Как найти частное решение уравнения риккати

Дифференциальное уравнение Риккати

Общее решение этого уравнения можно получить только в некоторых частных случаях.

Решение дифференциального уравнения Риккати при известном частном решении

Рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати:
(1) .
Пусть известно его частное решение :

Тогда подстановкой уравнение Риккати (1) приводится к уравнению Бернулли:
;
;
;
;
.
Это уравнение Бернулли с n = 2 .

Свойства уравнения Риккати

Не меняет вид уравнения:

• Произвольное преобразование независимого переменного:
• Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:

При таких подстановках уравнение также является уравнением Риккати, но с другими функциями p, q, r.

Вид общего решения

Общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:

И наоборот если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее уравнение есть уравнение Риккати.

Упрощение уравнения Риккати

Снова рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати:
(1) .
Подстановкой
,
где А – постоянная, оно приводится к виду:
(2) ,
где .

Далее, подстановкой

оно приводится к виду:
(3)
где .

Упрощенное уравнение Риккати

Упрощенное уравнение Риккати – это уравнение вида:
(4) ,
где A, B – постоянные. Оно интегрируется при
,
где – целое.

Покажем это. Сделаем подстановку:
;
.
Подставляем в (4):
.
Умножаем на :
(5) .
Но
.
Подставляем в (5):

Или
(6)
где
.
Уравнение (6) интегрируется при
.
Для этого разделим его на и перепишем в следующем виде:
;
;
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется.

При уравнение (6) можно преобразовать двумя путями.

1. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду: .
2. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду:

Таким образом, при , где n — целое число, ряд подстановок приводит к полному решению.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-08-2012

Дифференциальное уравнение Риккати

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

где — известные функции, называется уравнением Риккати (обобщенным). Если коэффициенты в уравнении Риккати постоянны, то уравнение допускает разделение переменных, и мы сразу получаем общий интеграл

Как показал Лиувилль, уравнение (1) в общем случае не интегрируется в квадратурах.

Свойства уравнения Риккати

1. Если известно какое-нибудь частное решение уравнения (1), то его общее решение может быть получено при помощи квадратур.

В самом деле, положим

где — новая неизвестная функция. Подставляя (2) в (1), найдем

откуда, в силу того что есть решение уравнения (1) получим

Уравнение (3) является частным случаем уравнения Бернулли.

Пример 1. Решить уравнение Риккати

зная его частное решение .

Решение. Положим и подставим в уравнение (4); получим

Таким образом, общее решение уравнения (4) .

Замечание. Вместо подстановки (2) часто бывает практически более выгодной подстановка

которая сразу приводит уравнение Риккати (1) к линейному .

2. Если известны два частных решения уравнения (1), то его общий интеграл находится одной квадратурой.

Пусть известны два частных решения и уравнения (1). Используя тот факт, что имеет место тождество

представим уравнение (1) в виде

Для второго частного решения аналогично находим

Вычитая из равенства (5) равенство (6), получаем

Пример 2. Уравнение имеет частные решения . Найти его общий интеграл.

Решение. Используя формулу (7), получаем общий интеграл исходного уравнения

Решение дифференциального уравнения Риккати при известном частном решении

Пусть известно частное решение y₁(x) уравнения Риккати:

Тогда подстановкой y = y₁ + u такое уравнение приводится к уравнению Бернулли:

Это уравнение Бернулли с n = 2.

Свойства уравнения Риккати

Не меняет вид уравнения:

Произвольное преобразование независимого переменного:

Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:

При таких подстановках уравнение также является уравнением Риккати, но с другими функциямиp, q, r.

Общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:

И наоборот если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее уравнение есть уравнение Риккати.

Упрощение уравнение Риккати

где А — постоянная, уравнение Риккати приводится к виду:

оно приводится к виду:

Упрощенное уравнение Риккати

Упрощенное уравнение Риккати — это уравнение вида:

(1)

где A, B — постоянные. Оно интегрируется при

где n = ±1, ±2, ±3,… — целое. Сделаем подстановку:

Подставляем в (1):

Умножаем на x 2 :

(2)

Подставляем в (2):

(3)

Уравнение (3) интегрируется при . Для этого разделим его на u 2 и перепишем в виде:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется.

При уравнение (3) можно преобразовать двумя путями:

1. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду:

1. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду:

Таким образом, при , где ν — целое число, ряд подстановок приводит к полному решению.

Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах – это уравнения вида

Если выполняется условие:

(1)

является дифференциалом некоторой функции:

(2)

(3)

Отсюда получаем его интеграл:

Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Для того чтобы определить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение соотношения (1). Поскольку вычисление производной занимает некоторое время, то сначала желательно проверить, не принадлежит ли уравнение одному из рассмотренному выше типов.

Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Метод последовательного выделения дифференциала

Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:

v du + u dv = d(uv)

В этих формулах u и v — произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Метод последовательного интегрирования

Проинтегрируем первое уравнение (2):

где φ — функция от y.

Подставляем во второе уравнение (2):

Интегрируя находим φ и, тем самым, U.