Как найти корень уравнения за 11 класс

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

Нужно остановиться на этом моменте подробно. Другими словами, мы +2 перенесли с левой части на правую и знак поменяли стало число -2.

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

Другими словами, мы -4 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +4. При переносе через равно знаки меняются на противоположные.

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Решение:
Чтобы решить уравнение необходимо неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. То есть переменные с x будут в левой части, а числа в правой части.
Сначала перенесем 2x с правой стороны в левую сторону уравнения и получим -2x.

4+3x= 2x -5
4+3x -2x =-5

Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -4
4 +3x-2x=-5
3x-2x=-5 -4

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Сделаем проверку, правильно ли решено уравнение? Для этого вместо переменной x в уравнение подставим -9.
4+3x=2x-5
4+3⋅ (-9) =2⋅ (-9) -5
4-27=-18-5
-23=-23

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅ 4 =20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте перед переменной x убрать из знаменателя 5.

Далее делим все уравнение на 3.

3x :3 =45 :3
(3:3)x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Задание №1. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №1 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Условие при этом выполняется.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

8. Решите уравнение

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Урок алгебры в 11-м классе по теме «Методы решения иррациональных уравнений»

Разделы: Математика

Цели и задачи урока:

Развивающие: Активизация мыслительной деятельности учащихся. Развитие познавательной активности и интереса к предмета.

Воспитательные: Развитие культуры математической речи при ответах на вопросы и при объяснении решения уравнений; зрительной памяти; внимательности и самостоятельности; творческого отношения к выполнению заданий.

Тип урока: Комбинированный.

Формы методы и педагогические приемы: Фронтальная беседа, комментирование решений, устная проверочная работа, создание проблемных ситуаций, дифференцированная самостоятельная работа, подготовка и защита плакатов с методами решения иррациональных уравнений, работа с учебником.

Оборудование: Магнитная доска, откидные доски, тетради, чистые листы, раздаточный материал (карточки с вариантами самостоятельной работ), плакаты с решениями иррациональных уравнений методом возведения в степень и замена переменных.

1. Организационный момент.
2. Работа с учебником, и устный опрос в форме фронтальной беседы.
3. Защита плакатов.
4. Устная проверочная работа.
5. Решение уравнений.
6. Самостоятельная работа.
7. Итоги урока.
8. Домашнее задание.

Работа с учебником: Учитель предлагает еще раз вспомнить понятие иррационального уравнения, примеры их решения (образцы в тексте), какими методами решали уравнения, какими понятиями при этом пользовались.

Устный опрос в форме фронтальной беседы с целью проверки теоретических знаний:

Что такое уравнение? [Уравнение – это равенство двух алгебраических выражений].
Что называется корнем уравнения? [Корнем уравнения называется, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство].
Что значит решить уравнение? [Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней].
Какие уравнения называются равносильными? [Два уравнения равносильны на множестве, если они имеют одни и те же корни из этого множества или не имеют корней на данном множестве].
Какие уравнения называют иррациональными уравнениями? [Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называют иррациональными уравнениями].
Каковы методы решения иррациональных уравнений? [Часто используемый прием решения иррациональных уравнений – это возведение в степень (чаще всего возведение в квадрат). Другой метод – это метод замены переменных].

№1 Метод возведения в степень.

Решить уравнение

Решение: I способ : Возведем обе части уравнения в квадрат.

Проверка: 1) х=0, то (неверно);

2) х=3, то (верно)

№2 Метод замены переменных.

Решить уравнение

Решение: Пусть t=

Значит, 2=

Ответ: 6

Плакаты ученики делали дома на ватмане. Прикрепив плакат на магнитной доске учащиеся поочередно защищают свой метод решения иррациональных уравнений.

Учащиеся задают вопросы докладчикам.

Почему при решении уравнения на плакате №1 в 1 способе поставлен всюду знак

(следствия), и в другом способе знак (равносильности)?[ Уравнение х 2 +5х+1=(2х-1) 2 имеет 2 корня – х₂=0, х₂=3, а уравнение имеет только один корень х=3, следовательно уравнения не равносильны и каждая следующая запись является следствием предыдущей в первом способе решения.

Во втором способе решения областью определения уравнения является множество чисел х0,5, а число х=3 принадлежит этому множеству, значит все переходы, равносильны.

2. Почему при решение уравнения не делали проверку корня?

[ Так как все переходы при решении уравнения равносильны, то проверка корня не требуется].

Устная проверочная работа: На откидной доске учителем заранее записаны задания

1. Является ли уравнение:

иррациональным?

2. Какие из чисел 5; 0;-3 являются корнями уравнений?

а) [x=0]

б) [x=5]

3. Решите уравнения

1) [x=83]

2) [x=±5]

3) [O]

4) [x=±3]

5) х-6 [x=9]

6) [x=5]

7) lg([-12)=0, [O]Ответы и комментарии:

Нет, потому что в нем переменная х не содержится под знаком корня или дробной степени.

Каждое из чисел надо подставить вместо переменной х в каждое из уравнений. Если равенство будет равным, то число является решением уравнения, если равенство неверно, то число является решением иррационального уравнения.

Возведем обе части уравнения в квадрате

х-2=81х=83 и выполним проверку (верно).

х 2 =25х=±5

Уравнение решений не имеет, т.к. корень четной степени не может быть отрицательным числом.

Возведем обе части уравнения в третью степень 1-х 2 =-8; х 2 =9; х=±3.

Корень уравнения легко найти подбором, это число 9, т.к. 9-6+9=0.

Возведем обе части уравнения в квадрат и решим показательное уравнение

Если то х=11, тогда lg(-1), чего быть не может, т.к. логарифмы отрицательных чисел не определены.

Решение иррациональных уравнений на доске и в тетрадях.

На доске заранее учителем записаны следующие уравнения:

1. ;

4. ;

Решение: Обе части уравнения возведем в квадрат и учтем область определения уравнения, при этом будем использовать знак .

Вопрос учителя: Почему область определения уравнения записана не равенством х>11, а не х11? [При х=11 знаменателем дроби равен 0, а на 0 делить нельзя].

Решение: Так как под знаком записаны одинаковые выражения, то удобно применить метод замены.

Пусть тогда Решая квадратное уравнение относительно переменной Z, получим Z₁=5; Z₂=-2. Учитывая область определения уравнения х 2 +5х+1>0, заметим, что при Z=5 25+25+1>0 (да), а при Z=-2 4-10+1>0 (неверно), то Z₂=-2 посторонний корень. Вернемся к переменной х,

х₁=3; х₂=-8.

Проверка: х=3, (верно)

х=-8, (верно)

Решение: Решим уравнение методом замены переменных.

Пусть тогда Чтобы составить вопрос уравнения с переменными и , возведем обе части уравнений в квадрат 3х+1=u 2 и 3х-6= 2 , заметим, что 3х+1-3х+6=7, т.е. u 2 — 2 =7. Получили систему уравнений относительно переменных u и , решаем ее:

Возвращаемся к переменной х.

; (или )

3х+1=163х=15х=5

(3х-6=93х=15х=5)

Проверка:

Комментарий учителя: некоторые учащиеся выбрали другой способ решения – возведения в квадрат, но он приводит к громоздким вычислениям, поэтому метод замены в данном уравнении более удачный.

Решение: Уединим в левой части уравнения и возведем обе части уравнения в квадрат.

Д=19 2 -4*84=25; х₁= х₂= 7.

х=12, (неверно)

х=7, (верно)

х=12 – посторонний корень

Решение: Будем использовать метод возведения обеих частей уравнения в нечетную третью степень, при котором посторонние корни не появляются.

Решение: Обе части уравнения возведем в квадрат и запишем область определения данного уравнения.

На данном этапе урока наблюдалась ошибка при возведении двучлена в квадрат. Например: (х-7) 2 =х 2 -49, а надо (х-7) 2 =х 2 -14х+49. При выборе метода решения в уравнении №4 многие предпочитают метод возведения в квадрат, что не рационально.

Каждый учащийся получает карточку с одним из трех вариантов. Первый вариант для слабоуспевающих учеников, второй и третий для более успешных учащихся.

Решите уравнения: а)