Как найти амплитуду скорости из уравнения
Гармоническое колебательное движение и волны
Уравнение движения точки дано в виде . Найти период колебаний Т, максимальную скорость vmax и максимальное ускорение amax точки.
Дано:
Решение:
Уравнение колебаний запишем в виде
Скорость колеблющейся точки
Ускорение колеблющейся точки
Период колебаний Т выразим через циклическую частоту
Уравнение гармонических колебаний
п.1. Гармонические колебания как простейший периодический процесс
Например:
1) Вращение Луны вокруг Земли, Земли и других планет вокруг Солнца, Солнечной системы в целом вокруг центра Галактики;
2) Колебания атомов в молекуле, колебания электромагнитного поля;
3) Сокращения сердечной мышцы, колебания маятника часов, движение поршня в двигателе внутреннего сгорания, смена дня и ночи, приливы и отливы.
Например:
1) Период вращения минутной стрелки часов T=1 час
Период вращения Земли вокруг своей оси T=1 сут=24 ч
Период вращения Земли вокруг Солнца T=1 год=365 сут
2) Период колебаний атомов в двухатомных молекулах T=10 -14 с
Период вращения Солнца вокруг центра Галактики T=240 млн.лет.≈7,6·10 15 с
Если состояние системы характеризуется некоторой функцией от времени \(s=x(t)\), то для периодического процесса выполняется равенство: \(x(t+T)=x(t)\).
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции \(sint\) и \(cost\) с периодом \(T=2\pi\).
Множитель \(\omega\) перед аргументом \(t\) тригонометрической функции сокращает её период в \(\omega\) раз (см. §8 данного справочника). Поэтому:
Например:
Запишем закон колебаний математического маятника – шарика на нити, если в начальный момент времени он был отклонен на 5 см, а затем отпущен. При подсчете за 10 с он совершил 20 колебаний.
Отклонение в начальный момент соответствует амплитудному значению A=5 см при \(t_0=0\), значит, будем описывать колебания по закону косинуса с начальной фазой \(\varphi_0=0\). По условию за t=10 с зафиксировано N=20 колебаний, откуда частота: \begin
п.2. Перемещение, скорость и ускорение при гармоническом движении
Пусть \(x(t)\) — координата тела, участвующего в периодическом движении по закону: $$ x(t)=Acos\omega t $$ Найдем скорость как первую производную от координаты: $$ v(t)=x'(t)=-A\omega sin\omega t=A\omega cos\left(\omega t+\frac\pi 2\right) $$ Мы видим, что колебания скорости происходят с той же частотой, что и колебания координаты, но опережают их по фазе на \(\frac\pi 2\). Амплитудное значение скорости: $$ v_m=A\omega $$ Найдем ускорение как первую производную от скорости (и соответственно, вторую производную от координаты): $$ a(t)=v'(t)=x»(t)=-A\omega^2 cos\omega t=A\omega^2 cos(\omega t+\pi) $$ Колебания ускорения также происходят с той же частотой, опережая колебания скорости на \(\frac\pi 2\) и колебания координаты на \(\pi\). Амплитудное значение ускорения: $$ a_m=A\omega^2 $$ Например:
При A=2 и \(\omega=\frac12\) получаем такие синусоиды:
Из уравнения для ускорения получаем: $$ x»(t)=-A\omega^2cos\omega t=-\omega^2(Acos\omega t)=-\omega^2 x(t) $$ Откуда следует:
Решением этого уравнения в общем виде будут: $$ x(t)=Asin(\omega t+\varphi_0)\ \text<или>\ x(t)=A cos(\omega t+\varphi_0) $$ Для каждой из систем физический смысл \(x(t)\) и \(\omega\) будет разным.
п.3. Примеры
Пример 1. Получите уравнение гармонических колебаний для горизонтального пружинного маятника с массой m и жесткостью пружины k. Чему равна циклическая частота этих колебаний?
Горизонтальный пружинный маятник – это грузик массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k. Грузик может перемещаться в горизонтальном направлении без трения. |
По вертикали на грузик действую сила тяжести и реакция опоры, равнодействующая которых равна нулю.
По горизонтали на грузик действует только сила упругости: \(F=-k\cdot x(t)\)
Самое время вспомнить о втором законе Ньютона. Сила, действующая на грузик, приводит его в движение с ускорением a: \begin
Общее решение уравнения: \(x(t)=Acos\left(\sqrt<\frac km>+\varphi_0\right)\)
Амплитудные значения скорости и ускорения: $$ v_m=A\sqrt<\frac km>,\ \ a_m=A\frac km $$ Ответ: \(\omega=\sqrt<\frac km>\)
Пример 2. Получите уравнение гармонических колебаний для малых углов отклонений математического маятника на нити длиной l при ускорении свободного падения g. Чему равна циклическая частота этих колебаний?
Математический маятник – это шарик, который можно считать материальной точкой, на длинной невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле тяготения с ускорением свободного падения g. |
Пример 3. Получите уравнение гармонических колебаний для L-контура.
Чему равна циклическая частота этих колебаний?
LC-контур – это электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C. Модель является идеальной, т.к. предполагает, что в цепи полностью отсутствует активное сопротивление R, и колебания не затухают со временем. |
Напряжение на конденсаторе \(U_C(t)=\frac
Тогда первая производная от тока равна второй производной от заряда \(I'(t)=Q»(t)\).
\begin
Напряжение на конденсаторе: $$ U_C(t)=\frac
Ток как скорость изменения заряда: $$ I(t)=Q'(t)=-\frac
Ток опережает колебания заряда и напряжения на \(\frac\pi 2\)
Амплитуда скорости груза
Скорость груза пружинного маятника
Рассмотрим пружинный маятник, который представляет собой груз массой $m$, подвешенный на пружине, которую считают абсолютно упругой (ее коэффициент упругости равен $k$). Пусть груз движется вертикально, движения происходят под воздействием силы упругости пружины и силы тяжести, если система выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза. Начало отсчета поместим на оси X (ось направлена вниз) в точке равновесия груза.
Пружинный маятник является примером гармонического осциллятора. Колебания гармонического осциллятора служат важным примером периодического движения и являются моделью во многих задачах физики. Колебания такого груза можно считать гармоническими и описывать при помощи уравнения:
где $x\left(t\right)$ — смещение груза от положения равновесия в момент времени ($t$); $<\omega >_0=\sqrt<\frac
Скорость колебаний груза при этом найдем как:
Амплитудой скорости колебаний груза при этом является величина равная:
Для пружинного маятника амплитуда колебаний скорости груза равна:
Амплитуда скорости колебаний математического и физического маятников
Будем считать математический маятник шариком (грузом), подвешенным на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Математический маятник является примером гармонического осциллятора, совершающим колебания, которые описывает уравнение:
Решением уравнения (5) является выражение:
где $\varphi $ — угол отклонения нити от положения равновесия, $\alpha $ — начальная фаза колебаний; $<\varphi >_0$ — амплитуда колебаний; $<\omega >_0=\sqrt<\frac
Амплитудой скорости колебаний груза на нити в данном случае является величина равная:
Для математического маятника амплитуда скорости колебаний груза равна:
Примеры задач на амплитуду скорости груза
Задание. Колебательная система представляет собой груз, массы $m,\ $подвешенный на упругой пружине (рис.1). Смещение груза вдоль оси X изменяется по закону: $x(t)=2<\cos (10\ t)(м)\ >.$ Чему равно максимальное значение кинетической энергии груза ($E_
Решение. Кинетическую энергию груза можно найти и определения:
Из уравнения колебаний груза найдем уравнение изменения его скорости:
Используя выражение (1.2) получим уравнение изменения кинетической энергии в виде:
Из выражения (1.3) следует, что максимальное значение кинетической энергии (ее амплитуда), учитывая, что $
Ответ. $E_
Задание. Скорость колебаний груза на нити (математический маятник) изменяется в соответствии с гармоническим законом: $\frac
Решение. Амплитуду скорости изменения угла отклонения мы видим непосредственно в уравнении:
Амплитуду угла отклонения найдем, используя соотношение:
где $<\omega >_0=2\pi $ исходя из уравнения (2.1). Получаем:
Уравнение $\varphi (t)$, учитывая (2.3) будет иметь вид:
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/uravnenie-garmonicheskih-kolebanij/
http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_100_amplituda_skorosti_gruza.php