Как найти частное в уравнении — Решение уравнений

Пример частного решения линейного дифференциального уравнения

Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’_i составляем систему уравнений:
C’₁·e -3x ·cos(2x)+C’₂·e -3x ·sin(2x)=0
C’₁(-2·e -3x ·sin(2x)-3·cos(2x)·e -3x ) + C’₂(-3·e -3x ·sin(2x)+2·cos(2x)·e -3x ) = 8*exp(-x)
Выразим C’₁ из первого уравнения:
C’₁ = -c2·sin(2x)/(cos(2x))
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’₁ = -4·e 2x ·sin(2x)
C’₂ = 4·cos(2x)·e 2x
Интегрируем полученные функции C’_i:
C₁ = -e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * ₁
C₂ = e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * ₂
Записываем полученные выражения в виде:
C₁ = (-e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·cos(2x)·e -3x + C * ₁e -3x ·cos(2x)
C₂ = (e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·e -3x ·sin(2x) + C * ₂e -3x ·sin(2x)
или
C₁ = -cos(2x)·e -x ·sin(2x)+cos 2 (2x)·e -x + C * ₁e -3x ·cos(2x)
C₂ = cos(2x)·e -x ·sin(2x)+sin 2 (2x)·e -x + C * ₂e -3x ·sin(2x)
y = C₁ + C₂
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример . y″ + 5y’ + 6 = 12cos(2x)
Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r 2 +5 r + 6 = 0
Находим дискриминант: D = 5 2 — 4·1·6 = 1

Корни характеристического уравнения: r₁ = -2, r₂ = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y₁ = e -2x , y₂ = e -3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C₁·e -2x +C₂·e -3x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c₁+c2, то получаем первое уравнение:
c₁+c2 = 1
Находим первую производную: y’ = -3·c₂·e -3·x -2·c1·e -2·x
Поскольку y'(0) = -3·c₂-2·c₂, то получаем второе уравнение:
-3·c₂-2·c₂ = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁+c2 = 1
-3·c₂-2·c₂ = 3
которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных.
c₁ = 6, c₂ = -5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: y =6·e -2x -5·e -3x
Рассмотрим правую часть: f(x) = 12·cos(2·x)
Уравнение имеет частное решение вида: y * = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные: y’ = -2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x); y″ = -4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 5y’ + 6y = (-4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)) + 5(-2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12·cos(2·x) или -10·A·sin(2x)+2·A·cos(2x)+2·B·sin(2x)+10·B·cos(2x) = 12·cos(2·x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений:
-10A + 2B = 0
2A + 10B = 12
СЛАУ решаем методом Крамера:
A = 3 /₁₃;B = 15 /₁₃;
Частное решение имеет вид:
y * = 3 /₁₃cos(2x) + 15 /₁₃sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 2 . y’’ + y = cos(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r 2 + 1 = 0
D = 0 2 — 4·1·1 = -4

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r₁ = i, r₂ = -i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e 0 x cos(x) = cos(x)
y₂ = e 0 x sin(x) = sin(x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C₁·cos(x)+C₂·sin(x)

Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)

Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r₁).

Уравнение имеет частное решение вида:
y * = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y’ = sin(x)(B-A·x)+cos(x)(A+B·x)
y″ = cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ + y = (cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x)
или
2·B·cos(x)-2·A·sin(x) = cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2B = 1
-2A = 0
Следовательно:
A = 0; B = 1 /₂;
Частное решение имеет вид: y * = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда?

Продолжая изучать практические приложения теории рядов, рассмотрим ещё одну распространённую задачу, название которой вы видите в заголовке. И, чтобы не чувствовать себя газонокосилкой на протяжении урока, давайте сразу же разберёмся в сути задания. Три вопроса и три ответа:

Что нужно найти? Частное решение дифференциального уравнения. Намёк между строк шепчет, что к данному моменту желательно хотя бы понимать, что такое дифференциальное уравнение и что такое его решение.

КАК по условию требуется это решение? Приближённо – с помощью ряда.

И третий закономерный вопрос: почему приближённо? Этот вопрос я уже освещал на уроке Методы Эйлера и Рунге-Кутты, однако повторение не помешает. Будучи сторонником конкретики, вернусь к простейшему дифференциальному уравнению . В ходе первой лекции по диффурам мы нашли его общее решение (множество экспонент) и частное решение , соответствующее начальному условию . График функции – это самая обычная линия, которую нетрудно изобразить на чертеже.

Но то элементарный случай. На практике встречается великое множество дифференциальных уравнений, неразрешимых аналитически точно (по крайне мере, известными на сегодняшний день способами). Иными словами, как ни крути такое уравнение – проинтегрировать его не удастся. А закавыка состоит в том, что общее решение (семейство линий на плоскости) может существовать. И тогда на помощь приходят методы вычислительной математики.

Встречаем нашу радость!

Типовая задача формулируется следующим образом:

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения …, удовлетворяющее начальному условию , в виде трёх (реже – четырёх-пяти) отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Искомое частное решение раскладывается в данный ряд по известной формуле:

Единственное, здесь вместо буквы «эф» используется «игрек» (так уж повелось).

Идея и смысл тоже знакомы: для некоторых диффуров и при некоторых условиях (не будем вдаваться в теорию) построенный степенной ряд будет сходиться к искомому частному решению . То есть, чем больше членов ряда мы рассмотрим, тем точнее график соответствующего многочлена приблизит график функции .

Следует отметить, что вышесказанное применимо и к самым простым случаям. Проведём незамысловатое детское исследование на том же горшке:

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию в виде четырёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Решение: в условиях данной задачи , поэтому общая формула Тейлора трансформируется в частный случай разложения в ряд Маклорена:

Немного забегая вперёд, скажу, что в практических заданиях значительно чаще встречается именно этот, более компактный ряд.

Занесите обе рабочие формулы в свой справочник.

Разбираемся со значениями . Этапы решения удобно занумеровать:

0) На нулевом шаге записываем значение , которое всегда известно из условия. В тетради итоговые результаты пунктов желательно обводить в кружок, чтобы они были хорошо видны и не затерялись в решении. Мне по техническим причинам сподручнее выделять их жирным шрифтом. Кроме того, отмечаем, что данное значение не равно нулю! Ведь по условию требуется найти четыре отличных от нуля членов ряда.

1) Вычислим . Для этого в правую часть исходного уравнения вместо «игрека» подставляем известное значение :

2) Вычислим . Сначала находим вторую производную:

Подставляем в правую часть найдённое в предыдущем пункте значение :

В распоряжении уже три ненулевых члена разложения, нужен ещё один:

3) Находим третью производную – это производная от второй производной:

Так получается, что в данном задании каждая следующая производная оказывается выраженной через предыдущую производную.

Подставляем в правую часть найденное в предыдущем пункте значение :

Теперь подставим найденные значения в формулу Маклорена и аккуратно проведём упрощения:

Ответ:

Условие рассматриваемого задания, как правило, не требует чертежа, но я построю демонстрационные графики, чтобы наглядно разъяснить сущность выполненных действий. Изобразим точное частное решение и его приближение :

Как видите, уже 4 члена ряда дают недурственную точность – на довольно длинном участке зелёная дуга кубической функции практически совпала с идеальным («красным») решением, о чём нам сигнализирует коричневый цвет. При этом оба графика проходят через точку начального условия, и естественно, что вблизи неё точность будет максимальной.

Очевидно, что чем больше членов ряда мы рассмотрим, тем лучше соответствующий многочлен приблизит экспоненту.

Неудивительно, что в решении часто задействованы производные более высоких порядков. Кратко повторим материал:

четвёртая производная – это производная от третьей производной;
пятая производная – это производная от четвёртой производной и т.д.;
– обозначения 6-й, 7-й, 8-й, 9-й и 10-й производных соответственно.

Помимо римских цифр, в широком обиходе и такой вариант:
– обязательно со скобками, чтобы не путать производную с «игреком в степени».

В собственной практике приходилось находить 10-ю производную, не случайно я так подробно воспроизвёл обозначения.

Для успешного выполнения данной задачи необходимо уметь дифференцировать неявную функцию, причём дифференцировать достаточно уверенно. И, прежде чем перейти к конкретным примерам, пожалуйста, проанализируйте, понятны ли вам следующие производные:

Если не очень, то лучше проработать примеры урока о производных неявно заданных функций. Также проблема может быть в позабытых правилах дифференцирования. В частности, только что и далее будут широко применяться правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования сложной функции Пожалуй, некоторая новизна лишь в производной (вторая строка), где в качестве внешней функции выступает степень (квадрат), а в качестве вложения – производная .

Алгоритм и технику решения начнём оттачивать с общего случая разложения в ряд Тейлора:

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию в виде трёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Решение начинается стандартной фразой:

Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид:

В данной задаче , следовательно:

Теперь последовательно находим значения – до тех пор, пока не будут получены три ненулевых результата. Если повезёт, то отличны от нуля будут – это идеальный случай с минимальным количеством работы.

Нарезаем пункты решения:

0) По условию . Вот и первый успех.

1) Вычислим . Сначала разрешим исходное уравнение относительно первой производной, то есть, выразим . Подставим в правую часть известные значения :

Получена баранка и это не есть хорошо, поскольку нас интересуют ненулевые значения. Однако ноль – тоже результат, который не забываем обвести в кружок или выделить каким-нибудь другим способом.

2) Находим вторую производную и подставляем в правую часть известные значения :

3) Находим – производную от второй производной:

Если действия не понятны, ещё раз призываю изучить статью о дифференцировании неявной функции.

Вообще, задание чем-то напоминает Сказку про Репку, когда дедка, бабка и внучка зовут на помощь жучку, кошку и т.д. И в самом деле, каждая следующая производная выражается через своих «предшественников».

Подставим в правую часть известные значения :

Третье ненулевое значение. Вытащили Репку.

Аккуратно и внимательно подставляем «жирные» числа в нашу формулу:

Ответ: искомое приближенное разложение частного решения:

В рассмотренном примере попался всего один ноль на втором месте, и это не так уж плохо. В общем случае нулей может встретиться сколько угодно и где угодно. Повторюсь, их очень важно выделять наряду с ненулевыми результатами, чтобы не запутаться в подстановках на завершающем этапе.

Вот, пожалуйста – бублик на самом первом месте:

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , соответствующее начальному условию , в виде трёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Примерный образец оформления задачи в конце урока. Пункты алгоритма можно и не нумеровать (оставляя, например, пустые строки между шагами), но начинающим рекомендую придерживаться строгого шаблона.

Рассматриваемая задача требует повышенного внимания – если допустить ошибку на каком-либо шаге, то всё остальное тоже будет неверным! Поэтому ваша ясная голова должна работать как часы. Увы, это не интегралы или диффуры, которые надёжно решаются и в утомлённом состоянии, поскольку позволяют выполнить эффективную проверку.

На практике заметно чаще встречается разложение в ряд Маклорена:

Представить приближенно частное решение ДУ, соответствующее заданному начальному условию , в виде суммы трех первых отличных от нуля членов степенного ряда.

Решение: в принципе, можно сразу записать разложение Маклорена, но оформление задачи академичнее начать с общего случая:

Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид:

В данном случае , следовательно:

0) По условию .

Ну что поделать…. Будем надеяться, что нулей встретится поменьше.

1) Вычислим . Первая производная уже готова к употреблению. Подставим значения :

2) Найдём вторую производную:

И подставим в неё :

Резво дело пошло!

3) Находим . Распишу очень подробно:

Заметьте, что к производным применимы обычные алгебраические правила: приведение подобных слагаемых на последнем шаге и запись произведения в виде степени: (там же).

Подставим в всё, что нажито непосильным трудом :

Три ненулевых значения рождены.

Подставляем «жирные» числа в формулу Маклорена, получая тем самым приближенное разложение частного решения:

Ответ:

Для самостоятельного решения:

Примерный образец оформления в конце урока.

Как видите, задача с частным разложением в ряд Маклорена оказалась даже труднее общего случая. Сложность рассматриваемого задания, как мы только что убедились, состоит не столько в самом разложении, сколько в трудностях дифференцирования. Более того, порой, приходится находить 5-6 производных (а то и больше), что повышает риск ошибки. И в завершении урока предлагаю пару задач повышенной сложности:

Решить дифференциальное уравнение приближённо с помощью разложения частного решения в ряд Маклорена, ограничившись тремя первыми ненулевыми членами ряда

Решение: перед нами диффур второго порядка, но это практически не меняет дела. По условию и нам сразу же предложено воспользоваться рядом Маклорена, чем мы не преминем воспользоваться. Запишем знакомое разложение, прихватив на всякий пожарный побольше слагаемых:

Алгоритм работает точно так же:

0) – по условию.

1) – по условию.

2) Разрешим исходное уравнение относительно второй производной: .

И подставим :

Первое ненулевое значение

Щёлкаем производные и выполняем подстановки:

Подставим и :

Подставим :

Второе ненулевое значение.

5) – по ходу дела приводим подобные производные.

Подставим :

Наконец-то. Впрочем, бывает и хуже.

Таким образом, приближенное разложение искомого частного решения:

Ответ:

Миниатюра для самостоятельного решения:

Найти три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена частного решения дифференциального уравнения второго порядка при начальных условиях .

Я хочу, чтобы все читатели решили это задание. Ведь курс математического анализа потихоньку заканчивается…. пройдут годы, но когда-нибудь каждого из вас посетит непреодолимое желание что-нибудь продифференцировать. Поэтому не упускайте редкую возможность начать прямо сейчас =)

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: разложение частного решения ДУ при начальном условии имеет вид: .
В данном случае: .
В правую часть подставим :

Найдём
Подставим :

Найдём
Подставим :

Таким образом, искомое приближенное разложение частного решения:

Ответ:

Пример 5: Решение: разложение частного решения ДУ при начальном условии имеет вид: .
В данном случае , следовательно:

.
Разрешим исходное уравнение относительно .
Подставим :

Найдём
Подставим :

Найдём третью производную:

Подставим :

Таким образом, искомое приближенное разложение частного решения:

Ответ:

Пример 7: Решение: используем разложение Маклорена:

По условию:

В исходное уравнение подставим :

Найдём
Подставим :

Найдём
Подставим :

Найдём
Подставим :

Найдём
Подставим :

Таким образом, приближенное разложение искомого частного решения:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Производную функции переписать через её дифференциалы
Разделить переменные.
Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r 2 , y’ через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде