши.
Задача №4
Рассмотрим примеры с объяснениями. Необходимо определить решения задачи Коши вида:
Ход решения строится в три этапа. На первом этапе решаем диффуравнение y’ = xy 2 стандартным методом. Его решение приводить не будем, приведем только ответ:
Производим подстановку начального значения (х = 0, у = 1) в решение и находим значение С:
Производим подстановку полученного значения в ответ диффуравнения и получаем одно из частных решений:
Полученная функция – ответ на задачу Коши в этом примере.
Дифференциальные уравнения Бернулли
ДУ Бернулли обычно представлено в следующем виде:
Обязательное условие, что функции b(x) и c(x) – являются непрерывными.
Задача №5
Рассмотрим общее решение данного типа на примере. Необходимо выполнить поиск всех возможных решений уравнения:
Во время оценки уравнения в нем можно идентифицировать ДУ Бернулли с параметром ½. Оно легко сводится к линейному ДУ, для этого достаточно заменить выражения:
Выполним деление по начальному уравнению Бернулли на
и выполним необходимые преобразования:
Произведем замену параметра х на параметр у:
Теперь вычисляем интегрирующий модуль для данной функции, он будет равен:
Теперь производим ряд преобразований для вычисления решения диффуравнения:
Переписываем полученную функцию в неявном виде и получаем ответ:
Дифференциальные уравнения второго порядка
Отличить ДУ 2-го порядка от таковых 1-го порядка достаточно просто – в их составе присутствует вторая производная (y’’) и не содержится производных более высокого уровня.
Общий вид таких уравнений таков:
Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение линейных дифференциальных однородных уравнений 2-го порядка крайне просто – они имеют вид:
При это важным условием теории является причисление r и k к действительным числам.
Задача №6
Рассмотрим решение однородных диффуравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.
Найти решение диффуравнения 2-го порядка вида:
Во всех таких случаях начинаем с поиска характеристического уравнения:
Методы решения данного уравнения достаточно простые, можно воспользоваться калькулятором или быстро решить на листочке, поэтому их приводить не будем, запишем лишь корни – 1, 5.
Поскольку это все действительные, неодинаковые числа, то можно записать функцию-решение в следующем виде:
Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид неоднородных диффуравнений второго порядка легко определить по представленному образцу:
Переменные r и k должны быть вещественными и постоянными числами.
Задача №7
Рассмотрим подробное решение. Необходимо определить все решения для уравнения y» + y = cos x.
На первом этапе находим в составе неоднородного уравнения его однородную часть – это будет y» — y = 0.
Для него уже выполняем поиск характеристического уравнения – оно будет иметь вид k 2 + 1 = 0.
Корнями для данного характеристического уравнения являются k1 = -i и k2 = i.
Исходя из этого записываем решение для однородного уравнения:
Из-за отсутствия параметра с производной первого порядка также будет справедливо записать:
Теперь остается только подставить найденные выражения:
Частное и общее решение для уравнения можно записать:
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные однородные уравнения высших порядков легко отличить, если они совпадают со следующим видом:
Для неоднородных справедлив другой формат:
Для выбора корректного пути решения ДУ, необходимо четко и правильно определить его тип.
Для этого необходимо решить уравнение относительно его производной и проверить, возможно ли разложение функции на множители. После этого достаточно сравнить с одним из типов, приведенным в данной статье.
http://www.matburo.ru/mart_sub.php?p=art_du
http://nauka.club/matematika/algebra/differentsialnye-uravneniya.html