Как найти предельный цикл системы уравнений

Как найти предельный цикл системы уравнений

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если независимая переменная не входит явно в систему.

Рассмотрим автономные системы второго порядка:

Будем полагать, что правые части системы f₁(x₁, x₂), f₂(x₁, x₂) непрерывно дифференцируемы в области определения, т.е. справедлива теорема существования и единственности.
Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx₁/dt и dx₂/dt зависят только от x₁ и x₂. Автономные системы называют также динамическими системами.

Пусть x₁= j ₁(t), x₂= j ₂(t) — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения

задают в параметрической форме кривую на плоскости (x₁, x₂). Эта кривая называется фазовой кривой или фазовой траекторией системы. Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы. Именно поэтому автономные системы второго порядка принято называть автономными системами на плоскости.

Для фазовых траекторий автономной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью справедливы следующие утверждения:

• две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают;
• фазовая траектория, отличная от точки, есть гладкая кривая (в каждой ее точке есть ненулевой касательный вектор);
• всякая фазовая кривая принадлежит к одному из трех типов— гладкая кривая без самопересечений, замкнутая гладкая кривая (цикл), точка.

ПРИМЕР 1. Виды фазовых кривых.

Если фазовая траектория x₁= j₁(t), x₂= j₂(t) — замкнутая гладкая кривая g, в некоторой окрестности которой нет других замкнутых траекторий, то она является предельным циклом: все траектории, которые начинаются достаточно близко от g, спиралевидно приближаются к ней либо при , либо при .
Предельные циклы бывают трех типов:

• устойчивые — близкие траектории «навиваются» на него при (пример 2);
• неустойчивые— близкие траектории уходят от него при (пример 3);
• полуустойчивые — траектории, лежащие по одну сторону от цикла, «навиваются» на него при , а лежащие по другую строну — «отходят» от цикла (пример 4).

ПРИМЕР 2. Устойчивый предельный цикл.

ПРИМЕР 3. Неустойчивый предельный цикл.

ПРИМЕР 4. Полуустойчивый предельный цикл.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Предельный цикл системы

Среди решений нелинейных динамических уравнений особое место занимают решения, описывающие периодическую смену динамического состояния системы. На фазовой плоскости такому движению соответствует замкнутая траектория.

Изолированная замкнутая траектория на фазовой плоскости называется предельным циклом. Если все соседние траектории при приближаются к предельному циклу, то предельный цикл системы называется орбитально устойчивым (рис. 1а).

В случае удаления цикл называется орбитально неустойчивым (рис. 1б). Если траектория с одной стороны приближается к предельному циклу, а с другой удаляется, то предельный цикл называется полустойкий (рис. 1в). Рисунок 1 — Фазовые траектории в окрестности предельного цикла

Наличие в системе предельного цикла свидетельствует о существовании периодических колебаний, частота и амплитуда которых не зависят от начальных условий. Предельный цикл системы

Андронов назвал их автоколебаниями. Они возникают при наличии положительной обратной связи в системе, а их частота определяется внутренними параметрами системы. Уравнения, описывающие автоколебания, называются нелинейными.

Часто для анализа устойчивости предельного цикла переходят к полярным систем координат. Однако, к сожалению, общих эффективных методов определения устойчивости предельных циклов не существует. Для исследования устойчивости предельных циклов используют функцию последования.