Как найти импульс тела через уравнение

Импульс тела, закон сохранения импульса

теория по физике 🧲 законы сохранения

Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:

Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).

Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости ( p ↑↓ v ), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).

Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:

p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)

Относительный импульс

Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:

p _1отн2— импульс первого тела относительно второго, m₁ — масса первого тела, v _1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v ₁и v ₂ — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.

Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.

Сначала переведем единицы измерения в СИ:

Изменение импульса тела

∆ p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p ₀ — начальный импульс тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар

Конечный импульс тела:

Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса:

Абсолютно упругий удар

Модули конечной и начальной скоростей равны:

Модули конечного и начального импульсов равны:

Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса:

Пуля пробила стенку

Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов:

Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов

Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса:

Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали

Модули конечной и начальной скоростей равны:

Модули конечного и начального импульсов равны:

Угол падения равен углу отражения:

Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:

Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.

В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.

Вычисляем:

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:

Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:

Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:

F ∆t — импульс силы, ∆ p — изменение импульса тела

Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?

Из формулы импульса силы выразим модуль силы:

Реактивное движение

Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.

Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

Второй закон Ньютона для ракеты:

Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.

Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:

Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:

Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Отсюда ускорение равно:

Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:

Суммарный импульс системы тел

Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:

Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.

Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:

Закон сохранения импульса

Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:

• положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
• отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.

При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Сохранение проекции импульса

В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.

Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.

Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:

Отсюда скорость равна:

Импульс частицы до столкновения равен − p ₁, а после столкновения равен − p ₂, причём p₁ = p, p₂ = 2p, − p ₁⊥ − p ₂. Изменение импульса частицы при столкновении Δ − p равняется по модулю:

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Так как угол α = 90 о , вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:

Δ p = √ p 2 1 + p 2 2

Подставим известные данные:

Δ p = √ p 2 + ( 2 p ) 2 = √ 5 p 2 = p √ 5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?

а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно

б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено

в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно

г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено

Закон cохранения импульса

О чем эта статья:

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Импульс: что это такое

Как-то раз Рене Декарт (это который придумал ту самую декартову систему координат) решил, что каждый раз считать силу, чтобы описать процессы — как-то лень и сложно.

Для этого нужно ускорение, а оно не всегда очевидно. Тогда он придумал такую величину, как импульс. Импульс можно охарактеризовать, как количество движения — это произведение массы на скорость.

Импульс тела

p — импульс тела [кг · м/с]

m — масса тела [кг]

Закон сохранения импульса

В физике и правда ничего не исчезает и не появляется из ниоткуда. Импульс — не исключение. В замкнутой изолированной системе (это та, в которой тела взаимодействуют только друг с другом) закон сохранения импульса звучит так:

Закон сохранения импульса

Векторная сумма импульсов тел в замкнутой системе постоянна

А выглядит — вот так:

Закон сохранения импульса

p_n — импульс тела [кг · м/с]

Простая задачка

Мальчик массой m = 45 кг плыл на лодке массой M = 270 кг в озере и решил искупаться. Остановил лодку (совсем остановил, чтобы она не двигалась) и спрыгнул с нее с горизонтально направленной скоростью 3 м/с. С какой скоростью станет двигаться лодка?

Решение:

Запишем закон сохранения импульса для данного процесса.

— это импульс системы мальчик + лодка до того, как мальчик спрыгнул,

— это импульс мальчика после прыжка,

— это импульс лодки после прыжка.

Изобразим на рисунке, что происходило до и после прыжка.

Если мы спроецируем импульсы на ось х, то закон сохранения импульса примет вид

Подставим формулу импульса.
, где:
— масса мальчика [кг]
— скорость мальчика после прыжка [м/с]
— масса лодки [кг]
— скорость лодки после прыжка [м/с]

Выразим скорость лодки :

Подставим значения:
м/с

Ответ: скорость лодки после прыжка равна 0,5 м/с

Задачка посложнее

Тело массы m₁ = 800 г движется со скоростью v₁ = 3 м/с по гладкой горизонтальной поверхности. Навстречу ему движется тело массы m₂ = 200 г со скоростью v₂ = 13 м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.

Решение: Для данной системы выполняется закон сохранения импульса:

Импульс системы до удара — это сумма импульсов тел, а после удара — импульс «получившегося» в результате удара тела.

Спроецируем импульсы на ось х:

После неупругого удара получилось одно тело массы , которое движется с искомой скоростью:

Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

Переводим массу в килограммы и подставляем значения:

В результате мы получили отрицательное значение скорости. Это значит, что в самом начале на рисунке мы направили скорость после удара неправильно.

Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси X. Это никак не влияет на получившееся значение.

Ответ: скорость системы тел после соударения равна v = 0,2 м/с.

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Второй закон Ньютона в импульсной форме можно получить следующим образом. Пусть для определенности векторы скоростей тела и вектор силы направлены вдоль одной прямой линии, т. е. движение прямолинейное.

Запишем второй закон Ньютона, спроецированный на ось х, сонаправленную с направлением движения и ускорением:

Применим выражение для ускорения

В этих уравнениях слева находится величина a. Так как левые части уравнений равны, можно приравнять правые их части

Полученное выражение является пропорцией. Применив основное свойство пропорции, получим такое выражение:

В правой части находится — это разница между конечной и начальной скоростью.

Преобразуем правую часть

Раскрыв скобки, получим

Заменим произведение массы и скорости на импульс:

То есть, вектор – это вектор изменения импульса .

Тогда второй закон Ньютона в импульсной форме запишем так

Вернемся к векторной форме, чтобы данное выражение было справедливо для любого направления вектора ускорения.

Задачка про белку отлично описывает смысл второго закона Ньютона в импульсной форме

Белка с полными лапками орехов сидит на гладком горизонтальном столе. И вот кто-то бесцеремонно толкает ее к краю стола. Белка понимает законы Ньютона и предотвращает падение. Но как?

Решение:

Чтобы к белке приложить силу, которая будет толкать белку в обратном направлении от края стола, нужно создать соответствующий импульс (вот и второй закон Ньютона в импульсной форме подъехал).

Ну, а чтобы создать импульс, белка может выкинуть орехи в сторону направления движения — тогда по закону сохранения импульса ее собственный импульс будет направлен против направления скорости орехов.

Реактивное движение

В основе движения ракет, салютов и некоторых живых существ: кальмаров, осьминогов, каракатиц и медуз — лежит закон сохранения импульса. В этих случаях движение тела возникает из-за отделения какой-либо его части. Такое движение называется реактивным.

Яркий пример реактивного движения в технике — движение ракеты, когда из нее истекает струя горючего газа, которая образуется при сгорании топлива.

Сила, с которой ракета действует на газы, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой газы отталкивают от себя ракету:

Сила называется реактивной. Это та сила, которая возникает в процессе отделения части тела. Особенностью реактивной силы является то, что она возникает без взаимодействия с внешними телами.

Закон сохранения импульса позволяет оценить скорость ракеты.

v_г — скорость горючего,

v_р — скорость ракеты.

Отсюда можно выразить скорость ракеты:

Скорость ракеты при реактивном движении

v_г — скорость горючего [м/с]

m_р — масса ракеты [кг]

v_р — скорость ракеты [м/с]

Эта формула справедлива для случая мгновенного сгорания топлива. Мгновенное сгорание — это теоретическая модель. В реальной жизни топливо сгорает постепенно, так как мгновенное сгорание приводит к взрыву.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Импульс. Закон сохранения импульса

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке все желающие смогут изучить тему «Импульс. Закон сохранения импульса». Вначале мы дадим определение понятию импульса. Затем определим, в чём заключается закон сохранения импульса – один из главных законов, соблюдение которого необходимо, чтобы ракета могла двигаться, летать. Рассмотрим, как он записывается для двух тел и какие буквы и выражения используются в записи. Также обсудим его применение на практике.