Неполные квадратные уравнения
Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида
в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:
ax 2 + bx = 0, | если c = 0; |
ax 2 + c = 0, | если b = 0; |
ax 2 = 0, | если b = 0 и c = 0. |
Решение неполных квадратных уравнений
Чтобы решить уравнение вида ax 2 + bx = 0 , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:
Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:
Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы
x = — | b | . |
a |
Следовательно, уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:
x1 = 0 и x2 = — | b | . |
a |
Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.
Пример 1. Решите уравнение:
a 2 — 12a = 0 | |
a(a — 12) = 0 | |
a1 = 0 | a — 12 = 0 |
a2 = 12 |
Пример 2. Решите уравнение:
7x 2 = x | |
7x 2 — x = 0 | |
x(7x — 1) = 0 |
x1 = 0 | 7x — 1 = 0 | ||
7x = 1 | |||
|
Чтобы решить уравнение вида ax 2 + c = 0 , надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:
ax 2 = —c, следовательно, x 2 = — | c | . |
a |
В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.
Если данное неполное уравнение будет иметь вид x 2 — c = 0 , то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:
В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.
Пример 1. Решите уравнение:
24 = 2y 2 | |
24 — 2y 2 = 0 | |
-2y 2 = -24 | |
y 2 = 12 | |
y1 = +√ 12 | y2 = -√ 12 |
Пример 2. Решите уравнение:
b 2 — 16 = 0 | |
b 2 = 16 | |
b1 = 4 | b2 = -4 |
Уравнение вида ax 2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax 2 = 0 следует, что x 2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.
Неполные квадратные уравнения
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.
Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D 0, есть два различных корня.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравненийКак мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль). Как решить уравнение ax² = 0Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0. Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.
Пример 1. Решить −5x² = 0.
Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса! Как решить уравнение ax² + с = 0Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. В двух словахНеполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:
Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.
Разделим обе части на 9: Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней. Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.
Разделим обе части на -1: Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3. Как решить уравнение ax² + bx = 0Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника. Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0
Ответ: х = 0 и х = 16. Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0 Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни: Формула нахождения корней неполного квадратного уравненияВ алгебре при решении задач возникает необходимость найти корни неполного квадратного уравнения, формулы которых требуется выводить. Этот процесс занимает время. Математики позаботились об оптимизации вычислений и предлагают специальные методики для расчетов. Однако перед их использованием нужно изучить теорию. Общие сведенияУравнением квадратного вида (квадратичной функцией) называется выражение, состоящее из неизвестных (переменных) и известных (констант) величин, основным условием которого является наличие второй степени при неизвестном значении. Математическая запись имеет такой вид: Mt^2+Nt+C=0, где М, N и С — некоторые константы. Корнем квадратичного тождества называются такие значения переменных, которые обращают его в истинное равенство. Иными словами, при подстановке величин, полученных при его решении, правая часть равенства эквивалентна левой. Для правильного применения алгоритма поиска корней нужно знать классификацию квадратичных функций с переменными. Классификация квадратных уравненийМатематики классифицируют квадратичные многочлены с переменными на два вида. К ним относятся следующие:
Первая группа включает все три константы (М, N и С). Вторая группа делится на три типа:
В первом случае уравнение записывается в таком виде: Mt^2+Nt+C=0. Если коэффициент N отсутствует, то запись видоизменится таким образом: Mt^2+С=0. При этом достаточно сократить обе части на константу перед переменной, возведенной во вторую степень. Когда отсутствует постоянный коэффициент «С», то выражение записывается в такой форме: Mt^2+Nt=0. Для решения достаточно разложить его на множители, что приведет к понижению степени. Однако наиболее интересный случай — наличие только компонента «Mt^2». Этот тип решается очень просто, поскольку переменная всегда равна нулевому значению. Хотя в некоторых заданиях она имеет сложную структуру, то есть M(t+1)^2. Пример сводится к полному квадратному уравнению и решается стандартным способом. Далее необходимо разобрать основные методики решения полных и неполных квадратичных функций. Полные типыВ случаях когда квадратичная функция содержит все элементы (Mt^2+Nt+C=0), к ней можно применить три методики нахождения корней. К ним относятся следующие:
Далее требуется разобрать каждый из случаев подробно, а также ознакомиться с методикой решения тождества квадратичной формы с переменными.
Соотношения для определения корнейФормулы позволяют решать полные квадратные уравнения, используя новую величину, которая называется дискриминантом. Она обозначается латинской литерой «D» и раcчитывается по следующей формуле: D=(-N)^2-4МС. Следует отметить, что при подсчете возможны такие варианты значений D:
В последнем случае корни необходимо находить по двум формулам: t1=[-N-(D)^0.5]/(2M) и t1=[-N+(D)^0.5]/(2M). Алгоритм решения имеет следующий вид:
Теорема ВиетаКоэффициент при старшей степени может быть равен единице, то есть t^2+Nt+C=0. В этом случае необязательно определять величину D, высчитывая ее по формулам. Существует способ намного проще. Он основан на определении корней при помощи теоремы Виета, которая имеет два положения (условия):
Алгоритм решения уравнения квадратичной формы существенно упрощается. Он имеет следующий вид:
Разложение на множителиМетодика разложения квадратичной функции на простые множители применяется не только при нахождении корней, но и во многих задачах. Суть ее состоит в использовании формул сокращенного умножения для понижения степенного показателя при переменной. Соотношения разложения на множители, необходимые для решения квадратных уравнений, имеют такой вид:
Для подробной иллюстрации первого соотношения нужно разобрать пример выражения: t^2+2t+1=0. Для выделения квадрата необходимо в левой части прибавить и отнять единицу, то есть t^2+2t+1+(1-1)=0. Следует отметить, что равенство не поменяется, поскольку 1-1=0. Результат имеет такой вид: (t+1)^2-1=0. Последнее соотношение — формула разности, то есть (t+1-1)(t+1+1)=0. Неполные квадратичные функцииКвадратичные функции неполного вида с неизвестными встречаются в физико-математических дисциплинах достаточно часто. Вычислить значения их корней можно двумя способами:
В основном используется первый метод при решении уравнений, поскольку второй добавляет больше вычислений. При использовании дискриминанта нужно дополнительно его рассчитывать, а затем подставлять в соответствующие соотношения. Однако необходимо знать о двух способах решения, а также уметь их применять на практике. Вынесение компонентов
Методика разложения на множители, позволяющая решать неполные квадратные уравнения, простая и эффективная. Она выполняется по двум направлениям, которые зависят от самих коэффициентов. В первом случае необходимо рассмотреть тождество «Mt^2+С=0». Алгоритм нахождения его корней имеет следующий вид:
Решить квадратное уравнение без «С» (Mt^2+Nt=0) также просто, поскольку в этом случае необходимо воспользоваться определенной методикой. Она имеет такой вид:
Далее нужно разобрать нахождение корней уравнения 2t^2-2t=0 при помощи описанной методики. Ее практическая реализация имеет такой вид:
Вычисление дискриминантаРешение неполного уравнения квадратичной формы через дискриминант осуществляется таким же образом, как и с полным. В формулу подставляются значения коэффициентов и рассчитывается величина «D». Затем вычисляются корни равенства. Однако существует небольшая поправка для тождества такого типа: t1=(-N-(D)^0.5)/М и t2=(-N+(D)^0.5)/М. Алгоритм для примера «t^2-9=0» выглядит таким образом:
Существуют различные вариации тождеств, но вся методика сводится к подстановочным операциям в соответствующие формулы через дискриминант. Таким образом, неполные квадратные уравнения решаются двумя способами, но оптимальный из них — разложение на множители для понижения степени при неизвестной. источники: http://skysmart.ru/articles/mathematic/nepolnye-kvadratnye-uravneniya http://na5.club/matematika/formula-nahozhdeniya-kornej-nepolnogo-kvadratnogo-uravneniya.html |