Характеристический многочлен онлайн
Характеристический полином матрицы A , вычисляется следующим образом:
| A − λ E |
где E — единичная матрица, размеры которой совпадают с размерами исходной матрицы A .
Разберем подробнее приведенную выше формулу. Если матрица A задана в виде:
тогда выражение A − λ E имеет вид:
Наконец, нам нужно найти определитель:
Раскрыв этот определитель, мы получим полином n -ой степени ( n — порядок исходной матрицы), зависящий от λ :
P   ( λ ) = c n λ   n + c n − 1 λ   n − 1 + . + c i λ   i + . + c 1 λ   + c 0
Поскольку для вычисления характеристического полинома, требуется нахождение определителя матрицы, то характеристический полином может быть найден только для квадратной матрицы.
Наш онлайн калькулятор находит характеристический полином матрицы, причем в качестве элементов матрицы, можно вводить не только числа и дроби, но и параметры.
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Характеристический полином, собственные числа, собственные векторы матрицы
В настоящем разделе $ n_<> $ означает порядок квадратной матрицы $ A_<> $.
Характеристический полином
определяется для произвольной квадратной матрицы $ A_<> $ как 1) $ \det (A_<>-\lambda E) $, где $ E_<> $ – единичная матрица одинакового с $ A_<> $ порядка.
Пример. Для $ n=2_<> $:
Теорема 1.
Пример. Характеристический полином матрицы Фробениуса
$$ \mathfrak F= \left( \begin
Характеристический полином линейного оператора
определяется как характеристический полином матрицы этого оператора в произвольном базисе линейного пространства, в котором этот оператор задан. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.
Характеристический полином линейного однородного разностного уравнения
$ n_<> $-го порядка $$ x_
Свойства
Теорема 2. Характеристический полином матрицы не меняется
1. при ее транспонировании: $$ \det (A-\lambda E) = \det (A^<\top>-\lambda E_<>) \, ;$$ 2. при переходе к подобной матрице: если $ B=C^<-1>AC^<> $ при произвольной неособенной матрице $ C_<> $, то $$ \det (A-\lambda E) \equiv \det (B-\lambda E_<>) \, . $$
Теорема 3. Пусть матрица $ A_<> $ имеет порядок $ m\times n_<> $, а $ B_<> $ — порядок $ n\times m_<> $. Тогда эти матрицы допускают умножение в любом порядке, т.е. определены $ AB_<> $ и $ BA_<> $ и оба произведения будут квадратными матрицами — порядков $ m_<> $ и $ n_<> $ соответственно. Тогда характеристические полиномы этих произведений различаются лишь на степень $ \lambda_<> $:
$$ \lambda^n \det (AB — \lambda E_
Если матрицы $ A_<> $ и $ B_<> $ — квадратные одинакового порядка, то характеристические полиномы матриц $ AB_<> $ и $ BA_<> $ тождественны.
Теорема 4. Если характеристический полином матрицы $ A_<> $ равен
$$ f(\lambda)=(-1)^n \lambda^n+a_1\lambda^
Теорема Гамильтона-Кэли
Теорема 5. Результатом подстановки в характеристический полином $ \det (A_<>-\lambda E) $ самой матрицы $ A_<> $ будет нулевая матрица:
$$ \det (A-\lambda E)= (-1)^n \lambda^n +a_1 \lambda^
матрица является корнем своего характеристического полинома.
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Пример. Для $ n_<>=2 $:
$$ \left(\begin
Собственное число
определяется для квадратной матрицы $ A_<> $ как произвольный корень ее характеристического полинома $ \det (A_<>-\lambda E) $. Набор всех собственных чисел матрицы $ A_<> $ (с учетом их кратностей) называется спектром матрицы (таким образом спектр матрицы $ A_<> $ порядка $ n_<> $ всегда состоит из $ n_<> $ чисел, часть из которых могут быть одинаковыми). Максимальный из модулей собственных чисел матрицы $ A_<> $ называется ее спектральным радиусом, он иногда обозначается $ \rho(A) $.
Пример. Найти спектр матрицы
$$ A= \left(\begin
Ответ. Спектр матрицы $ A_<> $: $ \ <0,0, <\mathbf i>\sqrt<83>,- <\mathbf i>\sqrt <83>\> $. Спектральный радиус матрицы $ A_<> $: $ \rho(A)= \sqrt <83>$.
Теорема 6. Если $ \<\lambda_<1>,\lambda_<2>,\dots,\lambda_
$$ \lambda_1+\lambda_<2>+\dots+\lambda_n = \operatorname
Доказательство следует из представления характеристического полинома через миноры матрицы и формул Виета. ♦
Для того, чтобы матрица $ A_<> $ была неособенной необходимо и достаточно, чтобы среди ее собственных чисел не было нулевого.
Теорема 7. Пусть $ g(x)=b_<0>x^m+\dots+b_m \in <\mathbb C>[x] $ — произвольный полином. Вычислим полином от матрицы $ A_<> $:
$$ g(A)=b_<0>A^m+\dots+b_m E \, . $$ Тогда если $ \<\lambda_<1>,\dots,\lambda_
Результат теоремы обобщается и на более широкий класс функций $ g_<>(x) $ — фактически на любую функцию, которая, вместе со своими производными, может быть определена на спектре матрицы $ A_<> $. В частности, если $ \det A_<> \ne 0 $, то спектр матрицы $ A^<-1>_<> $ совпадает с $ \<1/\lambda_j\>_
Имеет место следующее равенство, связывающее степени матрицы $ A_<> $ с суммами Ньютона ее характеристического полинома:
$$ \operatorname
Имеет место следующее равенство:
$$ \det g(A) = (-1)^
Теорема 8. Собственные числа вещественной симметричной матрицы $ A_<> $ все вещественны.
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Теорема 9. Собственные числа вещественной кососимметричной матрицы $ A_<> $ все мнимы, за исключением, возможно, $ \lambda_<> = 0 $.
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Теорема 10. Собственные числа вещественной ортогональной матрицы все равны $ 1_<> $ по абсолютной величине (модулю). Характеристический полином ортогональной матрицы является возвратным если $ +1 $ не является его корнем или является корнем четной кратности. Хотя бы одно собственное число ортогональной матрицы нечетного порядка равно $ +1 $ или $ (-1) $.
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Теорема 11. Спектр циклической матрицы
$$ \left(\begin
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Локализация собственных чисел
Теорема 12. [1]. Собственные числа матрицы являются непрерывными функциями ее элементов. Иначе: пусть
$$A=\left[a_
Собственно факт непрерывной зависимости собственных чисел от элементов матрицы следует из представления характеристического полинома из теоремы ☞ ПУНКТА — коэффициенты этого полинома полиномиально (и, следовательно, непрерывно) зависят от элементов матрицы. Далее используем теорему о непрерывной зависимости корней полинома от его коэффициентов.
Выясним теперь на примере, насколько малым может быть возмущение элементов матрицы чтобы сохранились хотя бы количество вещественных корней ее характеристического полинома.
Пример [Уилкинсон] [2]. Найти собственные числа матрицы
$$ A= \left( \begin
Решение. Характеристический полином $$ \det(A-\lambda E) = \prod_
Теорема 13 [Гершгорин]. 4) Обозначим $ \mathbb D_
$$ r_j=\sum_<\ell=1 \atop \ell\ne j>^n \left|a_
Согласно этой теореме, главные миноры матрицы $ A-\lambda\, E $ играют роль системы полиномов Штурма для характеристического полинома симметричной матрицы $ A_<> $.
Если все главные миноры $ A_1,A_2,\dots,A_
$$ \operatorname
Пример. Найти собственные векторы матрицы
Решение. Спектр матрицы найден выше. $$(A-0 \cdot E)X=\mathbb O \quad \Longrightarrow \ \mbox< ФСР>= \ \left\< <\mathfrak X>_1=\left(\begin
Еще один способ нахождения собственного вектора основан на теореме Гамильтона-Кэли.
Теорема 15. Пусть $ \lambda_<\ast>^<> $ — собственное число матрицы $ A_<> $. Обозначим частное от деления характеристического полинома на линейный множитель $ \lambda_<> — \lambda_ <\ast>$ через $ f_<\ast>(\lambda)^<> $:
$$ f_<\ast>(\lambda) \equiv f(\lambda) / (\lambda-\lambda_<\ast>) \ . $$ Тогда любой ненулевой столбец матрицы $ f_<\ast>(A)^<> $ является собственным вектором, принадлежащим $ \lambda_<\ast>^<> $.
Доказательство следует из равенства $$(A-\lambda_ <\ast>E)f_<\ast>(A)=\mathbb O_
Пример. Найти собственные векторы матрицы
$$ A=\left( \begin
Решение. $$ \det (A-\lambda E)=-\lambda^3+ 7\, \lambda + 6 \equiv -(\lambda_<>-3) (\lambda+2)(\lambda+1) \, .$$ Пренебрегая знаком – , имеем: $$ \begin
Если $ \lambda_<\ast>^<> $ является простым корнем характеристического полинома 5) , то ненулевые столбцы $ f_<\ast>(A)^<> $ будут пропорциональными. Или, что то же, $ \operatorname
Тогда очевидно, что и строки матрицы $ f_<\ast>(A)^<> $ тоже должны быть пропорциональны!
Доказать, что любая ненулевая строка матрицы $ f_<\ast>(A)^<> $ является собственным вектором матрицы $ A^<^<\top>>_<> $, принадлежащим $ \lambda_<\ast>^<> $. Доказать, что собственный вектор матрицы $ A_<> $ ортогонален собственному вектору матрицы $ A^<\top>_<> $, если эти векторы принадлежат различным собственным числам 6) .
На практике вычисление полинома $ f_<\ast>(\lambda)^<> $ может быть осуществлено с помощью схемы Хорнера.
Пример. Вычислить собственный вектор матрицы
$$ A=\left( \begin
Решение. Характеристический полином $$ f(\lambda)= -\lambda^3+184\,\lambda^2-14751\,\lambda+611404 $$ имеет единственное вещественное собственное число $ \lambda_ <\ast>\approx 96.8817 $. Составляем схему Хорнера $$ \begin
Можно развить последний метод далее: найти универсальную формулу для собственного вектора как функции ее собственного числа. Действительно, найдем частное от деления характеристического полинома $$ f(\lambda) =a_0\lambda^n+a_0\lambda^
Пример. Найти представление всех собственных векторов матрицы
$$ A=\left( \begin
Решение. Характеристический полином матрицы был вычислен выше: $ f(\lambda)=-\lambda^3+ 7\, \lambda + 6 $. Имеем, $$ q(\lambda)=-\lambda^2-\lambda_<\ast>\lambda+(7-\lambda_<\ast>^2) $$ и $$ q(A)=-A^2-\lambda_<\ast>A+(7-\lambda_<\ast>^2)E= \left(\begin
Теорема 16. Пусть $ g(x)=b_0x^m+\dots+b_
Доказательство. Домножим равенство $ A<\mathfrak X>_<\ast>=\lambda_<\ast>^<><\mathfrak X>_ <\ast>$ слева на матрицу $ A_<> $: $$ A^2<\mathfrak X>_<\ast>=\lambda_<\ast>A<\mathfrak X>_<\ast>=\lambda_<\ast>^2<\mathfrak X>_ <\ast>.$$ По индукции доказывается и общее равенство: $$ A^k<\mathfrak X>_<\ast>=\lambda_<\ast>^k<\mathfrak X>_ <\ast>.$$ Домножим его на $ b_
Если матрица $ A $ невырождена, то теорема остается справедливой и для произвольного полинома от $ A^ <-1>$. В частности, собственные векторы $ A^ <-1>$ совпадают с собственными векторами матрицы $ A $.
Теорема 17. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам матрицы $ A_<> $, линейно независимы.
Теорема 18. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам вещественной симметричной матрицы $ A_<> $, ортогональны, т.е. если $ \mathfrak X_1 $ принадлежит собственному числу $ \lambda_ <1>$, а $ \mathfrak X_2 $ принадлежит собственному числу $ \lambda_ <2>$ и $ \lambda_1 \ne \lambda_2 $, то
$$ \langle \mathfrak X_1, \mathfrak X_2 \rangle =0 \ , $$ где $ \langle \ ,\ \rangle $ означает скалярное произведение, определяемое стандартным образом: $ \langle X,Y \rangle =x_1y_1+\dots+x_ny_n $.
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Теорема Перрона-Фробениуса
Теорема 19 [Перрон, Фробениус]. Для положительной матрицы $ A_<> $ существует положительное собственное число $ \lambda_ <+>$ такое, что все остальные собственные числа этой матрицы меньше $ \lambda_ <+>$ по абсолютной величине (модулю). Соответствующий этому собственному числу собственный вектор может быть выбран положительным:
$$ \exists \mathfrak X_ <+>> \mathbb O: \quad A \mathfrak X_ <+>= \lambda_ <+>\mathfrak X_ <+>\ . $$
Число $ \lambda_ <+>$ из теоремы называется собственным числом Перрона или собственным числом Перрона-Фробениуса матрицы $ A_<> $, а соответствующий ему произвольный положительный собственный вектор — собственным вектором Перрона-Фробениуса матрицы $ A_<> $.
Спектральный радиус положительной матрицы $ A_<> $ совпадает с ее собственным числом Перрона-Фробениуса:
Пример. Найти собственное число и вектор Перрона-Фробениуса для матрицы
$$ A= \left(\begin
Решение. Характеристический полином матрицы $ A_<> $ $$ \det(A-\lambda E)=\lambda^4-19\, \lambda^3-175\, \lambda^2-285\, \lambda+10390 $$ имеет корнями $$ \lambda_ <1,2>\approx -6.260463 \pm 5.452465 \mathbf i,\ \lambda_3 \approx 5.878976, \lambda_4 \approx 25.641950 \ . $$ Числом Перрона-Фробениуса является $ \lambda_4 $, а соответствующий ему собственный вектор Перрона-Фробениуса можно взять равным $$ \left( \begin
1. Собственное число Перрона-Фробениуса всегда простое для характеристического полинома матрицы $ A_<> $. Отсюда следует, что собственный вектор Перрона-Фробениуса определяется единственным образом — с точностью до домножения на положительный скаляр.
2. Любой собственный вектор положительной матрицы $ A_<> $, не соответствующий собственному числу Перрона-Фробениуса, не может состоять исключительно только из положительных элементов. Иными словами, хотя бы одна компонента такого вектора должна быть либо отрицательной либо мнимой.
3. Для собственного числа Перрона-Фробениуса справедливо неравенство $$ \min_
4. Собственное число Перрона-Фробениуса матрицы $ A_<> $ совпадает с собственным числом Перрона-Фробениуса матрицы $ A^ <\top>$.
Какие из перечисленных свойств можно распространить на случай неотрицательных матриц ? Каждую такую матрицу можно рассматривать как предел последовательности (строго) положительных матриц. Воспользовавшись теоремой о непрерывной зависимости собственных чисел матрицы от ее элементов, можем сделать вывод, о том, что для неотрицательной матрицы $ A_<> $ всегда найдется вещественное неотрицательное собственное число, которое будет являться максимальным по модулю среди всех собственных чисел матрицы. Другое дело, что в данном случае — в отличие от случая положительных матриц — такое мажорирующее собственное число может оказаться не единственным.
Пример. Спектр неотрицательной матрицы
$$ A=\left( \begin
Однако, по-прежнему, хотя бы одно неотрицательное вещественное число $ \lambda_ <+>$ со свойством $ \rho(A) = \lambda_ <+>$ существовать будет; более того, ему будет соответствовать неотрицательный собственный вектор $ \mathfrak X \ge \mathbb O $. Это число (вектор) по-прежнему называются числом (вектором) Перрона-Фробениуса 7) матрицы $ A_<> $.
Частным случаем неотрицательных матриц являются стохастические матрицы, т.е. неотрицательные матрицы, в которых сумма элементов каждой строки равна $ 1_<> $: $$ P=\left[p_
Теорема 20. Собственное число Перрона-Фробениуса стохастической матрицы равно $ 1_<> $. Этому собственному числу соответствует собственный вектор $ X=[1,1,\dots,1]^ <\top>$.
Доказательство существования собственного числа равного $ 1_<> $ и соответствующего ему собственного вектора $ X=[1,1,\dots,1]^ <\top>$ следует из равенства $$ P \left( \begin
Методы вычисления характеристического полинома
Вычисление коэффициентов характеристического полинома матрицы $ A_<> $ непосредственным разложением определителя $ \det (A-\lambda_<> E) $ на $ n!_<> $ слагаемых — крайне неэффективно. Элементами этого разложения являются выражения, полиномиально зависящие от параметра $ \lambda_<> $. На каждом этапе вычислений мы получаем проблему символьных вычислений: хранения таких полиномов и действий над ними.
Основной метод вычисления числовых определителей — метод Гаусса — также неэффективен в приложении к вычислению определителя, элементы которого зависят от параметра. Источником вычислительных проблем является неудобное расположение переменной $ \lambda_<> $ — на главной диагонали матрицы. Первый же шаг метода Гаусса приводит к делению на элемент $ a_ <11>— \lambda $, и, в дальнейшем, элементы преобразованной матрицы будут уже не полиномами, а рациональными функциями относительно $ \lambda_<> $. Следующие шаги метода приводят к возрастанию степеней знаменателей. Необходимость в организации хранения рациональных функций и программировании действий с ними кажется тем более неоправданной, если вспомнить, что окончательный ответ — выражение для $ \det (A-\lambda_<> E) $ — должно быть полиномом по $ \lambda_<> $; т.е. знаменатели дробей в конечном ответе сократятся.
А в качестве усугубляющего положение обстоятельства «на заднем плане» маячит проблема точности вычислений коэффициентов характеристического полинома — чувствительность его корней к возмущению его коэффициентов бывает весьма высокой.
Какой выход предлагается? — Предварительно преобразовать определитель $ \det (A-\lambda_<> E) $ к виду, когда переменная $ \lambda_<> $ оказывается «выметенной» с диагонали на крайний ряд (в столбец или в строку). При этом допускается увеличение размеров (порядка) определителя. Такое представление дает возможность разложения определителя по этому исключительному ряду, и, тем самым, позволяет свести задачу к вычислению числовых определителей — а уж для этой задачи применение метода Гаусса вполне эффективно.
Метод Леверье
Метод основан на формуле (см. следствие к теореме $ 7 $ ☞ ЗДЕСЬ ): $$ \operatorname
Пример [Леверье]. Найти характеристический полином матрицы
$$ A=\left(\begin
Решение. $$ A^2=\left(\begin
После нахождения коэффициентов характеристического полинома можно найти его корни каким-либо 8) методом. Если $ \lambda_<\ast>^<> $ — одно из собственных чисел, то для нахождения соответствующего собственного вектора воспользуемся алгоритмом из ☞ ПУНКТА. Предположив дополнительно, что это собственное число простое 9) , обозначим $$ f_<\ast>(\lambda)= f(\lambda)/(\lambda-\lambda_<\ast>)=(-1)^n(\lambda^
Степени матрицы $ A_<> $ уже нами посчитаны при вычислении коэффициентов характеристического полинома.
Пример. Для приведенного выше примера находим собственные числа:
$$ \lambda_1=-17.86326,\ \lambda_2=-17.15242,\ \lambda_3=-7.57404,\ \lambda_4= -5.29869 \ . $$ Коэффициенты $ f_1(\lambda) $ можно определить по схеме Хорнера: $$ \begin
Теорема 21. Характеристический полином явно выражается через суммы Ньютона с помощью следующего представления:
$$ f(\lambda)=\frac<1>
Биографические заметки о Леверье ☞ ЗДЕСЬ.
Метод Крылова
Рассмотрим произвольный ненулевой столбец $ Y_0=\left[ y_<1>^<[0]>,\dots,y_
Теорема 22. Определитель
$$ \det \left[\begin
Доказательство. Легко видеть, что $$ Y_K=A^KY_0 \quad npu \quad K \in \ <1,\dots,n\>\ . $$ Если $$ f(\lambda)=\det(A-\lambda E) =(-1)^n \lambda^n+a_1 \lambda^
Пример. Найти характеристический полином матрицы примера Леверье
$$ A=\left(\begin
Решение. Возьмем $ Y_0=\left[ 1,0,0,0 \right]^ <\top>$. Имеем $$ \begin
После нахождения характеристического полинома можно найти его корни каким-либо 10) методом. Пусть $ \lambda_<\ast>^<> $ — одно из собственных чисел, и оно — простое; тогда для нахождения соответствующего собственного вектора можно воспользоваться тем же приемом, что был задействован в предыдущем ПУНКТЕ. Вычислим 11) частное от деления $ f(\lambda_<>) $ на $ \lambda-\lambda_ <\ast>$ $$ f_<\ast>(\lambda)= f(\lambda)/(\lambda-\lambda_<\ast>)=(-1)^n(\lambda^
Теперь обсудим исключительные случаи. При неудачном выборе $ Y_ <0>$ определитель $$ \det \left[\begin
Пример. Найти характеристический полином матрицы
Решение. При любом выборе $ Y_0 $ векторы $ \
Такая ситуация возможна только в случае, когда характеристический полином матрицы $ A_<> $ имеет кратные корни (в рассмотренном выше примере $ \lambda_<>=1 $ являлся двойным корнем $ \det (A-\lambda_<> E) $); она исключительно редко встречается на практике.
Поиск всех собственных чисел
Существуют методы нахождения спектра матрицы, не требующие предварительного построения характеристического полинома.
QR-алгоритм
Этот алгоритм основан на QR-разложении матрицы $ A $.
Теорема 23. Спектр матрицы $ A $ совпадает со спектром матрицы $ P^ <\top>A P $ при произвольной ортогональной матрице $ P $.
Доказательство. $$ \det (P^ <\top>A P-\lambda E)=\det (P^ <\top>A P- \lambda P^ <\top>E P)=\det P^ <\top>(A -\lambda E ) P = \det (A -\lambda E ) P P^ <\top>= \det (A -\lambda E ) \, . $$ ♦
Пусть QR-разложение матрицы $ A $ имеет вид $$ A=Q_1R_1 \, , $$ где $ Q_1 $ — ортогональная, а $ R_1 $ — верхнетреугольная матрицы. Тогда матрица $$ A_2=R_1Q_1 $$ имеет тот же спектр, что и матрица $ A $. Действительно, поскольку $$ A_2=Q_1^ <\top>A Q_1 , $$ то сработает предыдущая теорема. Вычислим QR-разложение матрицы $ A_2 $ $$ A_2=Q_2R_2 $$ и переставим местами матрицы этого произведения: $$ A_3=R_2Q_2 \, . $$ Матрица $$ A_3= Q_2^ <\top>A_2 Q_2=Q_2^ <\top>Q_1^ <\top>A Q_1 Q_2 $$ продолжаем иметь те же собственные числа, что и матрица $ A $. Утверждается, что бесконечная последовательность матриц $$ \
Теорема 24 [4]. Если все собственные числа матрицы $ A $ различны по модулю, то матрица $ A_ <\infty>$ является верхнетреугольной и на ее главной диагонали стоят собственные числа матрицы $ A $.
Пример. Найти все собственные числа матрицы $$ A=\left(\begin
Решение. $$ A_1=A\approx \underbrace<\left(\begin
К сожалению условие теоремы достаточно ограничительно: собственные числа вещественной матрицы $ A $ могут оказаться и мнимыми, но тогда они одинаковы по модулю.
Как это обстоятельство сказывается на структуре матрицы $ A_ <\infty>$ и дальнейшее развитие метода ☞ ЗДЕСЬ
Частичная проблема собственных чисел
Задача. Найти максимальное по модулю собственное число матрицы $ A_<> $.
Предположение . Будем считать сначала, что максимальное по модулю собственное число матрицы единственно.
Излагаемый ниже метод поиска этого собственного числа называется методом степенны́х итераций 12) .
Рассмотрим произвольный ненулевой столбец $ Y_0=\left[ y_<1>^<[0]>,\dots,y_
Теорема 25. Как правило, предел
$$ \lim_
Доказательство. Перенумеруем собственные числа $ \lambda_<1>,\dots,\lambda_n $ матрицы $ A_<> $ так, чтобы $ \lambda_ <1>$ обозначило максимальное по модулю: $$|\lambda_1|= \max_
Во втором случае — когда имеются кратные собственные числа матрицы $ A_<> $ — придется применять «тяжелую артиллерию» в виде жордановой нормальной формы; см. теорему $ 5 $ ☞ ЗДЕСЬ. Для простоты рассуждений, будем в оставшейся части доказательства считать все собственные числа матрицы различными. Имеем тогда $$ \lim_
Как правило, вектор
$$ \left[1, \lim_
Пример. Для матрицы
$$ A=\left(\begin
Решение. Возьмем в качестве стартового столбца $ Y_0=[1,0,0]^<^<\top>> $. Имеем: $$ Y_1=AY_0=\left( \begin
Теперь обсудим исключительные случаи алгоритма.
1. Нарушение сходимости итерационного процесса за счет неудачного выбора стартового вектора. Если в качестве $ Y_ <0>$ оказался случайно взят собственный вектор $ \mathfrak X_ <\ast>$ матрицы $ A_<> $, принадлежащий произвольному ее собственному числу $ \lambda_ <*>$, то предел последовательности из теоремы будет равен именно этому числу; если при этом $ |\lambda_ <*>| \ne \max_ <1\le j \le n>| \lambda_j | $, то мы выйдем за пределы смысла выражения «как правило». Понятно, что вероятность настолько плохого выбора нулевая, но и выбор $ Y_0 $ вблизи $ \mathfrak X_ <\ast>$ также может существенно замедлить скорость сходимости. Поэтому если возникает ситуация медленной «стабилизации» значащих цифр в десятичном приближении собственного числа, попробуйте сменить начальный вектор.
2. Нарушение условия предположения , выдвинутого в начале пункта: максимальное по модулю собственное число неединственно.
Пример. Найти максимальное по модулю собственное число матрицы примера Леверье
$$ A=\left(\begin
Решение. Для столбца $ Y_0=[1,0,0,0]^<^<\top>> $ имеем $$y_<1>^<[100]>/y_<1>^<[99]>=-17.8_ <\displaystyle 3113>\ ,$$ т.е. на $ 100 $-й итерации получаем лишь $ 3_<> $ истинные десятичные цифры в представлении собственного числа. При этом компонентами векторов $ Y_
К сожалению, вероятность того факта, что у случайно выбранной матрицы два ее собственных числа будут иметь одинаковый модуль становится ненулевой если эта матрица выбирается из множества вещественных матриц. Дело в том, что в этом случае ее характеристический полином будет иметь вещественные коэффициенты, а мнимые корни такого полинома всегда пáрные — для любого невещественного корня $ \lambda_<\ast>^<> $ полинома, комплексно сопряженное к нему число $ \overline<\lambda_<\ast>> $ также будет корнем. При этом $ |\lambda_<\ast>|= |\overline<\lambda_<\ast>> | $.
Пример. Для матрицы
Предположение 2 . Пусть два максимальных по модулю собственных числа матрицы разнесены по величине, например $$ |\lambda_1| > | \lambda_2 | > | \lambda_ j | \quad npu \ j \in \ <2,\dots, n \>. $$
Обобщение степенного метода основывается на использовании последовательностей из каких-то двух компонент векторов $ Y_
Теорема 26 [Эйткен]. При практически любом выборе стартового вектора $ Y_0 \ne \mathbb O $ для последовательности
Доказательство. Построим квадратное уравнение $$ p_0x^2+p_1x+p_2 = 0 $$ имеющее корнями $ \lambda_1 $ и $ \lambda_2 $. Если существует базис рпостранства $ \mathbb C^n $ $$Y_0=\alpha_1<\mathfrak X>_1+\alpha_2<\mathfrak X>_2+\dots+\alpha_n<\mathfrak X>_n \ .$$ Тогда последовательным домножением на матрицу $ A_<> $ получаем : $$\begin
При выполнении условия предположения 2 имеет место равенство
Пример. Для матрицы
$$ A=\left(\begin
Задачи
Источники
[2]. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.Наука. 1970, с.93-94
[3]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ. 1960
[4]. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.Мир.1989
Характеристический многочлен матрицы
Напомним, что характеристическим многочленом квадратной матрицы (n-го порядка) называется многочлен . Степень характеристического многочлена совпадает с порядком матрицы . Рассмотрим другие свойства характеристического многочлена.
1. Характеристический многочлен квадратной матрицы n-го по рядка может быть представлен в виде
где — корни характеристического многочлена (собственные значения матрицы ) кратности соответственно, причем и .
Действительно, указанное разложение (7.24) имеет любой многочлен степени (см. следствие основной теоремы алгебры). Старший коэффициент характеристического многочлена вычисляется, разлагая определитель .
2. Характеристический многочлен квадратной матрицы n-го по рядка может быть представлен в виде произведения инвариантных множителей характеристической матрицы
В самом деле, характеристическая матрица имеет нормальный диагональный вид (7.9): , так как . Наибольший общий делитель (старший коэффициент которого равен единице) единственного минора n-го порядка матрицы отличается от определителя только множителем , т.е. характеристический многочлен . Подставляя , получаем (7.25).
3. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.
В самом деле, пусть матрицы и подобны, т.е. существует такая матрица , что . Преобразуем характеристический многочлен матрицы по теореме 2.2 (об определителе произведения матриц) с учетом свойства 4 обратной матрицы:
что и требовалось показать.
4. Характеристический многочлен матрицы n-го порядка имеет вид
Минор k-го порядка , составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении одноименных строк и столбцов, называется главным минором. В формуле (7.26) коэффициент при равен сумме главных миноров k-го порядка, в частности, след матрицы — это сумма главных миноров 1-го порядка, определитель матрицы — это главный минор n-го порядка.
Поясним формулу (7.26). Пусть — i-й столбец матрицы , — i-й столбец единичной матрицы . В этих обозначениях запишем характеристический многочлен матрицы
Представим этот определитель в виде суммы определителей, используя его линейность по каждому столбцу. Получим
Разлагая определители, стоящие в фигурных скобках, по столбцам единичной матрицы, получаем главные миноры матрицы , например:
Таким образом, коэффициент при равен сумме главных миноров к -го порядка матрицы .
5. Подобные матрицы имеют: равные определители, равные следы, равные суммы главных миноров одного и того же порядка, совпадающие спектры.
В самом деле, подобные матрицы имеют равные характеристические многочлены (по свойству 3). У равных многочленов — одинаковые корни (т.е. спектры подобных матриц совпадают), а также равные соответствующие коэффициенты в (7.26), которые по свойству 4 выражаются через главные миноры матриц.
6. Определитель матрицы равен произведению ее собственных значений (с учетом их кратности).
Действительно, характеристический многочлен можно разложить на множители (см. следствие основной теоремы алгебры):
где — корни многочлена (быть может, совпадающие). Отсюда . С другой стороны, по определению получаем
http://vmath.ru/vf5/algebra2/charpoly
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=kharakteristicheskii-mnogochlen-matritsy