Как найти корень комплексного уравнения
. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке
© Контрольная работа РУ — примеры решения задач
Квадратное уравнение с комплексными корнями
Вы будете перенаправлены на Автор24
Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.
Двучленным называется уравнение вида $x^
Рассмотрим три случая:
Решить уравнение: $x^ <3>=8$.
Так как $A>0$, то $x_
При $k=0$ получаем $x_ <0>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right)=\sqrt[<3>] <8>=2$.
При $k=1$ получаем
\[x_ <1>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos \frac<2\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<2\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <8>\cdot (-\frac<1> <2>+\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=2\cdot (-\frac<1> <2>+\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=-1+\sqrt <3>\cdot i.\]
При $k=2$ получаем
\[x_ <2>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos \frac<4\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<4\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <8>\cdot (-\frac<1> <2>-\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=2\cdot (-\frac<1> <2>-\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=-1-\sqrt <3>\cdot i.\]
Решить уравнение: $x^ <3>=1+i$.
Готовые работы на аналогичную тему
Так как $A$ — комплексное число, то
Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.
По условию $a=1,b=1$.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
\[\varphi =\arg z=arctg\frac<1> <1>=arctg1=\frac<\pi > <4>\]
Подставим полученные значения и получим:
Уравнение перепишем в виде:
При $k=0$ получаем $x_ <0>=\sqrt[<3>] <\sqrt<2>> \cdot \left(\cos \frac<\pi /4> <3>+i\cdot \sin \frac<\pi /4> <3>\right)=\sqrt[<3>] <\sqrt<2>> \cdot \left(\cos \frac<\pi > <12>+i\cdot \sin \frac<\pi > <12>\right)=\sqrt[<6>] <2>\cdot \left(\cos \frac<\pi > <12>+i\cdot \sin \frac<\pi > <12>\right)$.
При $k=1$ получаем
При $k=2$ получаем
Квадратным называется уравнение вида $ax^ <2>+bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.
Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^ <2>-4ac$, при этом
В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.
Решить уравнение $x^ <2>+2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.
\[D=2^ <2>-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16.\]
Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.
В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.
Комплексное число вида $\overline
Известно, что если $x_ <1,2>$ являются корнями квадратного уравнения $ax^ <2>+bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_ <1>)(x-x_ <2>)=0$. В общем случае $x_ <1,2>$ являются комплексными корнями.
Зная корни уравнения $x_ <1,2>=1\pm 2i$, записать исходное уравнение.
Запишем уравнение следующим образом:
\[x^ <2>-(1-2i)\cdot x-x\cdot (1+2i)+(1-2i)\cdot (1+2i)=0\] \[x^ <2>-x+2i\cdot x-x-2i\cdot x+1-4i^ <2>=0\] \[x^ <2>-2x+1+4=0\] \[x^ <2>-2x+5=0\]
Следовательно, $x^ <2>-2x+5=0$ — искомое уравнение.
Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.
Решить уравнение: $z^ <2>+(1-2i)\cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.
Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:
Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.
В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 11 2021
Сергей Евгеньевич Грамотинский
Эксперт по предмету «Математика»
Работаем по будням с 10:00 до 20:00 по Мск
. и многие другие.
Успешной учебы! Будем рады вам помочь!
Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.
Рассматривать будем на таком примере:
Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:
Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:
Что и требовалось доказать.
Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .
Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.
Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:
, ,
,
,
В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.
Решим квадратное уравнение .
Первым шагом определим дискриминант уравнения:
В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:
Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:
– сопряженные комплексные корни
Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:
,
Теперь можно решить любое квадратное уравнение!
У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.
В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .
У уравнения типа есть ровно n корней z0, z1, z2, … zn-1, которые можно вычислить с помощью формулы:
,
где – это модуль комплексного числа w,
φ – его аргумент,
а параметр k принимает значения: .
Найдем корни уравнения: .
Перепишем уравнение как: .
В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z0 и z1. Детализируем общую формулу:
, .
Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :
Число w находится в 1-ой четверти, значит:
Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.
Детализируем еще немного общую формулу:
, .
Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.
Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:
.
Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:
.
Ответ: ,
Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.
Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:
Как выполнить чертеж?
Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.
Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:
.
Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z0.
Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z1.
По этому же алгоритму ставим точку z2.
Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.
http://spravochnick.ru/matematika/kompleksnye_chisla_i_mnogochleny/kvadratnoe_uravnenie_s_kompleksnymi_kornyami/
http://www.calc.ru/Chisla-Izvlecheniye-Korney-Iz-Kompleksnykh-Chisel-Kvadratnoy.html