образовательные: – научиться распознавать однородные уравнения, отработать метод решения однородных уравнений.
развивающие: – развивать логическое мышление, навыки самостоятельной работы и самоконтроля.
воспитательные: – развивать познавательный интерес к предмету, творческие способности обучающихся.
Материал для лекции.
Определение: Многочлен называется однородным, если
Многочлен от двух переменных называют однородным многочленом степени k, если все его одночлены имеют степень k.
Например: = – однородный многочлен второй степени, а – однородный многочлен третьей степени.
Определение: Уравнение вида называется однородным уравнением степени k относительно , если – однородный многочлен степени k.
Понятие однородности распространяется и на уравнения с большим числом неизвестных.
Например: – однородное уравнение третьей степени относительно неизвестных
Однородное уравнение относительно и делением на (если не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного . Это свойство однородности облегчает процесс решения.
Однородные уравнения и неравенства
Однородные уравнения – это уравнения, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.
Однородные неравенства – это неравенства, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.
Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cosx, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cosx=0\) решением уравнения. Если \(\cosx=0\), то \(\sinx=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).
Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cosx\)
Заметьте, что в этом примере перед тем, как делить на \(\cosx\), была сделана проверка — является ли \(\cosx=0\) решением уравнения. Нужно каждый раз проверять, является ли выражение, на которое вы хотите поделить, решением. Иначе вы рискуете потерять корни уравнения .
Показатели степеней в уравнении похожи – в каждом есть \(x^2-3x\). Давайте сделаем их одинаковыми. Представим \(48\cdot 4^\) как \(12\cdot 4^1\cdot 4^\).
Получился классический вид однородного уравнения. Поделим уравнение на \(4^\) . Положительное число в степени никогда не будет равно нулю, поэтому проверку можно не делать.
Обратите внимание: \((\frac<3><2>)^2\) \(=\) \(\frac<9><4>\) . С учетом этого сделаем замену.
Положительное число в любой степени всегда больше нуля, поэтому \(t>0\). Отметим это в решении, чтобы не забыть.
Однородные уравнения
Однородные уравнения
Алгебраический многочленf(x,y) с двумя переменными x и у называется однородным многочленомn -йстепени относительно этих переменных , если при любом имеет место тождество
Это означает, что однородный многочлен n-й степени f (х, у) можно представить в виде
где — коэффициенты многочлена, одновременно не обращающиеся в нуль.
Уравнениеf(x,y) = 0называется однородным алгебраическим уравнением n -й степени с двумя неизвестнымиx,у, если f(x,y) — однородный многочлен n-йстепени относительно этих переменных.
Например, уравнение вида является однородным уравнением 2-й степени относительно неизвестных x и у . Действительно, достаточно проверить выполнение условия (1). При одновременной замене , получим
т.е. условие (1) из определения выполняется (n = 2).
Аналогично, уравнение есть однородное уравнение 2-й степени по отношению к неизвестным x,y,z , поскольку при замене получаем
Итак, однородное алгебраическое уравнение — это уравнение, не меняющее своего вида при одновременном умножении всех его неизвестных на одно и то же число, отличное от нуля. Можно распространить понятие однородности на случай неалгебраических уравнений.
Пусть р(х) и q(x) — две произвольные функции, определённые на одном и том же множестве, .
Однородным уравнением n -й степени относительно функций р(х), q(x) называется уравнение вида
В частности, если функции р(х) и q(x) являются целыми алгебраическими многочленами, то и уравнение (2) будет относиться к аналогичному классу. В качестве другого примера рассмотрим уравнение вида
Оно является однородным тригонометрическим уравнением 2-й степени относительно функций
Перейдём к процедуре решения уравнения (2).
Если хотя бы один из коэффициентов или обращается в нуль, то левая часть уравнения легко раскладывается на множители. В результате уравнение оказывается равносильно на ОДЗ совокупности двух уравнений. Например, если , то получим совокупность
Если же и , то для решения однородного уравнения (2) необходимо рассмотреть два возможных случая.
1) Если то, поделив обе части уравнения на и обозначив после этого отношение p(x)/q(x) через t , получим алгебраическое уравнение n -йстепени относительно t:
решив которое и сделав обратную подстановку, найдём часть решений однородного уравнения.
2) Если q(х) = 0. то, подставив в уравнение вместо q(x) нуль, получим, что тогда и р(х) должно обращаться в нуль. Таким образом, этот случай сводится к решению системы уравнений
Осталось объединить все найденные решения. Уравнение (2) решено. Обратимся к примерам.
Пример №185.
Решить уравнение
Решение:
Перепишем уравнение: Видно, что это однородное уравнение 2-й степени относительно функций и1) Пусть х + 1 = 0 , но система решений не имеет.
2) Пусть теперь . Поделив на и обозначив , придём к квадратному уравнению . Оно имеет два корня , . Возвращаясь к переменной x , приходим к совокупности двух уравнений
Пример №186.
Решить в целых числах уравнение
Решение:
Заметим, что если у = 0, то x = 0, и, значит, пара (0;0) удовлетворяет уравнению. Пусть , тогда поделим обе части уравнения на :
Обозначимt = x/у, тогда имеем кубическое уравнение Подбором находим корень t = — 1. Делением многочлена получаем: Убеждаемся в том, что данное кубическое уравнение имеет единственный корень t = — 1, что соответствует у = — x. Положим x = р, где р — произвольное целое число, не равное 0. Тогда у = — р , и имеем бесконечно много решений в виде пар чисел (р;- р), , . Объединяя все полученные решения, приходим к ответу.
Ответ: где .
Пример №187.
Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение
Решение:
Заметим, что данное уравнение можно рассмотреть как однородное алгебраическое уравнение 4-й степени относительно xи а.
1) Если а = 0, то х = 0 .
2) Если , то поделим на , и положим :
Первый сомножитель в нуль не обращается, а второй имеет два корня
Ответ: при а = 0 единственное решение x = 0 ;
при два решения
Пример №188.
Найти действительные корни уравнения
Решение:
Данное уравнение в исходном виде не является однородным, но может быть сведено преобразованиями к однородному. Действительно, достаточно привести его к виду
Получили однородное уравнение 2-й степени относительно x + 1 и у — 1.
1) Если , то, поделив на и обозначив , получим нет решений.
2) Если у = 1, то, подставляя в уравнение, находим x = — 1 .
Ответ:
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.