Как научиться решать сложные уравнения

Как решать уравнения: от простого к сложному 2-4 класс

Уравнение — равенство, содержащее букву латинского алфавита, значение которой нужно найти.

Решить уравнение — значит подобрать такое число, при котором равенство становится верным.

Любые уравнения решаются на основе зависимости между компонентами. Простые уравнения учащиеся начальной школы начинают решать уже 2 классе. По мере взросления, усложняются и уравнения, переходя от простых к сложным уравнениям в 4 классе начальной школы.

Простые уравнения во 2 классе решают на основе взаимосвязей между компонентами при сложении или вы­читании. Важно соблюдать алгоритм решения уравнения.

Решение уравнения

Объяснение

чтобы найти первое сла­гаемое, нужно из сум­мы вычесть второе сла­гаемое.

Вычисляю: 35 — 7 = 28

Проверяю: 28 + 7 = 35

чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Вычисляю: 20 + 13 = 33

Проверяю: 33 — 13 = 20

чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть раз­ность

Вычисляю: 46 — 42 = 4

Проверяю: 46 — 4 = 42

Простые уравнения вида х • 6 = 72, х : 8 = 12, 64 : х = 16 решают на основе взаимосвязей между результатами и компонентами действий.

Решение уравнения

Объяснение

1) Читаю уравнение: произ­ведение х и 6 равно 72.

2) Вспоминаю правило: что­бы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

3) Вычисляю: х = 72 : 6

4) Проверяю: 12 • 6 = 72

1) Читаю уравнение: частное х и 8 равно 12.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

3) Вычисляю: х = 12 • 8

4) Проверяю: 96 : 8 = 12

1) Читаю уравнение: частное 64 и х равно 16.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разде­лить на частное.

3) Вычисляю: х = 64 : 16

4) Проверяю: 64 : 4 = 16

Сложные уравнения в начальной школе состоят из нескольких арифметических действий. Алгоритм решения заключается в превращение сложного уравнения в простое.

Уравнения на нахождение неизвестного слагаемого

1)Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 12 • 4 = 48.

2) В уравнении х + 13 = 48 неизвестно первое слагаемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвест­ное слагаемое, нужно из суммы вычесть из­вестное слагаемое.

4) Вычисляю: х = 48 — 13

5) Проверяю: 35 + 13 = 12 • 4

Уравнения на нахождение неизвестного уменьшаемого

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 51 : 17 = 3.

2) В уравнении х — 24 = 3 неизвестно умень­шаемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвест­ное уменьшаемое, нужно к разности приба­вить вычитаемое.

4) Вычисляю: х = 24 + 3

5) Проверяю: 27 — 24 = 51 : 17

Уравнения на нахождение неизвестного вычитаемого

640 — х = 180 + 120

640 — 340 = 180 + 120

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 180 + 120 = 300.

2) В уравнении 640 – х = 300 неизвестно вычи­таемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть раз­ность.

4) Вычисляю: х = 649 – 300

5) Проверяю: 640 — 340 = 180+120

Уравнения на нахождение неизвестного множителя

5 • 77 = 131 + 254

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 131 + 254 = 385.

2) В уравнении 5 • х = 385 неизвестен второй множитель.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвест­ный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

4) Вычисляю: х = 385 : 5

5) Проверяю: 5 • 77 = 131 + 254

Уравнения на нахождение неизвестного делимого

64 000 : 8 = 800 • 10

1) Вычисляю значение выражения в правой части.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

Уравнения на нахождение неизвестного делителя

1) Вычисляю значение выражения вправой части.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимоеразделить на частное.

Как решать сложные уравнения в 4 классе подробно рассмотрено в статье по ссылке.

Как решать сложные составные уравнения?

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Под сложными (составными) уравнениями мы понимаем уравнения, которые содержат два или более арифметических действия.

Решение таких уравнений выполняется по тем же правилам, которые мы рассмотрели на странице «Решение простых уравнений 5 класс» в этой же теме.

Но решение составных уравнений производится в определённой последовательности.

Расставляем порядок действий в уравнении.

Определяем неизвестное по последнему действию . Последнее действие в данном уравнении — это вычитание. Обращаем ваше внимание, что на этом этапе наше неизвестное — это «5y», и именно его мы рассматриваем как уменьшаемое.

Решаем как простое уравнение и находим «5y». Вспомним правило для нахождения неизвестного уменьшаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Теперь перед нами простое уравнение. Необходимо найти неизвестный множитель. Решаем уравнение по следующему правилу.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Не забудем выполнить проверку.

Всё верно. Значит уравнение решено правильно.

Другой способ решения сложных уравнений

Некоторые сложные (составные уравнения) можно решать другим способом. Зная и умея применять свойства сложения и вычитания, а также свойства умножения и деления, уравнения решаются следующем образом.

Упрощаем выражение, стоящее в левой части уравнения, используя одно из свойств вычитания.

Чтобы из суммы отнять число, нужно это число вычесть из одного слагаемого и прибавить результат вычитания к другому слагаемому.

Далее решаем простое уравнение, пользуясь правилом нахождения неизвестного слагаемого.

Упрощение выражений в уравнениях

Запомните!

Если в уравнении встречается выражения, которые можно упростить, то вначале упрощаем выражения, и только после этого решаем уравнение.

Левую часть уравнения можно упростить. Сделаем это.

Теперь решим простое уравнение по правилу нахождения неизвестного множителя.

Завершив пример, выполним проверку.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 263 материала в базе

Другие материалы

• 25.12.2018
• 1120
• 36

• 25.12.2018
• 728
• 1

• 25.12.2018
• 609
• 14

• 25.12.2018
• 636
• 5

• 25.12.2018
• 215
• 0

• 25.12.2018
• 141
• 0

• 25.12.2018
• 346
• 0

• 25.12.2018
• 128
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 25.12.2018 5227
• DOCX 98.8 кбайт
• 13 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Корлыханова Анна Максимовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 12806
• Всего материалов: 15

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Решение рациональных уравнений сложного вида в 9-м классе

Разделы: Математика

Цели:

• Обобщить и углубить знания обучающихся по данной теме;
• Научить использовать различные методы решения: метод разложения на множители – группировки, метод замены переменной – подстановки для подведения рациональных уравнений сложного вида к более простому;
• Познакомить с различными видами рациональных уравнений: симметрических, частного случая возвратных уравнений и с методом их решения;
• Побуждать ребят к взаимоконтролю, самоконтролю и самоанализу при выполнении заданий;
• Оказывать взаимовыручку, поддержку со стороны одноклассников – ассистентов.
• Добиваться получения новых знаний через самостоятельное выполнение заданий с последующей взаимопроверкой.

Оборудование: доска раздвижная, листы – задания для устного счета, компьютер, экран.

Время: 90 минут – 2 урока.

1. Проверка домашнего задания (5 минут).

На доске (на обратной стороне) заранее на перемене учащимися записаны решения. Ученики меняются тетрадями друг с другом по парте и после проверки ставят оценки “5” – нет ошибок; “4” – 1 -2 ошибки; “3” – 3-4 ошибки, а более – “ 2”.

2. Устный тест – повторение:

На парте лежат карточки с решениями и ответы к ним, выбрать правильный ответ и объяснить почему?

задания / ответы	1	2	3	4
(х-3) (х+7)=0	3; 7	3; -7	-3;7	-3;-7
х 2 – 6х + 5 = 0	5;1	2;3	-5;-1	-2; -3
х 2 – 25 = 0	0;5	1;25	-5;5	Нет решения
х 2 + 4х + 7 = 0	3,5; 2	Нет решения	2+; 2-	1; 2,5
3(1-х)+2 = 5 – 3х	Нет решения	3;1	Множество корней	0;5

Правильные ответы: 1 задание – 2; 2 зад. – 3; 3 зад. – 3; 4 зад. – 2; 5 зад. – 3.

Учитель: Под рациональным уравнением принято понимать уравнение, которое может быть записано в виде: а_nx n + a_n-1x n-1 + … a₂x 2 + a₁x + a₀ =0, где a_n, a_n-1, …a₀ – заданные числа, а х – неизвестное. Простейшие рациональные уравнения мы решаем с помощью четырех основных методов.

(Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы; метод замены переменной; метод разложения на множители – группировки; функционально – графический метод).

Мы научились решать рациональные уравнения второй степени, а третьей, четвертой?

А каким методом вы решите уравнение вида a) х 3 – 8 + х – 2 = 0?

Подсказка: желательно подвести к произведению многочленов.

Да, верно, используем метод разложения на множители – группировки. Группируем слагаемые, применим формулы сокращенного умножения и получим произведение нескольких множителей – многочленов в левой части уравнения, а в правой – нуль.

(Вызывается ученик сильный в математике, а если нет, то показывает учитель ход решения).

б) А при таком уравнении х 3 – 3х + 2 = 0 можно использовать метод группировки?

Перепишем уравнение, записав , получим , а теперь сгруппируем (х 3 – х) – (2х -2) = 0. Дальнейшее решение самостоятельно, а один ученик выходит к доске, решает на другой стороне, затем учащиеся сверяют.

Учитель: Вспомним, при решении биквадратных уравнений какой метод мы использовали? Самый распространенный из всех методов – да, метод замены переменной – метод подстановки. Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху. На сегодняшнем уроке мы это и рассмотрим.

Разберем решение данного уравнения:

Освободимся от знаменателя, t 2 + 4t + 3 = 0, где t ? 0.

Дорешать самостоятельно, дальнейшее решение проецируется на экран.

По формуле решаем второе уравнение =

= = = = =

Ответ: х₁ = -5, х₂ = 1, х₃ = , х₄ = .

Учитель: Рассмотрим уравнение вида

г) (х 2 + 10х ) 2 + (х 2 + 5) 2 = 157.

Метод замены переменной легко увидеть, если воспользоваться формулой квадрата суммы для второй скобки. (х 2 + 10х ) 2 + (х 2 +10х + 25) = 157; (Далее решает ученик у доски, а остальные – самостоятельно).

Пусть тогда получим

х 2 + 10х = 11 или х 2 + 10х = -12. Решая эти уравнения, получим

Ответ: <-11; 1; -5 >. +

Учитель: Рассмотрим уравнение вида

Найдем равенство сумм пар чисел -7 + 2 = -1 – 4,

Перемножим между собой первую и третью, вторую и четвертую скобки, получим (х 2 – 5х – 14) ((х 2 – 5х + 4) – 40.

Введем замену: х 2 – 5х – 14 = t, где t – любое число, получим t(t + 18) = 40, t 2 + 18t – 40 = 0.

(Работает учитель, показывая ход решения или ученик с помощью учителя).

Решим данное уравнение по т. Виета

Решим систему уравнений

Ответ: х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = х₄ =

Проверка решения данного уравнения с помощью проекции решения на экране.

+1 + 4 = + 2+ 3. Данное условие равенства выполняется, поэтому раскроем скобки, группируя первый множитель с последним и второй с третьим.

Тогда данное уравнение примет вид: (х 2 + 5х + 4) (х 2 + 5х +6) = 24.

Полагая х 2 + 5х = t, получим квадратное уравнение (t +4)(t +6) = 24,

решая его t 2 + 10t =0, t(t + 10) =0, найдем корни t₁ =0, t₂= -10.

Затем решаем уравнения

Учитель: Уравнения вида а₀х n + a₁x n-1 + … + a_kx k + … + a₁x + a₀ = 0, где коэффициенты членов, равно от стоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.

Симметрические уравнения обладают следующими свойствами:

1. Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень х = -1, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой;

2. Уравнение четной степени 2n решаются с помощью подстановки

V = x + сводится к уравнению степени n.

Данное уравнение симметрическое, так как коэффициенты равно отстоящих от концов, равны между собой. Степень уравнения нечетная равная 5, поэтому корень данного уравнения х = – 1.

Пусть Разделим левую часть уравнения на х + 1 и получим симметрическое уравнение четвертой степени:

Разделим обе части уравнения на х 2 : 2х 2 + 3х – 16 + 3• + 2• 1/х 2 = 0, и сгруппируем члены уравнения: 2(х 2 + 1/х 2 ) + 3 (1 + ) – 16 = 0.

Используем метод замены переменной при t = x + , возведем в квадрат обе части уравнения, получим t 2 = (x + ) 2 = x 2 + 2• x • + 1/x 2 , тогда x 2 + 1/x 2 = t 2 – 2, и после преобразований получим квадратное уравнение 2 t 2 + 3t – 20 = 0. Находим корни t = = = t₁ = , t₂ = -4. Таким образом , исходное уравнение четвертой степени равносильно совокупности уравнений x + и x + = -4.

Решив данные уравнения, получим еще четыре корня исходного уравнения.

Ответ: х₁ = -1, х₂ = -2+, х₃ = -2 – , х₄ = 2, х₅ = .

Учитель: Прошу вас, ребята, решить самостоятельно с последующей проверкой симметрическое уравнение четвертой степени. А почему оно симметрическое?

з) 2х 4 + 3х 3 – 16 х 2 + 3х + 2 = 0.

Разделим обе части уравнения на х 2 , получим 2х 2 + 3х – 16 + + 2/х 2 =0.

Сгруппируем (2х 2 + 2/х 2 ) + (3х+ ) – 16 = 0, 2(х 2 +12/х 2 ) + 3(х+ ) – 16 =0.

Введем метод замены переменной, обозначим х+ = t, возведем в квадрат обе части равенства, получим t 2 = (x + ) 2 = x 2 + 2• x • + 1/x 2 , тогда x 2 + 1/x 2 = t 2 – 2, и после преобразований получим квадратное уравнение вида 2(t 2 – 2) + 3t – 16 =0. Решая уравнение по общему виду 2t 2 -4 + 3t -16 = 0, 2t 2 + 3t – 20 = 0, получим корни t₁ = , t₂ = -4. Можно не решать, а сразу же записать ответы предыдущего уравнения.

Ответ: х₁ = , х₂ = -2+, х₃ = -2 – , х₄ = 2.

Учитель: Мы рассмотрели симметрические уравнения, являющиеся частным случаем возвратных уравнений. Следовательно, и ход их решения будет похожим, но более подробно мы познакомимся с возвратными уравнениями и рассмотрим более подробно ход решения на следующем занятии. А сейчас,

я вам предложу домашнее задание на два варианта для самостоятельного решения. Дополнительно даны ответы ко всем уравнениям. Не сможете справиться, рассмотрим на уроке. а кто-то хочет больше решить, с довольствием приветствую вас.

Вариант 1.	Вариант 2.
а) (х 2 – 6х) 2 -2(х – 3) 2 = 81; б) х 3 + х + 2 = 0; в) 6х 4 – 35 х 3 + 62 х 2 – 35х + 6 = 0; г) (х –1)(х+2)(х-3)(х+4) = 144; д) (х 2 + х + 1)(х 2 + х + 2) = 12;	а) (х 2 – 8х) 2 + 3(х – 4) 2 = 76; б) х 3 + 3х 2 + 2х = 0. в) 5х 4 – 12х 3 + 14х 2 – 12х + 5 = 0. г) (х-1)(х-2)(х-3)(х-4) = 15. д) (3х +2) 4 – 13(3х + 2) 2 + 36 = 0.

Выберите ответы, выполняя домашнее задание.

А

В. 1.

С < -2; -1; 0>.

Д < -2; 1>.

Б<0; 1>.

Учитель: Подведем итог нашей темы. Уравнения третьей и четвертой степени решались в общем случае методом замены переменной, в который заключается в том, что для решения уравнения вида f(x) =0 вводят переменную t = g(x) и выражают f(x)через t, получая новое уравнение w(t) = 0. Решая затем уравнение w(t)= 0, находят его корни1, t₂, … t_n>. После чего получают совокупность n – уравнений g(x) = t₁, g(x) = t₂, … g(x) = t_n, из которых находят корни исходного уравнения.