Как найти параметр параболы из канонического уравнения

Каноническое уравнение параболы

Вы будете перенаправлены на Автор24

Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.

То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.

Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.

Основные термины из канонического уравнения параболы

Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ — её директрисой.

Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.

Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.

Что из себя представляет каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:

$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.

Число $p$ из уравнения носит название «фокальный параметр».

Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.

Парабола, описанная уравнением $x^2 = 2py$ — это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.

А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y^2 = — 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.

Готовые работы на аналогичную тему

Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.

При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B^2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\cdot y + F = 0$

Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы

Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы

Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.

Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = \frac

<2>$ и $y = 0$.

Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = — \frac

<2>$.

Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:

$FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.

Икс и игрек для этой точки равны $\frac

<2>$ $y$ соответственно.

Запишем уравнение (1) в координатной форме:

Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:

После упрощения получаем каноническое уравнение параболы: $y^2 = px$.

Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции

Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:

Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:

$y_A = — \frac<4a>$, где $D = b^2 – 4ac$.

Пример составления классического уравнения параболы

Задача. Зная расположение фокусной точки, составить каноническое уравнение параболы. Координаты точки фокуса $F$ $(4; 0)$.

Так как мы рассматриваем параболу, график которой задан каноническим уравнением, то её вершина $O$ находится на пересечении осей икс и игрек, следовательно расстояние от фокуса до вершины равно $\frac<1><2>$ фокального параметра $\frac

<2>= 4$. Путём нехитрых вычислений получим, что сам фокальный параметр $p = 8$.

После подстановки значения $p$ в каноническую форму уравнения, наше уравнение примет вид $y^2 = 16x$.

Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику

Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения

Для начала необходимо выбрать точку $М$, принадлежащую графику нашей функции, и, опустив из неё перпендикуляры на оси $OX$ и $OY$, записать её икс и игрек, в нашем случае точка $M$ это $(2;2)$.

Теперь нужно подставить полученные для этой точки $x$ и $y$ в каноническое уравнение параболы $y^2 = px$, получаем:

Сократив, получаем следующее уравнение параболы $y^2 = 2 \cdot x$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 03 12 2021

Параметры параболы

Точка F(p/2, 0) называется фокусомпараболы, величина p – параметром, точка О(0, 0) – вершиной (рис. 9.15). При этом прямая OF, относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

Величина где M(x, y) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом, прямая D: x = –p/2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетомпараболы.

Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 9.15).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 9.16):

а) б) в)

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1.Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

1) 2)

Решение.1) Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О(0; 0), симметричную относительно оси Оx. Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px, находим: 2p = 8, p = 4, p/2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F(–2; 0), уравнение директрисы D: x = 2 (рис. 9.17).

2) Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O(0; 0), симметричную относительно оси Oy. Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py, находим: 2p = 4, p = 2, p/2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F(0; –1), уравнение директрисы D: y = 1 (рис. 9.18).

Пример 2.Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать рисунок.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 = 0;

В результате получим:

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх осью x = –4. Фокус находится в точке F(–4; –3 + p/2), т. е. F(–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p/2 или y = –7 (рис. 9.19).

Пример 3. Написать уравнение кривой, все точки которой равноудалены от прямой y = –3 и точки F(0; 3).

Решение. Точка F(0; 3) лежит на оси Oy и находится с прямой y = –3 по разные стороны от начала координат, причем на одинаковом расстоянии (d = 3). Это позволяет заключить, что искомой кривой является парабола x 2 = 2py с параметром p = 2 × 3 = 6, т. е. x 2 = 12y (рис. 9.20).

Пример 4.Составить уравнение параболы с вершиной в точке V(3; –2) и фокусом в точке F(1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p/2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Следовательно, искомое уравнение

Дата добавления: 2015-09-29 ; просмотров: 8112 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Парабола, ее каноническое уравнение, свойства и параметры

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой. Для вывода уравнения параболы выберем декартову систему координат так, чтобы ее началом была середина перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директрису, а координатные оси располагались параллельно и перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD равна р. Тогда из равенства r = d следует, что поскольку Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y² = 2px , называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметромпараболы.

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2)Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение: Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e 1) или параболу (при е=1).