Характеристический многочлен онлайн
Характеристический полином матрицы A , вычисляется следующим образом:
| A − λ E |
где E — единичная матрица, размеры которой совпадают с размерами исходной матрицы A .
Разберем подробнее приведенную выше формулу. Если матрица A задана в виде:
тогда выражение A − λ E имеет вид:
Наконец, нам нужно найти определитель:
Раскрыв этот определитель, мы получим полином n -ой степени ( n — порядок исходной матрицы), зависящий от λ :
P   ( λ ) = c n λ   n + c n − 1 λ   n − 1 + . + c i λ   i + . + c 1 λ   + c 0
Поскольку для вычисления характеристического полинома, требуется нахождение определителя матрицы, то характеристический полином может быть найден только для квадратной матрицы.
Наш онлайн калькулятор находит характеристический полином матрицы, причем в качестве элементов матрицы, можно вводить не только числа и дроби, но и параметры.
Характеристический многочлен матрицы
Напомним, что характеристическим многочленом квадратной матрицы (n-го порядка) называется многочлен . Степень характеристического многочлена совпадает с порядком матрицы . Рассмотрим другие свойства характеристического многочлена.
1. Характеристический многочлен квадратной матрицы n-го по рядка может быть представлен в виде
где — корни характеристического многочлена (собственные значения матрицы ) кратности соответственно, причем и .
Действительно, указанное разложение (7.24) имеет любой многочлен степени (см. следствие основной теоремы алгебры). Старший коэффициент характеристического многочлена вычисляется, разлагая определитель .
2. Характеристический многочлен квадратной матрицы n-го по рядка может быть представлен в виде произведения инвариантных множителей характеристической матрицы
В самом деле, характеристическая матрица имеет нормальный диагональный вид (7.9): , так как . Наибольший общий делитель (старший коэффициент которого равен единице) единственного минора n-го порядка матрицы отличается от определителя только множителем , т.е. характеристический многочлен . Подставляя , получаем (7.25).
3. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.
В самом деле, пусть матрицы и подобны, т.е. существует такая матрица , что . Преобразуем характеристический многочлен матрицы по теореме 2.2 (об определителе произведения матриц) с учетом свойства 4 обратной матрицы:
что и требовалось показать.
4. Характеристический многочлен матрицы n-го порядка имеет вид
Минор k-го порядка , составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении одноименных строк и столбцов, называется главным минором. В формуле (7.26) коэффициент при равен сумме главных миноров k-го порядка, в частности, след матрицы — это сумма главных миноров 1-го порядка, определитель матрицы — это главный минор n-го порядка.
Поясним формулу (7.26). Пусть — i-й столбец матрицы , — i-й столбец единичной матрицы . В этих обозначениях запишем характеристический многочлен матрицы
Представим этот определитель в виде суммы определителей, используя его линейность по каждому столбцу. Получим
Разлагая определители, стоящие в фигурных скобках, по столбцам единичной матрицы, получаем главные миноры матрицы , например:
Таким образом, коэффициент при равен сумме главных миноров к -го порядка матрицы .
5. Подобные матрицы имеют: равные определители, равные следы, равные суммы главных миноров одного и того же порядка, совпадающие спектры.
В самом деле, подобные матрицы имеют равные характеристические многочлены (по свойству 3). У равных многочленов — одинаковые корни (т.е. спектры подобных матриц совпадают), а также равные соответствующие коэффициенты в (7.26), которые по свойству 4 выражаются через главные миноры матриц.
6. Определитель матрицы равен произведению ее собственных значений (с учетом их кратности).
Действительно, характеристический многочлен можно разложить на множители (см. следствие основной теоремы алгебры):
где — корни многочлена (быть может, совпадающие). Отсюда . С другой стороны, по определению получаем
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=kharakteristicheskii-mnogochlen-matritsy