Как найти координаты вектора из уравнения векторов

Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если a → является направляющий вектором прямой a , то другой направляющий вектор мы можем обозначить как t · a → при любом значении t , соответствующем действительному числу.

Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые a и a 1 являются параллельными, то вектор a → будет направляющим и для a , и для a 1 .

Третий вывод, следующий из определения: если у нас есть направляющий вектор прямой a , то он будет перпендикулярным по отношению к любому нормальному вектору той же прямой.

Приведем пример направляющего вектора: в прямоугольной системе координат для осей O x , O y и O z направляющими будут координатные векторы i → , j → и k → .

Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой

Допустим, что у нас есть некая прямая с направляющими векторами, лежащая в прямоугольной системе координат. Сначала мы разберем случай с плоской декартовой системой O x y , а потом с системой O x y z , расположенной в трехмерном пространстве.

1. Прямую линию в O x y можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.

Допустим, у нас есть канонический случай уравнения, которое имеет вид x — x 1 a x = y — y 1 a y . С его помощью на плоскости задана прямая с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .

Чтобы вычислить координаты направляющего вектора, нам нужно взять числа из знаменателя канонического уравнения прямой.

Приведем пример задачи.

В прямоугольной системе координат задана прямая, которую можно описать уравнением x — 1 4 = y + 1 2 — 3 . Вычислите координаты одного из направляющих векторов прямой.

Решение

Из уравнения мы можем сразу взять координаты направляющего вектора. Берем числа в знаменателях и записываем: 4 , — 3 . Это и будет нужный нам ответ.

Ответ: 4 , — 3 .

Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.

У нас есть прямая, которую можно описать с помощью системы параметрических уравнений x = — 1 y = 7 — 5 · λ , при этом λ ∈ R . Найдите координаты направляющих векторов.

Решение

Для начала перепишем данные параметрические уравнения в виде x = — 1 + 0 · λ y = 7 — 5 · λ . Посмотрим на коэффициенты. Они сообщат нам нужные координаты направляющего вектора – a → = ( 0 , 5 ) . Учитывая, что все направляющие векторы одной прямой будут коллинеарны, мы можем задать их в виде t · a → или 0 , — 5 · t , где t может быть любым действительным числом. О том, как проводить действия с векторами в координатах, мы писали в отдельной статье.

Ответ: 0 , — 5 · t , t ∈ R , t ≠ 0

Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида A x + B y + C = 0 . Если A = 0 , то исходное уравнение можно переписать как B y + C = 0 . Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор i → = 1 , 0 .

А если B = 0 , то уравнение прямой мы можем записать как A x + C = 0 . Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор j → = 0 , 1 также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.

У нас есть прямая, заданная при помощи общего уравнения x — 2 = 0 . Найдите координаты любого направляющего вектора.

Решение

В прямоугольной системе координат исходное уравнение будет соответствовать прямой, параллельной оси ординат. Значит, мы можем взять координатный вектор j → = ( 0 , 1 ) . Он будет для нее направляющим.

Ответ: ( 0 , 1 )

А как быть в случае, если ни один коэффициент в A x + B y + C = 0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.

1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.

2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.

3. Третий способ заключается в вычислении координат любого вектора, который будет перпендикулярен нормальному вектору этой прямой n → = A , B .

Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.

Есть прямая на плоскости, заданная уравнением 3 x + 2 y — 10 = 0 . Запишите координаты любого направляющего вектора.

Решение

Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме 3 x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:

3 x + 2 y — 10 = 0 ⇔ 3 x = — 2 y + 10

Получившееся равенство преобразовываем и получаем:

3 x = — 2 y + 10 ⇔ 3 x = — 2 ( y — 5 ) ⇔ x — 2 = y — 5 3

Отсюда мы уже можем вывести координаты нужного нам направляющего вектора: -2 , 3

К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 и уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.

Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.

Вектор a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим для прямой, выраженной с помощью:

1) канонического уравнения прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

2) параметрического уравнения прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.

Рассмотрим конкретную задачу.

Прямая в пространстве задана уравнением вида x — 1 4 = y + 1 2 0 = z — 3 . Укажите, какие координаты будет иметь направляющий вектор данной прямой.

Решение

В каноническом уравнении необходимые числа видны сразу в знаменателях. Получается, что ответом будет вектор с координатами 4 , 0 , — 3 . Координаты всех направляющих векторов данной прямой можно записать в виде 4 · t , 0 , — 3 · t при условии, что t является действительным числом.

Ответ: 4 · t , 0 , — 3 · t , t ∈ R , t ≠ 0

Вычислите координаты любого направляющего вектора для прямой, которая задана в пространстве с помощью параметрического уравнения x = 2 y = 1 + 2 · λ z = — 4 — λ .

Решение

Перепишем данные уравнения в виде x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = — 4 — 1 · λ .

Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.

Разберем еще один случай. Как вычислить нужные координаты, если прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ?

Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.

Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.

Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , будет перпендикулярен нормальным векторам n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) . То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .

n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 — это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.

Решим задачу, в которой применяется этот подход.

Запишите координаты направляющего вектора прямой, выраженной с помощью уравнения x + 2 y + 3 z — 1 = 0 2 x + 4 y — 4 z + 5 = 0 .

Решение

Возьмем произведение двух нормальных векторов плоскостей x + 2 y + 3 z — 1 = 0 и 2 x + 4 y — 4 z + 5 = 0 . У них следующие координаты: 1 , 2 , 3 и 2 , 4 , — 4 .

У нас получится:

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 — 4 = i → · 2 · ( — 4 ) + j → · 3 · 2 + k → · 1 · 4 — — k → · 2 · 2 — i → · 3 · 4 — j → · 1 · ( — 4 ) = — 20 · i → + 10 · j → + 0 · k →

Выходит, что вектор n 1 → × n 2 → = — 20 · i → + 10 · j → + 0 · k → ⇔ n 1 → × n 2 → = — 20 , 10 , 0 – это и есть нужный нам направляющий вектор прямой.

Ответ: — 20 , 10 , 0

В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.