Как найти мнимый корень квадратного уравнения
Алгебраическое уравнение 2-й степени иначе называется квадратным. Наиболее общий вид квадратного уравнения с одним неизвестным есть
где a, b, c — данные числа или буквенные выражения, содержащие известные величины (причем коэффициент а не может быть равен нулю, иначе уравнение будет не квадратным, а 1-й степени).. Разделив обе его части на a, мы получим уравнение вида
(p = b/a; q = c/a).
Квадратное уравнение такого вида называется приведенным; уравнение ах 2 + bx + c = 0 (где а ≠ 0), называется неприведенным. Если одна из величин b, с или обе вместе равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным; если и b и с не равны нулю, квадратное уравнение называется полным.
Примеры
3x 2 + 8x -5 = 0 – полное неприведенное квадратное уравнение;
3x 2 – 5 = 0 – неполное неприведенное квадратное уравнение;
x 2 – ax = 0 – неполное приведенное квадратное уравнение;
x 2 – 12x +7 = 0 – полное приведенное квадратное уравнение.
Неполное квадратное уравнение вида
x 2 = m (m – известная величина)
является самым простым типом квадратного уравнения и вместе с тем очерь важным, так как к нему приводится решение всякого квадратного уравнения. Решение этого уравнения имеет вид
Возможны три случая:
1) Если m = 0, то и x = 0.
2) Если m – положительное число, то его квадратный корень может иметь два значения: одно положительное, другое отрицательное. Абсолютные величины этих значений одинаковы. Например, уравнение x 2 = 9 удовлетворяется значением х = + 3 и х = — 3. Другими словами, x имеет два значения: +3 и — 3. Часто это выражают тем, что перед радикалом ставят два знака – плюс и минус.
При таком написании подразумевается, что выражение обозначает общую абсолютную величину-двух значений корня; в нашем примере — число 3. Величина может быть иррациональным чиcлом. Заметим, что и само m может быть иррациональным числом. Например, пусть требуется решить уравнение
(геометрически это означает найти длину стороны квадрата равного по площади кругу с радиусом 1). Его корень x = √π.
3) Если m — отрицательное число, то уравнение х 2 = m (например, х 2 = — 9) не может иметь никакого положительного и никакого отрицательного корня: ведь и положительное и отрицательное число по возведении в квадрат дает положительное число. Таким образом, можно сказать, что уравнение х 2 = — 9 не имеет решений, т.е. число не существует.
Но с таким же основанием до введения отрицательных чисел можно было говорить, что и уравнение 2x + 6 = 4 не имеет решений. Однако после введения отрицательных чисел это уравнение стало разрешимым. Точно так же уравнение х 2 = — 9, не имеющее решений среди положительных и отрицательных чисел, становится разрешимым после введения новых величин — квадратных корней из отрицательных чисел. Эти величины были впервые введены итальянским математиком Кардано в середине 16 века в связи с решением кубического уравнения. Кардано назвал эти числа «софистическими» (т. е. «мудреными»). Декарт в 30-х годах 17 века ввел наименование «мнимые числа», которое, к сожалению, удерживается до сих пор. В противоположность мнимым числам прежде известные числа (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными. Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом*.Часто и комплексные числа называют мнимыми.
Введя в рассмотрение мнимые числа, можно сказать, что неполное квадратное уравнение x 2 = m всегда имеет два корня. Если m > 0, эти корни действительны, они имеют одинаковую абсолютную величину и различны по знаку. Если m = 0, оба они равны нулю; если m *Этот термин введен Гауссом в 1831 г. Слово «комплексный» означает в переводе «совокупный».
Квадратное уравнение с комплексными корнями
Вы будете перенаправлены на Автор24
Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.
Двучленным называется уравнение вида $x^
Рассмотрим три случая:
Решить уравнение: $x^ <3>=8$.
Так как $A>0$, то $x_
При $k=0$ получаем $x_ <0>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right)=\sqrt[<3>] <8>=2$.
При $k=1$ получаем
\[x_ <1>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos \frac<2\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<2\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <8>\cdot (-\frac<1> <2>+\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=2\cdot (-\frac<1> <2>+\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=-1+\sqrt <3>\cdot i.\]
При $k=2$ получаем
\[x_ <2>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos \frac<4\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<4\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <8>\cdot (-\frac<1> <2>-\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=2\cdot (-\frac<1> <2>-\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=-1-\sqrt <3>\cdot i.\]
Решить уравнение: $x^ <3>=1+i$.
Готовые работы на аналогичную тему
Так как $A$ — комплексное число, то
Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.
По условию $a=1,b=1$.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
\[\varphi =\arg z=arctg\frac<1> <1>=arctg1=\frac<\pi > <4>\]
Подставим полученные значения и получим:
Уравнение перепишем в виде:
При $k=0$ получаем $x_ <0>=\sqrt[<3>] <\sqrt<2>> \cdot \left(\cos \frac<\pi /4> <3>+i\cdot \sin \frac<\pi /4> <3>\right)=\sqrt[<3>] <\sqrt<2>> \cdot \left(\cos \frac<\pi > <12>+i\cdot \sin \frac<\pi > <12>\right)=\sqrt[<6>] <2>\cdot \left(\cos \frac<\pi > <12>+i\cdot \sin \frac<\pi > <12>\right)$.
При $k=1$ получаем
При $k=2$ получаем
Квадратным называется уравнение вида $ax^ <2>+bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.
Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^ <2>-4ac$, при этом
В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.
Решить уравнение $x^ <2>+2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.
\[D=2^ <2>-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16.\]
Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.
В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.
Комплексное число вида $\overline
Известно, что если $x_ <1,2>$ являются корнями квадратного уравнения $ax^ <2>+bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_ <1>)(x-x_ <2>)=0$. В общем случае $x_ <1,2>$ являются комплексными корнями.
Зная корни уравнения $x_ <1,2>=1\pm 2i$, записать исходное уравнение.
Запишем уравнение следующим образом:
\[x^ <2>-(1-2i)\cdot x-x\cdot (1+2i)+(1-2i)\cdot (1+2i)=0\] \[x^ <2>-x+2i\cdot x-x-2i\cdot x+1-4i^ <2>=0\] \[x^ <2>-2x+1+4=0\] \[x^ <2>-2x+5=0\]
Следовательно, $x^ <2>-2x+5=0$ — искомое уравнение.
Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.
Решить уравнение: $z^ <2>+(1-2i)\cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.
Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:
Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.
В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 11 2021
Сергей Евгеньевич Грамотинский
Эксперт по предмету «Математика»
Работаем по будням с 10:00 до 20:00 по Мск
. и многие другие.
Успешной учебы! Будем рады вам помочь!
Решение квадратного уравнения
Решает квадратное уравнение, в том числе и с мнимыми корнями.
Для решения общего вида квадратного уравнения с одним неизвестным
используется следующая формула
При этом могут представиться следующие три случая
0″ />
тогда два корня уравнения действительны и различны между собой
тогда два корня уравнения действительны и равны между собой
тогда оба корня уравнения мнимы.
Выражение , величина которого позволяет различать эти три случая, называется дискриминантом.
С корнями квадратного уравнения связано интересное свойство — квадратный трехчлен можно разложить на множители первой степени следующим образом
Калькулятор, находящий корни квадратного уравнения:
http://spravochnick.ru/matematika/kompleksnye_chisla_i_mnogochleny/kvadratnoe_uravnenie_s_kompleksnymi_kornyami/
http://planetcalc.ru/168/