Уравнение прямой проходящей через две точки
Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.
Прямая — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.
Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:
- каноническое уравнение,
- параметрическое уравнение,
- общее уравнение прямой,
- уравнение прямой с угловым коэффициентом,
- уравнение прямой в полярных координатах и другие.
Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.
Уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида
где A и B не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду
где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.
Уравнение прямой в отрезках на осях
Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках
x | + | y | = 1 |
a | b |
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу
x — x 1 | = | y — y 1 |
x 2 — x 1 | y 2 — y 1 |
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x = l t + x 0 y = m t + y 0
где N( x 0, y 0) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >— координаты направляющего вектора прямой.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Если известны координаты точки N( x 0, y 0) лежащей на прямой и направляющего вектора a =
x — x 0 | = | y — y 0 |
l | m |
Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки
x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7
Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой
Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
x = t + 1 y = -4 t + 7
Решение. Так как M y — N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве
Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу
x — x 1 | = | y — y 1 | = | z — z 1 |
x 2 — x 1 | y 2 — y 1 | z 2 — z 1 |
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x = l t + x 0 | |
y = m t + y 0 | |
z = n t + z 0 |
где ( x 0, y 0, z 0) — координаты точки лежащей на прямой,
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Если известны координаты точки M( x 0, y 0, z 0) лежащей на прямой и направляющего вектора n =
x — x 0 | = | y — y 0 | = | z — z 0 |
l | m | n |
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений
Каноническое и параметрическое уравнения прямой
Пусть l — некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор
а =/= 0, коллинеарный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.
Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.
Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M0 , а М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow
Если точки М и M0 заданы своими радиус-векторами r и r0 (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то \(\overrightarrow
Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром.
Пусть точка M0 прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:
Тогда, если (х; у; z) — координаты произвольной точки М прямой l, то
и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:
$$ \begin
Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
M0(-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).
В данном случае х0 = -3, у0 = 2, z0 = 4; а1 = 2; а2 = -5; а3 = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой
$$ \begin
Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.
Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.
Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.
Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а, например а1 равна нулю, то, исключив параметр t, снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z:
Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)
считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M0(х0; у0, z0) параллельно координатной плоскости yOz, так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а2; а3).
Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а, например а1 и а2 равны нулю, то эти уравнения принимают вид
Это уравнения прямой, проходящей через точку M0(х0; у0; z0) параллельно оси Oz. Для такой прямой х = х0, y = у0, a z — любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)
Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а1 , а2 , а3 не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.
Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0(- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).
Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:
Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M1(х1; у1; z1) и
Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M1(х1; у1; z1) и
Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M1(-4; 1; -3) и M2(-5; 0; 3).
Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M1(3; -2; 1) и
После подстановки координат точек M1 и M2 в уравнения (5) получим
http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/line/
http://razdupli.ru/teor/88_kanonicheskoe-i-parametricheskoe-uravneniya-pryamoj.php