Как найти логарифмический декремент затухания по уравнению
§6 Затухающие колебания
Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.
Добротность
Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.
Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.
Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения
где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что FC направлена в сторону противоположную скорости.
Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона
где β — коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.
— дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
— у равнение затухающих колебаний.
ω – частота затухающих колебаний:
Период затухающих колебаний:
Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно говорить, когда β мало.
Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно
рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону
В уравнении (1) А0 и φ0 — произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания
Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз
τ — время релаксации.
Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:
Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :
Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний уменьшилась в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной системы величина.
Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .
Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.
Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.
Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.
Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.
§7 Вынужденные колебания.
Резонанс
В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.
Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.
По второму закону Ньютона:
(1)
— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.
Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.
Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:
(2)
Частное решение этого уравнения будем искать в виде:
т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,
Это комплексное число удобно представить в виде
где А определяется по формуле (3 ниже), а φ — по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид
Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:
(3)
(4)
Слагаемое Хо.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механической системы, называется резонансом.
Частота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ωрез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).
Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то
При ω→0 все кривые приходят к значению — статическое отклонение.
Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие «солнышко» за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в «лодочках».) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.
Как найти логарифмический декремент затухания по уравнению
Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания |
Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и (рис. 3.1): , где β – коэффициент затухания.
Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания χ: ; . Выясним физический смысл χ и β. Время релаксации τ – время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз. отсюда Следовательно, коэффициент затухания β есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда ; ; . Следовательно, логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз. Если χ = 0,01, то N = 100. При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , а то круговая частота обращается в нуль ( ), а ( ), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим (рис. 3.2).
Отличия в следующем. При колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления, трения. Как найти логарифмический декремент затухания по уравнению4.1. Механические колебания. 4.2. Электрические колебания. 4.1. Механические колебания. 4.1.1. Гармонические колебания. 4.1. 1 -1. Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой А и периодом Т = 12 с. Найти время t ₁ , за которое смещение частицы изменяется от 0 до А/2. 4.1.1-2. Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска. где − I момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса А (см. рис.); x = AO = R − расстояние от точки подвеса до центра тяжести О диска; m − масса диска; g = 9,8 м/с² − ускорение свободного падения. Решение: 4.1.2. Свободные затухающие колебания. 4.1.2-2. Найти логарифмический декремент затухания тонкого стержня, подвешенного за один из его концов, если за промежуток времени t = 5 мин его полная механическая энергия уменьшилась в n = 4 · 10 ² раз. Длина стержня L = 50 см. Решение: 1. Найдём коэффициент затухания β . 2. Найдём период Т затухающих колебаний. Подставим в (1) найденные β из (3) и Т из (4**) и, после упрощения, получим 4.1.2-3. Логарифмический декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50 Гц, равен 0,02. Определите: время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20 раз; число колебаний тела, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды. Решение: 4.1.2-4. Составьте дифференциальное уравнение гармонических свободных затухающих крутильных колебаний механической системы. Решение: Решение: ___________________________________________________________________________________ 4.1.3. Вынужденные колебания. Резонанс. 4.1.3-1. Осциллятор массы m движется по закону x = Asinωt под действием вынуждающей силы Fₓ = F₀cosωt. Найти коэффициент затухания β осциллятора. Решение: ω₀ − собственная частота колебаний осциллятора, где f₀ = F ₀/ m , m − масса осциллятора , β − коэффициент затухания, ω₀ − собственная частота колебаний, ω − частота вынужденных колебаний. 4.2. Электрические колебания. 4.2-1. Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной направлению внешнего магнитного поля. При изменении индукции этого поля период колебаний стрелки уменьшился в η = 5 раз. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало. Решение: 4.2-3. Электрический колебательный контур состоял из последовательно соединенных катушки с индуктивностью L = 0,8 Гн и конденсатора емкостью С. Сопротивление катушки и соединительных проводов было равно R = 2000 Ом. После того, как часть витков в катушке замкнулась накоротко, индуктивность ее уменьшилась в n = 7 раз, частота собственных колебаний в контуре возросла в k = 3 раза, а коэффициент затухания этих колебаний не изменился. Определить емкость конденсатора . Решение: 4.2-4. Ток в колебательном контуре зависит от времени как I = Imsinω₀t, где Im = 9,0 мА, ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹. Ёмкость конденсатора С = 0,50 мкФ. Найти индуктивность контура и напряжение на конденсаторе в момент t = 0. 1 4.3. Упругие волны. Акустика. 4.3-1. По шнуру слева направо бежит со скоростью v незатухающая гармоническая волна. При этом поперечное смещение точки О шнура изменяется по закону y = Acos ( ωt ). Как зависит от времени смещение точки шнура, находящейся правее точки О на расстоянии x от нее? 4.3-2. Уравнение плоской звуковой волны имеет вид ξ = 60 cos (1800 t — 5,3 x ). где ξ – в мкм, t – в секундах, х – в метрах . а) Уравнение плоской синусоидальной волны б) Амплитуда колебаний скорости частиц среды в) Относительную деформацию среды найдём дифференцируя (2) по х: Ответ: a) A/λ = 5,1 ·10 ⁻ ⁵ ; 4.3-3. Что такое амплитуда колебаний скорости частиц среды? Решение: Решение: (1) а). Из (1) выпишем амплитуду A смещения частиц среды (множитель перед косинусом): η = ( r ₂ / r ₁ ) · e ᵞ ⁽ r ₂ ⁻ r₁ ⁾ отсюда η r ₁ / r ₂ = e ᵞ ⁽ r ₂ ⁻ r₁ ⁾ , отсюда, по определению логарифма, имеем ln ( η r ₁ / r ₂ ) = γ( r ₂ — r ₁ ), отсюда γ = ln(3 · 5 /10 )/(10 — 5 ) ≈ 0,08 м ⁻ ¹ . б). Для нахождения скорости смещения частиц среды V найдём частную производную по времени t от (1): 4.3-5. Плоская звуковая волна, частота которой 100 Гц и амплитуда 5 мкм, распространяется со скоростью 300 м\с в воздухе, плотность которого равна 1 , 2 кг\м ³ . Определить интенсивность волны. Решение: 4.3-6. Стальная струна длины l = 100 см и диаметра d = 0,50 мм даёт основной тон частоты ν = 256 Гц. Найти силу её натяжения. Решение: − фазовая скорость поперечных волн в струне. Отсюда F = V²ρ₁ , (2) _______________________________________________________________________________________________ 4.4-1. Электромагнитная волна с частотой 6 · 10 ¹⁴ Гц распространяется в стекле, показатель преломления которого 1,5. Какова скорость волны в стекле и значение волнового числа? 4.4-2. Определить показатель преломления призмы из парафина , если его диэлектрическая проницаемость Ԑ = 2 и магнитная проницаемость μ = 1. Решение: источники: http://ens.tpu.ru/posobie_fis_kusn/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B.%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/03-2.htm http://www.sites.google.com/site/viktortsekunov/services/fizika/4-kolebania-i-volny |