Как найти характеристическое уравнение передаточной функции

Контрольная работа: Передаточные функции одноконтурной системы

Практическая работа № 1

1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости.

Оценить устойчивость каждого из звеньев.

а) ; б).

2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:

.

1. а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

.

Обозначим Y(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

1,25s3Y(s) – 4s2Y(s) + 5sY(s) = 3F(s) – sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и F(s) за скобки:

Y(s). (1,25s3 – 4s2 + 5s) = F(s). (3 – s).

.

Очевидно, что входной сигнал x отсутствует, и выходной сигнал у определяется только внешним воздействием f (система, действующая по возмущению): , то получается уравнение Y(s) = WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1.

Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением:

A(s) =.

Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение , корни которого:

, и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив.

б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

.

Обозначим Y(s), X(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y , x и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

2s2Y(s) + 4sY(s) + 10Y(s) = 3X(s) + 4sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки:

Y(s). (5s2 + 4s + 10) = 3X(s) + 4sF(s).

.

Если обозначить передаточные функции объекта как

и ,

то получается уравнение Y(s) = Wx(s).X(s) + WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3.

Характеристическая функция имеет вид:

,

а характеристическое уравнение:

.

Корни этого уравнения равны:

и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4:

Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив.

2. Дана передаточная функция вида:

Зная, что по определению, , получим:

, тогда:

.

Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение:

.

Практическая работа № 2

Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:

— передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),

— характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

— передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,

— коэффициенты усиления АСР,

Р — ПИ-регулятор с ПФ вида ;

дифференциальное уравнение объекта управления:

.

Определим передаточную функцию объекта:

W об( s ) .

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Характеристическое выражение замкнутой системы:

;

Передаточные функции замкнутой системы:

— по заданию;

— по ошибке;

— по возмущению.

По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;

КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;

Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.

Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n = 3), то матрица Гурвица имеет вид:

Диагональные миноры матрицы равны соответственно:

Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.

Практическая работа № 3

По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование.

DXвх = 5,5 кПа; DY = 0,149 %; tзап = 40 сек

Типовые передаточные функции и характеристическое уравнение

Для описания системы вводят передаточные функции, связывающие определенные входы и выходы.

1. Передаточная функция разомкнутой системы определяется как произведение всех передаточных функций по основному контуру. Она единственная и не зависит от точки размыкания:

2. Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию определяется как отношение изображения выходной координаты (в данном случае – скорости вращения двигателя) к изображению задающего воздействия:

3. Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию определяется как отношение изображения выходной координаты к изображению возмущающего воздействия (в данном случае – момента нагрузки):

Стандартная схема системы

В целях унификации вводится стандартная структурная схема системы с единичной обратной связью, стандартными обозначениями входов и выходов и типовых передаточных функций.

Рисунок 7.2. стандартная схема системы

1. Передаточная функция разомкнутой системы:

и состоят из сомножителей не выше второго порядка.

– характеристическое уравнение разомкнутой системы, его корни определяют свойства разомкнутой системы.

2. Передаточная функция по задающему воздействию:

Приравниваем знаменатель к нулю, получаем характеристическое уравнение замкнутой системы.

– характеристическое уравнение замкнутой системы, его корни определяют свойства замкнутой системы.

3. Передаточная функция по возмущению:

4. Передаточная функция по ошибке:

Понятие устойчивости

Очень важно изучить поведение системы во времени. В некоторых случаях процессы оказываются расходящимися, что свидетельствует о неустойчивости системы.

Для нормальной эксплуатации система должна быть устойчивой, т.е. после действия возмущения она должна возвращаться в состояние равновесия.

В качестве примера рассмотрим поведение шарика на вогнутой поверхности (желоб), выпуклой поверхности и плоской поверхности.

Устойчивая система (вогнутая поверхность), процесс сходится:

Неустойчивая система (выпуклая поверхность), процесс расходится:

Нейтральная система (горизонтальная поверхность), координата (процесс) остается постоянной.

Эти примеры являются механической аналогией понятия устойчивости. Рассмотрим математическое определение понятия устойчивости.

Система описывается дифференциальным уравнением:

– решение дифференциального уравнения.

–однородное уравнение определяет свободную составляющую решения .

– корни характеристического уравнения.

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения, определяется видом внешней функции;

– постоянные коэффициенты, определяются из начальных условий и полного (общего) решения.

Строго устойчивость определяется в смысле Ляпунова. Для линейных систем с постоянными параметрами считается, что система устойчива, если предел свободной составляющей равен 0

.

Устойчивость — внутреннее свойство системы, присущее ей вне зависимости от действующих на нее сигналов, поэтому рассматривается только свободная составляющая.

Это есть определение асимптотической устойчивости.

Свяжем требование устойчивости с расположением корней характеристического уравнения:

,

— корни , i=1,2,…,n,

вещественные обозначим ,

комплексные – .

Рассмотрим свободные составляющие соответствующие различным корням.

1. Корень вещественный, положительный:

2. Корень вещественный, отрицательный:

+j

3. Корни комплексные, сопряженные, с положительной вещественной частью:

система неустойчива

4. Корни комплексные, сопряженные, с отрицательной вещественной частью:

система устойчива.

Условием устойчивости является расположение корней характеристического уравнения в левой полуплоскости.

Система на границе устойчивости, если корни на мнимой оси.

Устойчивость – необходимое условие функционирования системы, поэтому в курсе уделяется много внимания методам оценки устойчивости системы.

Как найти характеристическое уравнение передаточной функции

Понятие линейного динамического звена

САУ удобно представлять для анализа и при синтезе в виде взаимосвязанной совокупности отдельных элементов – динамических звеньев.

Под динамическим звеном понимают в общем случае абстрактное устройство, имеющее вход и выход, и для которого задано уравнение, связывающее сигналы на входе и выходе, как это показано на рис. 1.

Подробное изучение свойств реальных объектов управления и систем автоматического управления приводит к описанию динамических звеньев в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Но во многих случаях их можно линеаризовать, то есть заменить нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системах. Тем самым осуществляется декомпозиция задач анализа и синтеза систем, то есть первоначально используют линейное представление, а затем осуществляют учет вносимых нелинейностями особенностей. Такому подходу способствует то, что, в большинстве случаев, нормально функционирующая система работает в режиме малых отклонений, при которых нелинейности не проявляются. В дальнейшем мы будем рассматривать преимущественно аппарат изучения линейных систем, а особенности систем других классов: нелинейных, импульсных, цифровых и стохастических, будут излагаться позднее в других учебных дисциплинах.

Если уравнение, связывающее сигналы и , линейно, то говорят о линейном динамическом звене

Уравнение линейного динамического звена имеет следующий общий вид:

где — постоянные коэффициенты, .

Использовать такое описание динамического звена в задачах анализа и синтеза систем и объектов управления не рационально, поэтому существуют и иные формы описания и представления динамических звеньев и систем в целом.

Подвергнем уравнение (1) преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями по Лапласу

.

Используя теоремы преобразования Лапласа линейности и дифференцирования, получим операторное уравнение, связывающие изображения входного и выходного сигналов

Преобразуем уравнение (2) к следующему виду

Получим из (3) отношение изображений выходного и входного сигналов

Отношение (4) не зависит от изображений сигналов, определяется только параметрами самого динамического звена (), имеет вид дробно-рациональной функции.

Отношение изображений выходного и входного сигналов называют передаточной функцией динамического звена

.

,

называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции – это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.

Определим передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

По второму закону Кирхгоффа запишем уравнения описывающие схему

С учетом того, что

,

Получим операторные уравнения

Из второго уравнения выразим значение изображения тока

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы

.

В итоге получаем искомую передаточную функцию

.

Графически передаточные функции динамического звена представляют в следующем виде:

Если известно изображение входного сигнала и передаточная функция динамического звена, всегда можно найти изображение выходного сигнала при нулевых начальных условиях

.(5)

В общем случае САУ состоит из множества динамических звеньев, сигналы с выходов звеньев могут суммироваться или вычитаться, суммироваться с внешними для САУ сигналами. Суммирование и вычитание изображений сигналов могут быть представлено графически с помощью суммирующих звеньев:

Показанная выше неоднозначность графического представления вычитания изображений на суммирующем элементе связана с различием в стандартах разных стран.

Используя графическое представление передаточных функций звеньев и суммирующие звенья, можно в графической форме представить операторные уравнения, описывающие САУ. Такое графическое представление операторных уравнений в ТАУ называют структурной схемой.

По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта.

Получим систему операторных уравнений, подвергнув исходную систему дифференциальных уравнений преобразованию Лапласа и заменив оригиналы изображениями,

Из первого уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим

.

Тогда передаточная функция этого звена имеет вид

,

а выражение описывает суммирующее звено . Таким образом, получены два фрагмента структурной схемы

Из второго уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим, вводя обозначение,

.

Тогда передаточная функция этого звена имеет вид

,

а выражение описывает суммирующее звено . Таким образом, получены еще два фрагмента структурной схемы

Соединим все фрагменты структурной схемы объекта управления, объединяя одноименные сигналы, либо разветвляя их с помощью точек ветвления , показанных на схеме. В результате получим

Временные характеристики динамического звена

Временной или импульсной характеристикой динамического звена называют реакцию звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид –

Выясним, что представляет собой временная характеристика, то есть почему ее называют характеристикой динамического звена?

Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией

В этом случае, в соответствии с (5), имеем

.

Получаем, что передаточная функция звена – это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического звена. В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции

,

при использовании разложения в форму Хэвисайта и обратное преобразование Лапласа.

Знание импульсной характеристики позволяет определить реакцию динамического звена на сигнал любой формы.

Для динамического звена с передаточной функцией преобразуем (5), используя теорему об умножении изображений преобразования Лапласа,

,

а если легко получить , тогда

.

Переходной характеристикой или переходной функцией динамического звена называют реакцию динамического звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид –

Для анализа переходной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией

В этом случае, в соответствии с (5), имеем

.

По теореме об интегрировании оригинала имеем

Переходная функция является интегралом по времени от импульсной характеристике и наоборот

.

Переходная характеристика динамического звена может быть определена по передаточной функции

Контрольные вопросы и задачи

Что такое линейное динамическое звено?

Как определить передаточную функцию линейного динамического звена?

Перечислите основные элементы структурных схем систем управления.

Как определить по передаточной функции динамического звена его временные характеристики: импульсную и переходную?

Как по переходной характеристике определить импульсную характеристику динамического звена?

Определите передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

.

Определите передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

.

По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта.