Ортоцентр треугольника
Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).
Пример
В приведенном ниже примере, O это ортоцентр..
Метод расчета ортоцентра треугольника
Пускай даны точки треугольника A(4,3), B(0,5) и C(3,-6).
Шаг 1
Найдем наклоны сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Наклон обозначим ‘m’.
- Наклон AB (m) = 5-3/0-4 = -1/2.
- Наклон BC (m) = -6-5/3-0 = -11/3.
- Наклон CA (m) = 3+6/4-3 = 9.
Шаг 2
Теперь, давайте вычислим наклон высоты AD, BE и CF который перпендикулярен сторонам BC, CA и AB соответственно. Наклон высоты = -1/наклон противоположной стороны треугольника.
- Наклон AD = -1/наклон BC = 3/11.
- Наклон BE = -1/наклон CA = -1/9.
- Наклон CF = -1/наклон AB = 2.
Шаг 3
После того, как мы нашли наклон перпендикуляров, мы должны найти уравнение линий AD, BE и CF. Давайте найдем уравнение линии AD с точкой (4,3) и наклоном 3/11.
Формула, для нахождения уравнения ортоцентра треугольника = y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)
1) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 3x-11y = -21
Кроме того, мы должны найти уравнение линий BE и CF. Уравнение для линии BE с точкой (0,5) и наклоном -1/9 = y-5 = -1/9(x-0)
2) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим x + 9y = 45
Уравнение для линии CF с точкой (3,-6) и наклоном 2 = y+6 = 2(x-3)
3) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 2x — y = 12
Шаг 4
Найдем значение x и y решив 2 любых из 3 уравнений.
В этом примере, значение x и y (8.05263, 4.10526) которые являются координатами Ортоцентра (o).
Решить треугольник Онлайн по координатам
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ) | Примечание: дробные числа записывайте Округлять до -го знака после запятой. Свойства высот треугольника. ОртоцентрСхема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК. Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов. 1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
Докажем эти факты по порядку. 1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам. 2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны . Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда 3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность. 4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС, Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС, 5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, . Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16) 2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA. а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и а) Докажем, что — смежный с углом , источники: http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik http://ege-study.ru/materialy-ege/svojstva-vysot-treugolnika-ortocentr/ |