Как найти начальную точку уравнения

Как найти вершину параболы: три формулы

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax 2 + bx + c, где a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x 2 –8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

подставляем значения a и b в формулу;

вычисляем значения y;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x 2 –6x+5

1) Приравниваем к нулю:

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2 –4 ac:

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

1 — первый корень;
5 — второй корень.

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2 +8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x 2 + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2) 2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4) 2 = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2 +11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

X	5,5
Y

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X	4	5	5,5	6	7
Y	-4	-6	-6,25	-6	-4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

Нужно проверять правильно ли ваше решение.
Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Как найти начальную точку уравнения

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

1.1. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями нет.

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

видим, что с выходом из начального положения координата х увеличивается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:

1.2. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;9).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:

1.3. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , траектория пересекает ось ОХ при , и ось OY и

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.4. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;3,375), а с осью OY (0;-4,5).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.5. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-0,75) и пересечение с осью OY (-1;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.6. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями нет.

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.7. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , ,

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой , при , видим, что с выходом из начального положения координата х увеличивается, а координата y уменьшается. Это направление примем за положительное, тогда ,

откуда .

1.8. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , траектория пересекает ось ОХ при ,

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.9. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-0,75) и пересечение с осью OY (-1;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.10. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями в точке (0;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.11. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями в точке (0;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.12. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0; ) и пересечение с осью OY (-3;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.13. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OY в точке (0;11,75).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.14. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;0,75) и пересечение с осью OY (1;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.15. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-6,5).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.16. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;3,75) и пересечение с осью OY (9;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Квадратичная функция. Построение параболы

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ: наглядно.

Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

Если D 0,то график выглядит так:

Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x — 5 = 0 2 + 3x — 5 = 0″ png;base64,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»>

Координаты вершины параболы:

Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
2 + 3x — 5 = 0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC» width=»602″>

**Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀**

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

построить y = x 2 ,
умножить ординаты всех точек графика на 2,
сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

источники:

http://www.teoretmeh.ru/primerkinematika.htm

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kvadratichnaya-funkciya-parabola