Гипербола и её свойства
Гипербола и её форма.
Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac
$$
Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы \(|x| \geq a\), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины \(2a\) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами \((a, 0)\) и \((-a, 0)\), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.
Рис. 8.6. Гипербола.
Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.
Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.
Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде \(y=kx\), поскольку мы уже знаем, что прямая \(x=0\) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
\frac
$$
Поэтому, если \(b^<2>-a^<2>k^ <2>> 0\), то
$$
x=\pm \frac
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения \((ab/v, abk/v)\) и \((-ab/v, -abk/v)\), где обозначено \(v=(b^<2>-a^<2>k^<2>)^<1/2>\). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении \(k\) (рис. 8.7).
Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.
Числитель дроби \(ab/v\) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при \(k=0\). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина \((a, 0)\). С ростом \(k\) знаменатель убывает, и \(x\) растет, стремясь к бесконечности, когда \(k\) приближается к числу \(b/a\). Прямая \(y=bx/a\) с угловым коэффициентом \(b/a\) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.
Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то \(k\) будет убывать, \(k^<2>\) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом \(-b/a\).
К прямой \(y=-bx/a\) относится все, что было сказано о \(y=bx/a\): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.
Прямые с уравнениями \(y=bx/a\) и \(y=-bx/a\) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.
3.7.2. Директрисы гиперболы
У гиперболы, как и у эллипса, две директрисы, и определяются они точно так же.
В каноническом положении директрисы расположены между ветвями гиперболы и задаются теми же уравнениями , где «эпсилон» – эксцентриситет данной гиперболы.
В нашей задаче:
Более того, для гиперболы справедлива абсолютно такая же теорема:
Гипербола – есть множество всех точек плоскости, таких, что отношение расстояния от каждой точки до фокуса к расстоянию от неё до соответствующей (ближайшей) директрисы равно эксцентриситету:
То есть, для любой точки гиперболы отношение её расстояния до фокуса к расстоянию от неё же до ближайшей директрисы равно эксцентриситету: . Для пары и любой точки гиперболы (ради разнообразия я выбрал демонстрационную точку дальней ветви) отношение такое же:
К слову, у параболы с её единственным фокусом и единственной директрисой по определению эти длины относятся «один к одному», поэтому эксцентриситет любой параболы и равен единице.
Ответ: искомая линия представляет собой гиперболу с центром симметрии в точке и повёрнутую на относительно своего канонического положения. Каноническое уравнение: , фокусы: , эксцентриситет: , асимптоты: , директрисы: .
Но я вас просто так не отпущу 🙂 – всё-таки разберу второй способ приведения линии к каноническому виду. Осуществим поворот системы на угол радиан против часовой стрелки и её параллельный перенос в точку . Тогда в системе уравнение примет вид: .
Чертёж будет выглядеть точно так же, как и чертежи выше – с той поправкой, что гиперболу мы изобразим в системе . Соответственно, все вычисления будут проводиться в новых координатах, и переменные следует записывать со значком «тильда»: . В частности, асимптоты запишутся так: , а директрисы – так: .
Очень хотелось упростить и даже вообще не рассматривать эту задачу, но она взята из конкретной контрольной работы, причём, заочного отделения. Поэтому пришлось с упорным занудством разобрать все-все-все тонкости и технические приёмы.
Налью вам стакан молока за вредность и предложу задачу для самостоятельного решения, она проще:)
Задача 110
Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой постоянно и равно . Сделать точный чертеж.
Подумайте, о какой это точке и о какой прямой шепчет условие 😉 Краткое решение и чертёж в конце книги.
И теперь вы готовы! (в хорошем смысле:))
– готовы рассмотреть суперзадачу, к которой я вас морально и технически готовил чуть ли не с первых параграфов темы.
…анекдот тут ещё вспомнился садистский про готовку, но, пожалуй, не буду – он неэтичный 🙂
Гипербола: формулы, примеры решения задач
Определение гиперболы, решаем задачи вместе
Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
,
где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.
На чертеже ниже фокусы обозначены как и .
На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.
При a = b гипербола называется равносторонней.
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:
.
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.
Точки и , где
,
называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).
называется эксцентриситетом гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.
Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.
Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.
То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Подставляем и вычисляем:
Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:
.
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .
Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:
.
Результат — каноническое уравнение гиперболы:
Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:
.
Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:
.
На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.
Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).
Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы
,
где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .
Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис гиперболы:
Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.
Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.
Асимптоты гиперболы определяются уравнениями
.
На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.
Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:
, где .
В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.
Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.
.
Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:
Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.
Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)
2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8
3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы
http://mathter.pro/angem/3_7_2_direktrisy_giperboly.html
http://function-x.ru/curves_hyperbola.html