Как найти наименьшее значение квадратного уравнения

Как решать задачи B15 без производных

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность.

Функция f ( x ) называется на отрезке если для любых точек этого отрезка выполняется следующее:

Функция f ( x ) называется на отрезке если для любых точек этого отрезка выполняется следующее:

Другими словами, для возрастающей функции Для убывающей функции все наоборот:

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание и монотонно убывает, если Не забывайте про область допустимых значений логарифма:

f ( x ) = log _a x ( a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет и убывает Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только

f ( x ) = a x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

Ветви параболы — могут уходить вверх или вниз Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее или наибольшее значение.

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы, абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

Отрезок [ a ; b ] в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
Но таких точек всего одна — это вершина параболы координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

Выписать уравнение параболы и найти ее вершину по формуле:
Найти значение исходной функции в этой точке: Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент

x ₀ = − b /(2 a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке функция принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Под логарифмом снова квадратичная функция: График — парабола ветвями вверх,

x ₀ = − b /(2 a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция монотонная, поэтому:

y _min = y (−1) = log ₂ ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = . = log ₂ 8 = 3

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

В показателе стоит квадратичная функция Перепишем ее в нормальном виде:

Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз Поэтому вершина будет точкой максимума:

Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

Аргумент логарифма должен быть положительным:

y = log _a f ( x ) ⇒ f ( x ) > 0

Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел:

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2 x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 x − 3 ≤ 0 ⇒

Теперь найдем вершину параболы:

Точка принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции а также на концах ОДЗ:

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Внутри логарифма стоит квадратичная функция Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6 x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6 x + 5 x ₀ = − b /(2 a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только

y _min = y (3) = log _0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) =

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

x 2 — 2x + 6 = 0
x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax 2 + c = 0, при b = 0;
ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

вычислить D₁= n 2 — ac;
если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Квадратный трёхчлен и его применение к решению задач с параметрами

Разделы: Математика

Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром.

Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Поэтому знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения ЕГЭ и вступительной экзаменационной работы.

Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена.

В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и показаны приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических изображений.

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax 2 +bx+c, где a0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a 0 ветви направлены вверх.

Выражение x 2 +px+q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D=b 2 — 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:

при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

при D 0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при а 2 +bx+c и коэффициентами этого

трехчлена существуют соотношения : x₁+x₂= -b/a,

Данная теорема справедлива и для приведенного квадратного трехчлена x 2 +px+q : x₁+x₂= -p,

Теорема, обратная теореме Виета, применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.

Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и

достаточно выполнения соотношений: D=b 2 -4ac0; x₁•x₂=c/a>0.

При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие :

а оба корня будут отрицательны, если x₁+x₂= -b/a 2 -4ac>0.

Расположение корней квадратного трехчлена (см. приложение).

Дидактический материал для учащихся.

1. Найти все значения параметра а , при каждом из которых корни квадратного трехчлена х 2 +ах+1 различны и лежат на отрезке [0 ; 2].

2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-1)х+1-а=0 имеет два различных положительных корня?

3. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-6)+3а+9=0 имеет корни разных знаков?

4. Найдите все значения параметра а , при которых корни уравнения х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0 меньше, чем 1 .

5. Найдите все значения параметра а , при которых один из корней уравнения х 2 -2(а+1)х+4а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1?

6. При каких значениях параметра а уравнение 2х 2 +(3а+1)х+а 2 +а=2=0 имеет хотя бы один корень?

7. При каких значениях параметра а уравнение (а 2 +а+1)х 2 + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

8. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х 2 -2ах +а=3=0 положительны?

9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х 2 -2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?

10. При каких значениях параметра а корни уравнения х 2 -2ах+(а+1)•(а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]?

11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х 2 +(а+1)х-а 2 =0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2?

12. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -4х+(2-а)•(2+а)=0 имеет корни разных знаков?

13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2-а)х 2 -3ах+2а=0 больше 1/2?

15. При каких значениях параметра а все корни уравнения х 2 -2ах+а 2 -а=0 расположены на отрезке [-2; 6]?

16. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х 2 -2ах+2(а+1)=0 равна 20?

17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х 2 -2а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней?

18. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а-3)х 2 -2ах+6а=0 положительны?

19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х 2 -3ах+4а=0 больше 1?

Цыганов Ш. “Квадратный трехчлен и параметры”/ Математика- № 5, 1999.

Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики”, Москва. Педагогический университет “первое сентября”, 2006.

Астров К., “квадратичная функция и ее применение”, М.: Педагогика, 1986.

Задачи с параметрами / Математика- № 43, 2003.

Сканави М.И. “Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы”, М.: “Оникс 21 век”, 2003.

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya

http://urok.1sept.ru/articles/520894