Как найти минимум функции в уравнении

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции \(f'(x)\).
2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\).
3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума;
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;
   — если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y’=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

Исследуем знаки производной.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

Определим знаки производной.

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции

Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции .будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.

при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при

4. Найдите абсциссу точки максимума функции

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при

Если то Если , то

Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю:

Найдем знаки производной на отрезке

При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

Найдем производную функции

При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки

В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при

Как найти точку максимума функции?

Поиск точки максимума и минимума функции — довольно распространенная задача в математическом анализе. Иногда требуется экстремум. Многие думают, что под словом «экстремум» подразумевают наибольшее или наименьшее значение функции. Это не совсем верно. Значение может быть наибольшим или минимальным, но не являться экстремумом.

Глобальный и локальный максимум

Максимум бывает локальным или глобальным. Точка локального максимума — это аргумент, который при подстановке в f(x) даёт значение не меньше, чем в других точках из области около этого аргумента. Для глобального максимума эта область расширяется до всей области допустимых аргументов. Для минимума всё наоборот. Экстремум — это локальное экстремальное — минимальное или максимальное — значение.

Как правило, если математиков интересует глобально самое большое значение f(x), то в интервале, не на всей оси аргументов. Подобные задачи обычно сформулированы фразой «найдите точку максимума функции на отрезке». Здесь подразумевается, что надо выявить аргумент, при котором она не меньше, чем на всём остальном указанном отрезке. Поиск локального экстремума является одним из шагов решения такой задачи.

Дано y = f(x). Требуется определить пик функции на указанном отрезке. f(x) может достигать его в точке:

• экстремума, если она попадает в указанный отрезок,
• разрыва,
• ограничивающей заданный отрезок.

Исследование

Пик f(x) на отрезке или в интервале находится путём исследования данной функции. План исследования для нахождения максимума на отрезке (или интервале):

1. Найти область допустимых аргументов и пересечения этой области с областью исследования.
2. Выявить асимптоты. Они равны пределу при стремлении аргумента к точкам разрыва.
3. Определить первую производную и вычислить экстремальные точки и выяснить поведение функции в окрестности этих точек.
4. Рассчитать значение f(x) в точках, ограничивающих область исследования.
5. Сравнить экстремум со значением функции в точках разрыва и на концах интервала. Определить среди них наибольшее.

Теперь подробно разберем каждый шаг и рассмотрим некоторые примеры.

Область допустимых аргументов

Область допустимых аргументов — это те x, при подстановке которых в f(x) она не престаёт существовать.Область допустимых аргументов ещё называют областью определения. Например, y = x^2 определена на всей оси аргументов. А y = 1/x определена для всех аргументов, кроме x = 0.

Найти пересечение области допустимых аргументов и исследуемого отрезка (интервала) требуется для того, чтобы исключить из рассмотрения ту часть интервала, где функция не определена. Например, требуется найти минимум y = 1/x на отрезке от -2 до 2. На самом деле требуется исследовать два полуинтервала от -2 до 0 и от 0 до 2, так как уравнение у = 1/0 не имеет решения.

Асимптоты

Асимптота — это такая прямая, к которой функция тянется, но не дотягивается. Если f(x) существует на всей числовой прямой и неразрывна на ней, то вертикальной асимптоты у неё нет. Если же она разрывна, то точка разрыва является вертикальной асимптотой. Для y = 1/x асимптота задаётся уравнением x = 0. Эта функция тянется к нулю по оси аргументов, но дотянется до него, только устремившись в бесконечность.

Если на исследуемом отрезке имеется вертикальная асимптота, около которой функция стремится в бесконечность с плюсом, то пик f(x) на здесь не определяется. А если бы определялся, то аргумент, при котором достигается максимум, совпал бы с точкой пересечения асимптоты и оси аргументов.

Производная и экстремумы

Производная — это предел изменения функции при стремящемся к нулю изменении аргумента. Что это значит? Возьмём небольшой участок из области допустимых аргументов и посмотрим как изменится здесь f(x), а потом уменьшим этот участок до бесконечно малого размера, в этом случае f(x) станет изменяться так же, как и некая более простая функция, которая именуется производной.

Значение производной в определенной показывает под каким углом проходит касательная к функции в выбранной точке. Отрицательное значение говорит о том, что функция здесь убывает. Аналогично положительная производная говорит о возрастании f(x). Отсюда появляются два условия.

1) Производная в точке экстремума либо нулевая, либо неопределенная. Это условие необходимое, но недостаточно. Продифференцируем y = x^3, получим уравнение производной: y = 3*x^2. Подставим в последнее уравнение аргумент «0», и производная обратится в нуль. Однако, это не экстремум для y = x^3. У неё не может быть экстремумов, она убывает на всей оси аргументов.

2) Достаточно, чтобы при пересечении точки экстремума у производной менялся знак. То есть, до максимума f(x) растёт, а после максимума она убывает — производная была положительной, а стала отрицательной.

После того как аргументы для локального максимума были найдены их надо подставить в исходное уравнение и получить максимальное значение f(x).

Концы интервала и сравнение результатов

При поиске максимума на отрезке необходимо проверить значение на концах отрезка. Например, для y = 1/x на отрезке [1; 7] максимум будет в точке x = 1. Даже если внутри отрезка есть локальный максимум, нет никакой гарантии, что значение на одном из концов отрезка не будет больше этого максимума.

Теперь необходимо сравнить значения в точках разрыва (если f(x) здесь не стремится в бесконечность), на концах исследуемого интервала и экстремум функции. Наибольшее из этих значений и будет максимумом функции на заданном участке прямой.

Для задачи с формулировкой «Найдите точку минимума функции» необходимо выбрать наименьшее из локальных минимумов и значений на концах интервала и в точках разрыва.

Видео