Как найти координаты точки принадлежащей прямой заданной уравнением

Как найти координаты точки?

О чем эта статья:

3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

• Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
• Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
• Ось ординат Oy — вертикальная ось.
• Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
• Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

• верхний правый угол — первая четверть I;
• верхний левый угол — вторая четверть II;
• нижний левый угол — третья четверть III;
• нижний правый угол — четвертая четверть IV;

• Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
• Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
• Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
• Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

1. Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
   точка С (0, 2).
2. Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
   точка F (3, 0).
3. Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
   
4. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
   
5. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
   
6. Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
   
7. Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).
   

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

1. Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
2. Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
3. Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.
   

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

1. Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
   перед 4 стоит знак минус.
2. Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.
   

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:

Уравнения прямой в пространстве — это уравнения двух пересекающихся плоскостей

В данном разделе продолжим изучение темы уравнения прямой в пространстве с позиции стереометрии. Это значит, что мы будем рассматривать прямую линию в трехмерном пространстве как линию пересечения двух плоскостей.

Согласно аксиомам стереометрии, если две плоскости не совпадают и имеют одну общую точку, то они также имею одну общую прямую, на которой лежат все точки, которые являются общими для двух плоскостей. Используя уравнения двух пересекающихся плоскостей, мы можем определить прямую линию в прямоугольной системе координат.

По ходу рассмотрения темы приведем многочисленные примеры, ряд графических иллюстраций и развернутых решений, необходимых для лучшего усвоения материала.

Уравнения двух плоскостей, задающих прямую линию в пространстве

Пусть даны две плоскости, которые не совпадают между собой и пересекаются. Обозначим их как плоскость α и плоскость β . Разместим их в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Как мы помним, любую плоскость в прямоугольной системе координат задает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 . Будем считать, что плоскости α соотвествует уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а плоскости β уравнение A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В этом случае нормальные вектора плоскостей α и β n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) не коллинеарны, так как плоскости не совпадают между собой и е размещаются параллельно друг другу. Запишем это условие следующим образом:

n 1 → ≠ λ · n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ · A 2 , λ · B 2 , λ · C 2 , λ ∈ R

Чтобы освежить в памяти материал по теме «Параллельность плоскостей», смотрите соответствующий раздел нашего сайта.

Линию пересечения плоскостей обозначим буквой a . Т.е. a = α ∩ β . Эта прямая представляет собой множество точек, которые являются общими для обеих плоскостей α и β . Это значит, что все точки прямой линии a удовлетворяют обоим уравнениям плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Фактически, они являются частным решением системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Общее решение системы линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определяет координаты всех точек линии, по которой происходит пересечение двух плоскостей α и β . Это значит, что с его помощью мы можем определить положение прямой в прямоугольной системе координат O x y z .

Рассмотрим описанную теорию еще раз, теперь уже на конкретном примере.

Прямая O x – это прямая, по которой пересекаются координатные плоскости O x y и O x z . Зададим плоскость O x y уравнением z = 0 , а плоскость O x z уравнением у = 0 . Такой подход мы подробно разобрали в разделе «Неполное общее уравнение плоскости», так что, в случае затруднений, можно обратиться к этому материалу повторно. В этом случае координатная прямая O x определяется в трехмерной системе координат системой из двух уравнений вида y = 0 z = 0 .

Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются плоскости

Рассмотрим задачу. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат O х у z . Линия, по которой пересекаются две плоскости a , задана системой уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Дана точка трехмерного пространства M 0 x 0 , y 0 , z 0 .

Давайте определим, принадлежит ли точка M 0 x 0 , y 0 , z 0 заданной прямой линии a .

Для того, чтобы получить ответ на вопрос задачи, подставим координаты точки М 0 в каждое из двух уравнений плоскости. Если в результате подстановки оба уравнения превратятся в верные равенства A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 , то точка М 0 принадлежит каждой из плоскостей и принадлежит заданной линии. Если хотя бы одно из равенств A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 окажется неверным, то точка М 0 не принадлежит прямой линии.

Рассмотрим решение примера

Прямая линия задана в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида 2 x + 3 y + 1 = 0 x — 2 y + z — 3 = 0 . Определите, принадлежат ли точки M 0 ( 1 , — 1 , 0 ) и N 0 ( 0 , — 1 3 , 1 ) прямой линии пересечения плоскостей.

Решение

Начнем с точки М 0 _. Подставим ее координаты в оба уравнения системы 2 · 1 + 3 · ( — 1 ) + 1 = 0 1 — 2 · ( — 1 ) + 0 — 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

В результате подстановки мы получили верные равенства. Это значит, что точка М 0 принадлежит обеим плоскостям и расположена на линии их пересечения.

Подставим в оба уравнения плоскости координаты точки N 0 ( 0 , — 1 3 , 1 ) . Получаем 2 · 0 + 3 · — 1 3 + 1 = 0 0 — 2 · — 1 3 + 1 — 3 = 0 ⇔ 0 = 0 — 1 1 3 = 0 .

Как вы видите, второе уравнение системы превратилось в неверное равенство. Это значит, что точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

Ответ: точка М 0 принадлежит прямой линии, а точка N 0 не принадлежит.

Теперь предлагаем вам алгоритм нахождения координат некоторой точки, принадлежащей прямой линии, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z определяется уравнениями пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Количество решений системы из двух линейных уравнений с темя неизвестными A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 бесконечно. Любое из этих решений может стать решением задачи.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямая линия уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Найдите координаты любой из точек этой прямой.

Решение

Перепишем систему уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = — 7 2 x + 3 y + 3 z = — 2 .

Возьмем отличный от нуля минор второго порядка в качестве базисного минора основной матрицы системы 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Это значит, что z – это свободная неизвестная переменная.

Перенесем слагаемые, содержащие свободную неизвестную переменную z в правые части уравнений:

x + 0 y + 3 z = — 7 2 x + 3 y + 3 z = — 2 ⇔ x + 0 y = — 7 — 3 z 2 x + 3 y = — 2 — 3 z

Введем произвольное действительное число λ и примем, что z = λ .

Тогда x + 0 y = — 7 — 3 z 2 x + 3 y = — 2 — 3 z ⇔ x + 0 y = — 7 — 3 λ 2 x + 3 y = — 2 — 3 λ .

Для решения полученной системы уравнений применим метод Крамера:

∆ = 1 0 2 3 = 1 · 3 — 0 · 1 = 2 ∆ x = — 7 — 3 λ 0 — — 3 λ 3 = — 7 — 3 λ · 3 — 0 · ( — 2 — 3 λ ) = 21 — 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = — 7 — 3 λ ∆ y = 1 — 7 — 3 λ 2 — 2 — 3 λ = 1 · — 2 — 3 λ — — 7 — 3 λ · = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

Общее решение системы уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 будет иметь вид x = — 7 — 3 λ y = 4 + λ z = λ , где λ ∈ R .

Для получения частного решения системы уравнений, которое даст нам искомые координаты точки, принадлежащей заданной прямой, нам необходимо взять конкретное значение параметра λ . Если λ = 0 , то x = — 7 — 3 · 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = — 7 y = 4 z = 0 .

Это позволяет нам получить координаты искомой точки — 7 , 4 , 0 .

Проверим верность найденных координат точки методом подстановки их в исходные уравнения двух пересекающихся плоскостей — 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · ( — 7 ) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Ответ: — 7 , 4 , 0

Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости

Давайте рассмотрим, как определить координаты направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В прямоугольной системе координат 0хуz направляющий вектор прямой неотделим от прямой линии.

Как мы знаем, прямая перпендикулярна по отношению к плоскости в том случае, когда она перпендикулярна по отношению к любой прямой, лежащей в данной плоскости. Исходя из вышесказанного, нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в данной плоскости. Эти два факта помогут нам в нахождении направляющего вектора прямой.

Плоскости α и β пересекаются по линии a . Направляющий вектор a → прямой линии a расположен перпендикулярно по отношению к нормальному вектору n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и нормальному вектору n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) плоскости A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Направляющий вектор прямой a представляет собой векторное произведение векторов n → 1 = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = A 2 , B 2 , C 2 .

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Зададим множество всех направляющих векторов прямой как λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , где λ — это параметр, который может принимать любые действительные значения, отличные от нуля.

Пусть прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O х у z задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей x + 2 y — 3 z — 2 = 0 x — z + 4 = 0 . Найдем координаты любого направляющего вектора этой прямой.

Решение

Плоскости x + 2 y — 3 z — 2 = 0 и x — z + 4 = 0 имеют нормальные векторы n 1 → = 1 , 2 , — 3 и n 2 → = 1 , 0 , — 1 . Примем за направляющий вектор прямой линии, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, векторное произведение нормальных векторов:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 — 3 1 0 — 1 = i → · 2 · ( — 1 ) + j → · ( — 3 ) · 1 + k → · 1 · 0 — — k → · 2 · 1 — j → · 1 · ( — 1 ) — i → · ( — 3 ) · 0 = — 2 · i → — 2 j → — 2 k →

Запишем ответ в координатной форме a → = — 2 , — 2 , — 2 . Тем, кто не помнит, как это делается, рекомендуем обратиться к теме «Координаты вектора в прямоугольной системе координат».

Ответ: a → = — 2 , — 2 , — 2

Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве

Для решения ряда задач проще использовать параметрические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ или канонические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . В этих уравнениях a x , a y , a z — координаты направляющего вектора прямой, x 1 , y 1 , z 1 — координаты некоторой точки прямой, а λ — параметр, принимающий произвольные действительные значения.

От уравнения прямой вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 можно перейти к каноническим и параметрическим уравнениям прямой линии в пространстве. Для записи канонических и параметрических уравнений прямой нам понадобятся навыки нахождения координат некоторой точки прямой, а также координат некоторого направляющего вектора прямой, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Рассмотрим написанное выше на примере.

Зададим прямую линию в трехмерной системе координат уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 . Напишем канонические и параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Найдем координаты направляющего вектора прямой, который является векторным произведением нормальных векторов n 1 → = 2 , 1 , — 1 плоскости 2 x + y — z — 1 = 0 и n 2 → = ( 1 , 3 , — 2 ) плоскости x + 3 y — 2 z = 0 :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 — 1 1 3 — 2 = i → · 1 · ( — 2 ) + j → · ( — 1 ) · 1 + k → · 2 · 3 — — k → · 1 · 1 — j → · 2 · ( — 2 ) — i → · ( — 1 ) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →

Координаты направляющего вектора прямой a → = ( 1 , 2 , 5 ) .

Следующим шагом является определение координат некоторой точки заданной прямой линии, которыми является одно из решений системы уравнений: 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ 2 x + y — z = 1 x + 3 y — 2 z = 0 .

Возьмем в качестве минорной матрицы системы определитель 2 1 1 3 = 2 · 3 — 1 · 1 = 5 , который отличен от нуля. В этом случае переменная z является свободной. Перенесем слагаемые с ней в правые части каждого уравнения и придаем переменной произвольное значение λ :

2 x + y — z = 1 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R

Применяем для решения полученной системы уравнений метод Крамера:

∆ = 2 1 1 3 = 2 · 3 — 1 · 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = ( 1 + λ ) · 3 — 1 · 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ — ( 1 + λ ) · 1 = — 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = — 1 + 3 λ 5 = — 1 5 + 3 5 · λ

Получаем: 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = — 1 5 + 3 5 z = λ

Примем λ = 2 для того, чтобы получить координаты точки прямой линии: x 1 = 3 5 + 1 5 · 2 y 1 = — 1 5 + 3 5 · 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Теперь мы имеем достаточно данных для того, чтобы записать канонические и параметрические уравнения данной прямой в пространстве: x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z ⇔ x — 1 1 = y — 1 3 = z — 2 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Ответ: x — 1 1 = y — 1 3 = z — 2 5 и x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Данная задача имеет еще один способ решения.

Нахождение координат некоторой точки прямой проводится при решении системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

В общем случае ее решения можно записать в виде искомых параметрических уравнений прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ .

Получение канонических уравнений проводится следующим образом: решаем каждое из полученных уравнений относительно параметра λ , приравниваем правые части равенства.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y λ = z — z 1 a z ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

Применим данный способ к решению задачи.

Зададим положение прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 . Напишем параметрическое и каноническое уравнения для этой прямой линии.

Решение

Решение системы из двух уравнений с тремя неизвестными проводится аналогично тому, как мы делали это в предыдущем примере. Получаем: 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = — 1 5 + 3 5 · λ z = λ .

Это параметрические уравнения прямой в пространстве.

Канонические уравнения получаем следующим образом: x = 3 5 + 1 5 · λ y = — 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x — 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x — 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Полученные в обоих примерах уравнения отличаются внешне, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства, а следовательно и одну и ту же прямую линию.

Ответ: x — 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 и x = 3 5 + 1 5 · λ y = — 1 5 + 3 5 · λ z = λ

Общее уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения общего уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и нормальный вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в общем виде в канонический и параметрический виды.

Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxy. Рассмотрим уравнение первой степени или линейное уравнение:

где A, B, C − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A и B отлично от нуля.

Мы покажем, что линейное уравнение на плоскости определяет прямую. Докажем следующую теорему.

Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением. Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости определяет прямую линию.

Доказательство. Достаточно доказать, что прямая L определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.

Пусть на плоскости задана прямая L. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпадал с прямой L, а ось Oy был перпендикулярной к ней. Тогда уравнение прямой L примет следующий вид:

Все точки на прямой L будут удовлетворять линейному уравнению (2), а все точки вне этой прямой, не будут удовлетворять уравнению (2). Первая часть теоремы доказана.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат и пусть задана линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A и B отличен от нуля. Найдем геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). Так как хотя бы один из коэффициентов A и B отличен от нуля, то уравнение (1) имеет хотя бы одно решение M(x₀,y₀). (Например, при A≠0, точка M₀(−C/A, 0) принадлежит данному геометрическому месту точек). Подставляя эти координаты в (1) получим тождество

Вычтем из (1) тождество (3):

Очевидно, что уравнение (4) эквивалентно уравнению (1). Поэтому достаточно доказать, что (4) определяет некоторую прямую .

Поскольку мы рассматриваем декартову прямоугольную систему координат, то из равенства (4) следует, что вектор с компонентами <x−x₀, y−y₀> ортогонален вектору n с координатами <A,B>.

Рассмотрим некоторую прямую L, проходящую через точку M₀(x₀, y₀) и перпендикулярной вектору n (Рис.1). Пусть точка M(x,y) принадлежит прямой L. Тогда вектор с координатами x−x₀, y−y₀ перпендикулярен n и уравнение (4) удовлетворено (скалярное произведение векторов n и равно нулю). Обратно, если точка M(x,y) не лежит на прямой L, то вектор с координатами x−x₀, y−y₀ не ортогонален вектору n и уравнение (4) не удовлетворено. Теорема доказана.

Вектор n=<A,B> называется нормальным вектором прямой L.

Замечание 1. Если два общих уравнения прямой

определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число λ, что выпонены равенства

Так как выполнены первые два равенства из выражений (7), то C₁λ−C₂=0. Т.е. C₂=C₁λ. Замечание доказано.

Заметим, что уравнение (4) определяет уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) и имеющий нормальный вектор n=<A,B>. Поэтому, если известен нормальный вектор прямой и точка, принадлежащая этой прямой, то можно построить общее уравнение прямой с помощью уравнения (4).

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(4,−1) и имеет нормальный вектор n=<3, 5>. Построить общее уравнение прямой.

Решение. Имеем: x₀=4, y₀=−1, A=3, B=5. Для построения общего уравнения прямой, подставим эти значения в уравнение (4):

Упростив получим общее уравнение прямой:

Пример 2. Прямая проходит через точки M₁=(−5, 2) и M₂=(−2, 3). Построить общее уравнение прямой.

Решение. Вычислим вектор :

Вектор параллелен прямой L и, следовательно, перпердикулярен нормальному вектору прямой L. Построим нормальный вектор прямой L, учитывая, что скалярное произведение векторов n и равно нулю. Можем записать, например, n=<1,−3>.

Для построения общего уравнения прямой воспользуемся формулой (4). Подставим в (4) координаты точки M₁ (можем взять также координаты точки M₂) и нормального вектора n:

Упростим полученное уравнение:

Подставляя координаты точек M₁ и M₂ в (9) можем убедится, что прямая заданная уравнением (9) проходит через эти точки.

Приведение общего уравнения прямой на плоскости к каноническому виду

Нам нужно привести уравнение (1) к каноническому виду. Для этого найдем некоторую точку M₀(x₀,y₀) на этой прямой. Тогда имеем:

Вторую слагаемую уравнения (11) переместим на право и разделим обе части уравнения на −AB:

(12)

Мы получили каноническое уравнение прямой. Вектор q=<−B, A> является направляющим вектором прямой (12).

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим общим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.

Решение: Найдем некоторую точку на прямой (13). Для этого подставим в (13) y=1 и найдем x. Получим x=2. Запишем уравнение прямой пользуясь формулой (11):

Переместим на право вторую слагаемую и разделим обе части уравнения на 2·5:

Приведение общего уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду

В предыдущем параграфе мы привели общее уравнение прямой (1) к каноническому виду (12). Из канонического уравнения легко получить параметрическое уравнение прямой. для этого левый и правый части уравнения (12) обозначим через параметр t. Тогда получим:

Выразив x и y через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Прямая на плоскости представлена следующим общим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к параметрическому виду.

Решение: Найдем некоторую точку на прямой (13). Для этого подставим в (14) x=3 и найдем y. Получим y=11. Запишем уравнение прямой пользуясь формулой (11):

Переместим на право вторую слагаемую и разделим обе части уравнения на 5·2:

Обозначим обе части уравнения через параметр t:

Выразим x и y через параметр t:

Ответ. Параметрическое уравнение прямой имеет следующий вид: