Длина волны. Скорость распространения волны (Ерюткин Е.С.)
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
В ходе урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Длина волны. Скорость распространения волны». На этом уроке вы сможете познакомиться с особенными характеристиками волн. В первую очередь вы узнаете, что такое длина волны. Мы рассмотрим ее определение, способ ее обозначения и измерения. Затем мы также подробно рассмотрим скорость распространения волны.
Формула скорости волны
Фронт волны (волновая поверхность) — это геометрическое место точек среды, для которых в некоторый момент времени фаза волны имеет одно и то же значение.
Скоростью волны называют скорость, с которой движется фронт волны.
Формула фазовой скорости волны
Рассмотрим одномерный случай для гармонической волны. Уравнение волновой поверхности при это запишем как:
\[Ф_s=\omega t-kx+\varphi \ \left(1\right),\]
где$<\ Ф>_s$ — фаза волны; $k=\frac<2\pi ><\lambda >$ — волновое число; $\lambda $ — длина волны; $\omega $ — циклическая частота; $\varphi $ — начальная фаза. Уравнению (1) в каждый момент времени соответствует только одна точка оси X координата которой, равна:
Разным значениям фазы волны $Ф_s$ соответствуют разные волновые поверхности, каждая из которых в одномерной волне превращается в точку. Из формулы (2) видно, что волновые поверхности перемещаются в среде со скоростью:
где $T$ — период колебаний точек в волне.
Если волны гармонические, то скорость движения волновой поверхности равна скорости распространения волны. Скорость, которую определяет выражение (3) является фазовой скоростью.
Фазовая скорость гармонической волны совпадает со скорость распространения энергии волны.
Скорость волны зависит от вещества, в котором распространяется волна и типа волны. Скорость волны — это не то же самое, что скорость колебания частиц среды в волне.
Формула для вычисления фазовой скорости распространения продольных волн
Скорость распространения продольных упругих волн в однородных в газах или жидкостях может быть вычислена как:
где $K$ — модуль объемной упругости вещества; $\rho =const$ — плотность среды. В газах формула (4) выполняется, если избыточное давление много меньше, равновесного давление газа в невозмущенном состоянии.
Для нахождения скорости распространения продольных волн в газе применяют выражение:
где $\gamma $ — показатель адиабаты; $p$ — давление газа.
Продольные механические волны могут распространяться в твердых телах, их фазовая скорость равна:
где $E$ — модуль Юнга вещества стержня.
Формула для фазовой скорости распространения поперечных волн
Поперечные механические волны способны распространяться только в твердых телах. Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде при этом можно найти как:
где $G$ — модуль сдвига среды; $\rho $ — плотность вещества.
Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.
Формула для групповой скорости волн
Кроме фазовой скорости для описания распространения диспергирующих волн применяют понятие групповой скорости. При этом фазовая скорость может зависеть от частоты, при этом в веществе распространяются волны сложного негармонического характера, тогда с групповую скорость проще использовать, как характеристику скорости распространения волн.
Групповой скоростью называют скорость перемещения группы (цуга) волн, которые создают в каждый момент времени, локализованный в пространстве, волновой пакет. Любая реальная волна представляет собой суперпозицию гармонических волн. Скорость, с которой такая волна распространяется в веществе, имеющем дисперсию, равна фазовой скорости накрадывающихся волн. Распространение волны определяют перемещением энергии колебаний, которую переносит группа вол от источника.
Групповая скорость ($u$) связана с фазовой скоростью ($v$) формулой:
Если дисперсия отсутствует, то $\frac
Примеры задач с решением
Задание. За время равное $t=20$ c волне совершается $N=$100 колебаний, при этом расстояние между соседними максимумами волны составляет 1 м. Какова скорость распространения волны?
Решение. Сделаем рисунок.
В качестве основы для решения задачи используем формулу для вычисления фазовой скорости волны вида:
Найдем период колебаний как время одного полного колебания:
Используя формулу (1.2) скорость будем вычислять, применяя формулу:
Вычислим искомую скорость:
Ответ. $v=5\frac<м><с>$
Задание. Уравнение плоской волны, которая распространяется вдоль положительного направления оси X, имеет вид: $\xi \left(x,t\right)=2<\cos \left[\omega \left(t-\frac
Решение. Фазовую скорость движения волны найдем как:
где период — величина обратная частоте колебаний:
Вычислим фазовую скорость:
\[v=450\cdot 0,8=360\ \left(\frac<м><с>\right).\]
Скорость колебания частиц равна:
Максимальное значение скорости колебаний частиц в волне из (2.3) равно:
Циклическую частоту найдем как:
Вычислим максимальную скорость колебаний частиц:
Как найти скорость из уравнения плоской волны
| Уравнения плоской и сферической волн |   |
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом. Уравнение плоской волны Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t:
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости
– это уравнение плоской волны. Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z. В общем виде уравнение плоской волны записывается так:
Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны. Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид: Уравнение волны можно записать и в другом виде. Введем волновое число
где Так как
Уравнение сферической волны В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической. Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е.
где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице. Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при источники: http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_142_formula_skorosti_volny.php http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B.%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/05-2.htm |
.
. Пусть колебание точек, лежащих в плоскости 
, имеет вид (при начальной фазе 
)
.
,
. Это будет, если энергия волны не поглощается средой.
, или 
.
.
, или в векторной форме:
,
– волновой вектор, 
– нормаль к волновой поверхности.
, то 
. Отсюда 
. Тогда уравнение плоской волны запишется так:
.
). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу 
. Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону 
. Следовательно, уравнение сферической волны:
, или 
,
, амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний 
, следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.