Как найти кривизну кривой заданной уравнением

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Кривизна и кручение. Натуральные уравнения кривой

Краткие теоретические сведения

Кривизна кривой

Кривизной $k$ кривой в данной точке называют модуль скорости вращения касательной по отношению к длине дуги.

Регулярная дважды дифференцируемая без особых точек кривая $\gamma$, заданная векторной функцией $\vec=\vec(t)$, имеет в каждой точке определенную кривизну, причем $$ |k(t)|=\frac<|\vec(t)\times \vec(t)|><|\vec|^3>. $$

Для кривой, заданной параметрически $$ x=x(t), \,\, y=y(t), \,\, z=z(t), $$ кривизна в точке $P(t=t_0)$ находится по формуле: $$ k^2(t_0)=\frac<\left| \begin y’ & z’ \\ y»& z» \\ \end \right|^2+\left| \begin z’ & x’ \\ z»& x» \\ \end \right|^2+\left| \begin x’ & y’ \\ x» & y» \\ \end \right|^2><\Bigl((x')^2+(y')^2+(z')^2\Bigr)^3>, $$ где все производные вычисляются при $t=t_0$.

Если кривая задана естественной параметризацией $\vec=\vec(s)$, то векторы $\vec(s)$ и $\vec(s)$ перпендикулярны, причем $|\vec(s)|=1$. Тогда выражение для кривизны принимает вид: $$ k(s)= |\vec(s)|. $$

Что вы скажете о кривой, которая в каждой свой точке имеет нулевую кривизну?

Кручение

Абсолютным кручением $\varkappa$ кривой называют скорость вращения соприкасающейся плоскости вокруг касательной. $$ |\varkappa (t)|=\frac<|(\vec(t), \vec(t), \vec(t))|><|\vec(t)\times \vec(t)|^2>. $$

В случае естественной параметризации $$ |\varkappa(s)|=\frac<|(\vec(s), \vec(s), \vec(s))|> $$

Натуральные уравнения кривой

Если кривая задана естественной параметризацией $\vec=\vec(s)$, то кривизна и кручение будут являться функциями длины дуги $$ k=k(s), \quad \varkappa=\varkappa(s). $$ Система этих двух соотношений называется натуральными уравнениями кривой.

Натуральные уравнения полностью определяют форму кривой, ибо связывают инварианты, которые не меняются при преобразовании координат (при изменении положения указанной кривой в пространстве относительно системы координат).

Решение задач

Задача 1 (Феденко №351)

Найдите кривизну кривой: $$ x=a\,\mbox^3t,\,\,y=a\,\mbox^3t. $$

Задача 2 (Феденко №380)

Найдите параболу $y=ax^2+bx+c$, имеющую с синусоидой $y=\mboxx$ в точке $A(\pi/2,1)$ общие касательную и кривизну.

Задача 3 (Феденко №405)

Составьте натуральные уравнения кривой: $$ x=a(\mbox\,t+t\,\mbox\,t), \,\, y=a(\mbox\,t-t\,\mbox\,t). $$

Краткое решение задачи 3

Натуральные уравнения: $$ k=\frac<1>,\,\,s=\frac <2>$$ или $$ k^2=\frac<1><2as>. $$

Феденко записывает ответы через радиус кривизны: $R=\frac<1>$.

Задача 4 (Феденко №486, №514)

Найдите кривизну и кручение, составьте натуральные уравнения кривой: $$ x=a\,\mboxt, \, y=a\,\mboxt, \, z=a\, t. $$

Решение задачи 4

Задачу можно решать двумя способами:

1 способ. Найти $k(t), \varkappa(t), s(t)$.

2 способ. Сначала найти выразить $t$ через $s$ и записать естественную параметризацию кривой $\vec=\vec(s)$. А далее найти $k(s)$ и $\varkappa(s)$.

В задаче №473 была та же кривая и мы получили, что $$s=a\sqrt<2>\,\mbox\,t.$$ Используя тождества для гиперболических функций, выразим $t$ через $s$ и подставим их в выражения для кривизны и кручения: \begin s=a\sqrt<2>\,\mboxt=a\sqrt<2>\,\sqrt<\mbox^2t-1> \,\, \Rightarrow \,\, \mbox^2t=\frac<2a^2>+1 \,\, \Rightarrow \end \begin k(s)=\varkappa(s)=\frac<1><2a\,\mbox^2t> = \frac. \end

Вычисления сделаны для $a>0$.

Задача 5 (Феденко №496)

Найдите функцию $f(t)$, для которой данная кривая — плоская: $$ \vec(t)=\t, \, a\,\mboxt, \, f(t)\> $$

Решение задачи 5

Для плоской кривой кручение равно нулю: \begin \varkappa(t) = \left| \begin -a\,\mboxt & a\,\mboxt & f'(t) \\ -a\,\mboxt & -a\,\mboxt & f»(t) \\ a\,\mboxt & -a\,\mboxt & f»'(t) \\ \end \right| = \left( f'(t) + f»'(t) \right)\cdot2a^2=0. \end \begin f'(t)=-f»'(t) \quad \Rightarrow \quad f(t)=c_1+c_2\,\mboxt+c_3\,\mboxt. \end

Как найти уравнение плоскости, в которой лежит кривая?

Известно, что плоская кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости! Второй способ — составить уравнение плоскости по трем точкам.

Кривизна и её вычисление

Вы будете перенаправлены на Автор24

Основная формула для вычисления кривизны плоской кривой

Кривизна представляет собой количественную характеристику степени изогнутости плоской кривой.

Построим касательную к кривой в точке $M$. При переходе по кривой из точки $M$ в некоторую соседнюю точку $N$, касательная в текущей точке поворачивается на угол $\Delta \phi $.

Отношение угла $\Delta \phi $ к длине дуги $\Delta s$ между точками $M$ и $N$ называется средней кривизной дуги $K_ =\frac<\Delta \phi > <\Delta s>$.

Средняя кривизна характеризует среднюю изогнутость на всей дуге. Но на отдельных участках кривой значения кривизны могут испытывать значительные отклонения от среднего значения. Здравый смысл подсказывает, что чем короче дуга, тем лучше она характеризуется средней кривизной. А точнее всего характеризовать изогнутость кривой непосредственно в самой точке $M$.

Кривизной $K$ данной кривой в данной точке $M$ называется предел средней кривизны дуги $\cup MN$ при неограниченном приближении точки $N$ к точке $M$, то есть $K=\mathop<\lim >\limits_ <\Delta s\to 0>\frac<\Delta \phi > <\Delta s>=\frac $. Поскольку считается, что кривизна кривой — величина положительная, то $K=\left|\frac \right|$.

Вычисление кривизны плоской кривой

При произвольном параметрическом задании кривой $x=x\left(t\right)$ и $y=y\left(t\right)$ имеет место выражение $s’_=\sqrt <\left(x'_\right)^ <2>+\left(y’_\right)^ <2>> $.

Теперь для выражения $K = \frac = \frac = \frac <\phi '_> > $ необходимо вычислить $\phi ‘_$.

После преобразований получаем: $\phi ‘_=\frac <\left(y'_\right)^ <<'>> _\cdot x’_-\left(x’_\right)^ <<'>> _\cdot y’_> <\left(x'_\right)^ <2>+\left(y’_\right)^ <2>> $.

Теперь формула для кривизны кривой приобретает окончательный вид: $K=\frac <\left(y'_\right)^ <<'>> _\cdot x’_-\left(x’_\right)^ <<'>> _\cdot y’_> <\sqrt<\left(\left(x'_\right)^ <2>+\left(y’_\right)^ <2>\right)^ <3>> > $.

Если кривая задана в явном виде $y=f\left(x\right)$, то выбирая в качестве параметра $t=x$, получаем $K=\frac <\left(y'_\right)^ <<'>> _ > <\sqrt<\left(1+\left(y'_\right)^ <2>\right)^ <3>> > $.

Если кривая задана в полярных координатах $\rho =\rho \left(\phi \right)$, то принимая в качестве параметра $t=\phi $ и учитывая формулы $x=\rho \cdot \cos \phi $ и $y=\rho \cdot \sin \phi $, получаем:

\[x’_ <\phi >=\left(\rho \cdot \cos \phi \right)^ <<'>> _ <\phi >=\rho ‘_ <\phi >\cdot \cos \phi -\rho \cdot \sin \phi ;\] \[\left(x’_ <\phi >\right)^ <<'>> _ <\phi >=\left(\rho ‘_ <\phi >\cdot \cos \phi -\rho \cdot \sin \phi \right)^ <<'>> _ <\phi >=\left(\rho ‘_ <\phi >\right)^ <<'>> _ <\phi >\cdot \cos \phi -2\cdot \rho ‘_ <\phi >\cdot \sin \phi -\rho \cdot \cos \phi ;\] \[y’_ <\phi >=\left(\rho \cdot \sin \phi \right)^ <<'>> _ <\phi >=\rho ‘_ <\phi >\cdot \sin \phi +\rho \cdot \cos \phi ;\] \[\left(y’_ <\phi >\right)^ <<'>> _ <\phi >=\left(\rho ‘_ <\phi >\cdot \sin \phi +\rho \cdot \cos \phi \right)^ <<'>> _ <\phi >=\left(\rho ‘_ <\phi >\right)^ <<'>> _ <\phi >\cdot \sin \phi +2\cdot \rho ‘_ <\phi >\cdot \cos \phi -\rho \cdot \sin \phi .\]

После подстановки имеем: $K=\frac <\rho ^<2>+2\cdot \left(\rho ‘_ <\phi >\right)^ <2>-\rho \cdot \left(\rho ‘_ <\phi >\right)^ <<'>> _ <\phi >> <\sqrt<\left(\rho ^<2>+\left(\rho ‘_ <\phi >\right)^ <2>\right)^ <3>> > $.

Задачи вычисления кривизны плоской кривой.

Определить кривизну параболы $y=2\cdot x^ <2>$ в её произвольной точке $M\left(x,y\right)$, а также в точке $M_ <1>\left(0,0\right)$.

Вычисляем первую и вторую производные функции $y=2\cdot x^ <2>$:

\[y’=\left(2\cdot x^ <2>\right)^ <<'>> =4\cdot x; y»=\left(4\cdot x\right)^ <<'>> =4. \]

Подставляем полученные выражения в формулу для кривизны:

В точке $M_ <1>\left(0,0\right)$ имеем $K=4$.

Определить кривизну параболы $y^ <2>=\frac<1> <2>\cdot x$ в её произвольной точке $M\left(x,y\right)$, а также в точке $M_ <1>\left(0,0\right)$. Сравнить результат решения с результатом, полученным в задаче 1.

Вычисляем первую и вторую производные функции $y^ <2>=\frac<1> <2>\cdot x$:

$\left(y^ <2>\right)^ <<'>> =\left(\frac<1> <2>\cdot x\right)^ <<'>> $; $2\cdot y\cdot y’=\frac<1> <2>$, откуда $y’=\frac<1> <4\cdot y>$;

$\left(2\cdot y\cdot y’\right)^ <<'>> =\left(\frac<1> <2>\right)^ <<'>> $; $y’\cdot y’+y\cdot y»=0$, откуда $y»=-\frac<1> <16\cdot y^<3>> $.

Подставляем полученные выражения в формулу для кривизны:

В точке $M_ <1>\left(0,0\right)$ имеем $K=4$.

Полученный результат по форме и численно совпадает с результатом, полученным в задаче 1. Действительно, кривые обеих задач совпадут, если систему координат второй задачи повернуть на $\frac<\pi > <2>$ против часовой стрелки. Естественно, что кривизна кривой не меняется при преобразованиях её системы координат.

Готовые работы на аналогичную тему

\[x’_=\left(2\cdot \cos \left(3\cdot t\right)\right)^ <<'>> _=-6\cdot \sin \left(3\cdot t\right);\] \[x»_ =\left(-6\cdot \sin \left(3\cdot t\right)\right)^ <<'>> _=-18\cdot \cos \left(3\cdot t\right);\] \[y'_=\left(3\cdot \sin \left(2\cdot t\right)\right)^ <<'>> _=6\cdot \cos \left(2\cdot t\right);\] \[y''_ =\left(6\cdot \cos \left(2\cdot t\right)\right)^ <<'>> _=-12\cdot \sin \left(2\cdot t\right).\]

Вычисляем значения производных в заданной точке $t=\frac<\pi > <6>$:

\[x'_\left(\frac<\pi > <6>\right)=-6\cdot \sin \left(3\cdot \frac<\pi > <6>\right)=-6;\] \[x''_ \left(\frac<\pi > <6>\right)=-18\cdot \cos \left(3\cdot \frac<\pi > <6>\right)=0;\] \[y'_\left(\frac<\pi > <6>\right)=6\cdot \cos \left(2\cdot \frac<\pi > <6>\right)=3;\] \[y''_ \left(\frac<\pi > <6>\right)=-12\cdot \sin \left(2\cdot \frac<\pi > <6>\right)=-6\cdot \sqrt <3>.\]

Полученные значения подставляем в формулу для кривизны:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 30 11 2021

Лекция Плоские кривые. Способы задания плоской кривой.Длина плоской кривой. Касательная и нормаль к кривой. Кривизна кривой. Эволюта и эвольвента

III . ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ.

1. Способы задания плоских кривых.

2. Уравнения касательной и нормали.

3. Формулы для нахождения единичного вектора нормали и кривизны.

4. Уравнение эволюты.

3.1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.

Кривая, у которой кручение в каждой точке равно нулю, располагается в плоскости и поэтому называется плоской. В качестве такой плоскости выбирают плоскость хОу.

Геометрию плоских кривых можно получить как частный случай геометрии кривых в пространстве, но при таком подходе могут ускользнуть многие своеобразные их особенности. В связи с этим теория плоских кривых строится независимо от теории кривых в пространстве.

Кривую на плоскости можно задать уравнениями различных видов, наиболее распространенными из которых являются:

а) векторное уравнение , (3.1)

б) векторно-параметрическое уравнение (3.2)

в) координатно-параметрические уравнения

г) уравнение в несимметричной форме

или (3.5)

Заметим, что присоединив к уравнению (3.4) тождество х=х , получим параметрические уравнения х=х, y = f ( x ). Они отличаются от уравнений (3.3) тем, что за параметр принята абсцисса точка кривой.

В частности, если какая-либо точка кривой не является особой (т.е. отлична от нуля по крайней мере одна из производных в этой точке), то в ее окрестности уравнение (3.6) можно разрешить или относительно у (при ), и тогда получим уравнение (3.4), или относительно х (при ), тогда получим уравнение (3.5).

3.2 ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.

Длиной кривой называется верхняя грань всех возможных ломаных, вписанных в данную кривую. В частности, если кривая задана векторно-параметрическим уравнением и функция непрерывна вместе со своей производной на , то она спрямляема.

а) Длина кривой в прямоугольных координатах .

Если плоская кривая задана уравнением , где функция непрерывна вместе со своей производной на [ a , b ], то она спрямляема и ее длина выражается формулой

(3.7)

Если кривая задана параметрическими уравнениями и функции непрерывно дифференцируемы на [ T ₁ , T ₂ ], то ее длина выражается формулой:

(3.8)

б) Длина кривой в полярных координатах.

Если кривая задана в полярных координатах уравнением и функция непрерывна вместе со своей производной на , то ее длина выражается формулой

(3.9)

Пример 3.1 Найти длину полукубической параболы ay 2 = x 3 , a >0 от х =0 до х=5а .

Решение: Из уравнений кривой следует, что полукубическая парабола симметрична относительно оси абсцисс (замена у= ‑у не изменяет уравнения) и расположена в правой полуплоскости координатной полуплоскости хОу ( х не может быть отрицательным). Вычислим длину одной ветви кривой ОА.

Из уравнения кривой находим .

По формуле (3.7) получим:

.

Длина кривой равна S =670 а /27.

Пример 3.2 Вычислить длину кардиоиды .

Решение: Однозначная ветвь функции r соответствует изменению параметра в промежутке , при этом кривая симметрична относительно полярной оси. При изменении от 0 до полярный радиус r опишет половину кривой. Половину длины кардиоиды найдем, используя формулу (3.9):

Длина всей кардиоиды S =8 a .

3.3 КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ К КРИВОЙ.

Единичный вектор направленной касательной, как мы показали выше (1.7), находится как орт производной радиус-вектора: .

На практике иногда удобнее в качестве направляющего вектора касательной брать вектор (или любой ему коллинеарный вектор) и уравнение касательной в точке записать в виде:

(3.10)

или . (3.11)

В качестве направляющего вектора нормали можно взять единичный вектор главной нормали , или, что на практике гораздо проще, вектор , ортогональный вектору , тогда уравнение нормали будет иметь вид:

(3.12)

или . (3.13)

Если кривая задана уравнением в несимметричной форме (3.4), то касательная и нормаль соответственно имеют уравнения

(3.14)

(3.15)

г) Если кривая задана уравнением в симметричной форме (3.6), то касательная и нормаль соответственно имеют уравнения

(3.16)

(3.17)

Пример 3.3 Составить уравнение касательной и нормали к кривой y = x 3 -2 в точке А(2,3).

Решение: Используем уравнение касательной (3.14) и нормали для кривой, заданной в несимметричной форме. Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку А(2,3): y -3= k ( x -2),

где k – угловой коэффициент прямой (в данном случае произвольный параметр). Для определения k , соответствующего касательной и нормали к кривой, найдем производную при х =2:

Следовательно, для касательной k =12, для нормали k = ‑ 1/12. Подставляя эти значения в уравнение пучка прямых, получим уравнение касательной

.

Пример 3.4 Составить уравнение касательной и нормали к декартовому листу х 3 +у 3 -3аху=0, а>0 (рис.9) в точке А ( 3а/2;3а/2 ).

Решение. Используем уравнения касательной (3.16) и нормали (3.17) для кривой заданной в симметричной форме. Записав исходное уравнение в виде F( x,y )=0 , найдем:

Подставляя значения производных в уравнение касательной

и нормали: ,

получим уравнение касательной у=3а-х , и уравнение нормали у=х .

3.4 КРИВИЗНА КРИВОЙ. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА КРИВОЙ.

Если кривая задана уравнением у=у(х), то ее кривизна определяется по формуле:

(3.18)

В случае векторно-параметрического задания кривой

(3.19)

Радиус кривизны в данной точке:

(3.20)

Всякая прямая, проходящая через точку кривой и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в данной точке. Вектор нормали к кривой, направленный в сторону центра кривизны и указывающий направление, в котором кривая в окрестности рассматриваемой точки отклоняется от своей касательной, называется вектором главной нормали. Множество центров кривизны кривой образуют ее эволюту. В случае векторно-параметрического задания кривой уравнение эволюты имеет вид (2.17): , и координаты центра кривизны определяются формулами:

, (3.21)

Если кривая задана уравнением y = f ( x ) , то

, (3.22)

Исходная кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Пример 3.5 Найти кривизну и радиус кривизны параболы у=х 2 в произвольной точке х.

Решение: Кривизну параболы найдем, подставляя в (3.18):

Эта величина принимает наибольшее значение при х =0, для которого k =2. Радиус кривизны связан с кривизной соотношением (3.20), поэтому

Наименьший радиус кривизны в точке (0,0).

Пример 3.6 Найти радиус кривизны и эволюту эллипса .

Решение: Представим уравнение эллипса в параметрическом виде:

Подставляя в формулы (3.19) и (3.20), получим

.

Уравнение эволюты найдем по формуле (3.21):

Таким образом, эволютой эллипса является астроида.