Как найти собственные значения дифференциального уравнения

Методы решения задач о собственных
значениях и векторах матриц

Постановка задачи

Пусть [math]A[/math] — действительная числовая квадратная матрица размера [math](n\times n)[/math] . Ненулевой вектор [math]X= \bigl(x_1,\ldots,x_n\bigr)^T[/math] размера [math](n\times1)[/math] , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором матрицы [math]A[/math] . Число [math]\lambda[/math] в равенстве (2.1) называется собственным значением. Говорят, что собственный вектор [math]X[/math] соответствует (принадлежит) собственному значению [math]\lambda[/math] .

Равенство (2.1) равносильно однородной относительно [math]X[/math] системе:

Система (2.2) имеет ненулевое решение для вектора [math]X[/math] (при известном [math]\lambda[/math] ) при условии [math]|A-\lambda E|=0[/math] . Это равенство есть характеристическое уравнение:

где [math]P_n(\lambda)[/math] — характеристический многочлен n-й степени. Корни [math]\lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] характеристического уравнения (2.3) являются собственными (характеристическими) значениями матрицы [math]A[/math] , а соответствующие каждому собственному значению [math]\lambda_i,

i=1,\ldots,n[/math] , ненулевые векторы [math]X^i[/math] , удовлетворяющие системе

являются собственными векторами.

Требуется найти собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Поставленная задача часто именуется второй задачей линейной алгебры.

Проблема собственных значений (частот) возникает при анализе поведения мостов, зданий, летательных аппаратов и других конструкций, характеризующихся малыми смещениями от положения равновесия, а также при анализе устойчивости численных схем. Характеристическое уравнение вместе с его собственными значениями и собственными векторами является основным в теории механических или электрических колебаний на макроскопическом или микроскопическом
уровнях.

Различают полную и частичную проблему собственных значений, когда необходимо найти весь спектр (все собственные значения) и собственные векторы либо часть спектра, например: [math]\rho(A)= \max_|\lambda_i(A)|[/math] и [math]\min_|\lambda_i(A)|[/math] . Величина [math]\rho(A)[/math] называется спектральным радиусом .

1. Если для собственного значения [math]\lambda_i[/math] — найден собственный вектор [math]X^i[/math] , то вектор [math]\mu X^i[/math] , где [math]\mu[/math] — произвольное число, также является собственным вектором, соответствующим этому же собственному значению [math]\lambda_i[/math] .

2. Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы; k-кратному корню характеристического уравнения соответствует не более [math]k[/math] линейно независимых собственных векторов.

3. Симметрическая матрица имеет полный спектр [math]\lambda_i,

i=\overline<1,n>[/math] , действительных собственных значений; k-кратному корню характеристического уравнения симметрической матрицы соответствует ровно [math]k[/math] линейно независимых собственных векторов.

4. Положительно определенная симметрическая матрица имеет полный спектр действительных положительных собственных значений.

Метод непосредственного развертывания

Полную проблему собственных значений для матриц невысокого порядка [math](n\leqslant10)[/math] можно решить методом непосредственного развертывания. В этом случае будем иметь

Уравнение [math]P_n(\lambda)=0[/math] является нелинейным (методы его решения изложены в следующем разделе). Его решение дает [math]n[/math] , вообще говоря, комплексных собственных значений [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] , при которых [math]P_n(\lambda_i)=0

(i=\overline<1,n>)[/math] . Для каждого [math]\lambda_i[/math] может быть найдено решение однородной системы [math](A-\lambda_iE)X^i=0,

i=\overline<1,n>[/math] . Эти решения [math]X^i[/math] , определенные с точностью до произвольной константы, образуют систему [math]n[/math] , вообще говоря, различных векторов n-мерного пространства. В некоторых задачах несколько этих векторов (или все) могут совпадать.

Алгоритм метода непосредственного развертывания

1. Для заданной матрицы [math]A[/math] составить характеристическое уравнение (2.5): [math]|A-\lambda E|=0[/math] . Для развертывания детерминанта [math]|A-\lambda E|[/math] можно использовать различные методы, например метод Крылова, метод Данилевского или другие методы.

2. Решить характеристическое уравнение и найти собственные значения [math]\lambda_1, \lambda_2, \ldots,\lambda_n[/math] . Для этого можно применить методы, изложенные далее.

3. Для каждого собственного значения составить систему (2.4):

и найти собственные векторы [math]X^i[/math] .

Замечание. Каждому собственному значению соответствует один или несколько векторов. Поскольку определитель [math]|A-\lambda_iE|[/math] системы равен нулю, то ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: [math]\operatorname(A-\lambda_iE)=r и в системе имеется ровно [math]r[/math] независимых уравнений, а [math](n-r)[/math] уравнений являются зависимыми. Для нахождения решения системы следует выбрать [math]r[/math] уравнений с [math]r[/math] неизвестными так, чтобы определитель составленной системы был отличен от нуля. Остальные [math](n-r)[/math] неизвестных следует перенести в правую часть и считать параметрами. Придавая параметрам различные значения, можно получить различные решения системы. Для простоты, как правило, попеременно полагают значение одного параметра равным 1, а остальные равными 0.

Пример 2.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]A\in \mathbb^<2\times 2>[/math] , где [math]A=\begin3&-2\\-4&1\end[/math] .

1. Запишем уравнение (2.5): [math]|A-\lambda E|= \begin3-\lambda&-2\\-4& 1-\lambda \end= \lambda^2-4 \lambda-5=0[/math] , отсюда получаем характеристическое уравнение [math]P_2(\lambda)\equiv \lambda^2-4 \lambda-5=0[/math] .

2. Находим его корни (собственные значения): [math]\lambda_1=5,

3. Составим систему [math](A-\lambda_iE)X^i=0,

i=1,2[/math] , для каждого собственного
значения и найдем собственные векторы:

Отсюда [math]x_1^1=-x_2^1[/math] . Если [math]x_2^1=\mu[/math] , то [math]x_1^1=-\mu[/math] . В результате получаем [math]X^1= \bigl\^T= \bigl\<\mu(-1;1)\bigr\>^T[/math] .

Для [math]\lambda_2=-1[/math] имеем

Отсюда [math]x_2^2=2x_1^2[/math] . Если [math]x_1^2=\mu[/math] , то [math]x_2^2=2\mu[/math] . В результате получаем [math]X^2= \bigl\^T= \bigl\<\mu(1;2)\bigr\>^T[/math] , где [math]\mu[/math] — произвольное действительное число.

Пример 2.2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]A= \begin2&-1&1\\-1&2&-1\\0&0&1\end[/math] .

1. Запишем характеристическое уравнение (2.5):

2. Корни характеристического уравнения: [math]\lambda_<1,2>=1[/math] (кратный корень), [math]\lambda_3=3[/math] — собственные значения матрицы.

3. Найдем собственные векторы.

Для [math]\lambda_<1,2>=1[/math] запишем систему [math](A-\lambda_<1,2>E)\cdot X^<1,2>=0\colon[/math]

Поскольку [math]\operatorname(A-\lambda_<1,2>E)=1[/math] , в системе имеется одно независимое уравнение

x_3^<1,2>=3[/math] , получаем [math]x_1^<1,2>=1[/math] и собственный вектор [math]X^1= \begin1&1&0\end^T[/math] .

x_3^<1,2>=1[/math] , получаем [math]x_1^<1,2>=-1[/math] и другой собственный вектор [math]X^2= \begin-1&0&1\end^T[/math] . Заметим, что оба собственных вектора линейно независимы.

Для собственного значения [math]\lambda_3=3[/math] запишем систему [math](A-\lambda_3E)\cdot X^3=0\colon[/math]

Поскольку [math]\operatorname(A-\lambda_3E)=2[/math] , то выбираем два уравнения:

x_1^3=-x_2^3[/math] . Полагая [math]x_2^3=1[/math] , получаем [math]x_1^3=-1[/math] и собственный вектор [math]X^3=\begin-1&1&0 \end^T[/math] .

Метод итераций для нахождения собственных значений и векторов

Для решения частичной проблемы собственных значений и собственных векторов в практических расчетах часто используется метод итераций (степенной метод). На его основе можно определить приближенно собственные значения матрицы [math]A[/math] и спектральный радиус [math]\rho(A)= \max_\bigl|\lambda_i(A)\bigr|[/math] .

Пусть матрица [math]A[/math] имеет [math]n[/math] линейно независимых собственных векторов [math]X^i,

i=1,\ldots,n[/math] , и собственные значения матрицы [math]A[/math] таковы, что

Алгоритм метода итераций

1. Выбрать произвольное начальное (нулевое) приближение собственного вектора [math]X^<1(0)>[/math] (второй индекс в скобках здесь и ниже указывает номер приближения, а первый индекс без скобок соответствует номеру собственного значения). Положить [math]k=0[/math] .

\lambda_1^<(1)>= \frac>>[/math] , где [math]i[/math] — любой номер [math]1\leqslant i\leqslant n[/math] , и положить [math]k=1[/math] .

4. Найти [math]\lambda_1^<(k+1)>= \frac>>[/math] , где [math]x_i^<1(k+1)>, x_i^<1(k)>[/math] — соответствующие координаты векторов [math]X^<1(k+1)>[/math] и [math]X^<1(k)>[/math] . При этом может быть использована любая координата с номером [math]i,

1\leqslant i\leqslant n[/math] .

5. Если [math]\Delta= \bigl|\lambda_1^<(k+1)>— \lambda_1^<(k)>\bigr|\leqslant \varepsilon[/math] , процесс завершить и положить [math]\lambda_1\cong \lambda_1^[/math] . Если \varepsilon»>[math]\Delta>\varepsilon[/math] , положить [math]k=k+1[/math] и перейти к пункту 3.

1. Процесс последовательных приближений

сходится, т.е. при [math]x\to\infty[/math] вектор [math]X^<1(k)>[/math] стремится к собственному вектору [math]X^1[/math] . Действительно, разложим [math]X^<1(0)>[/math] по всем собственным векторам: [math]\textstyle= \sum\limits_^ c_iX^i>[/math] . Так как, согласно (2.4), [math]AX^i= \lambda_iX^i[/math] , то

При большом [math]k[/math] дроби [math]<\left(\frac<\lambda_2><\lambda_1>\right)\!>^k, \ldots, <\left(\frac<\lambda_n><\lambda_1>\right)\!>^k[/math] малы и поэтому [math]A^kX^<1(0)>= c_1\lambda_1^kX^1[/math] , то есть [math]X^<1(k)>\to X^1[/math] при [math]k\to\infty[/math] . Одновременно [math]\lambda_1= \lim\limits_ \frac^<1(k+1)>>^<1(k)>>[/math] .

2. Вместо применяемой в пункте 4 алгоритма формулы для [math]\lambda_1^<(k+1)>[/math] можно взять среднее арифметическое соответствующих отношений для разных координат.

3. Метод может использоваться и в случае, если наибольшее по модулю собственное значение матрицы [math]A[/math] является кратным, т.е.

4. При неудачном выборе начального приближения [math]X^<1(0)>[/math] предел отношения [math]\frac>>[/math] может не существовать. В этом случае следует задать другое начальное приближение.

5. Рассмотренный итерационный процесс для [math]\lambda_1[/math] сходится линейно, с параметром [math]c=\frac<\lambda_2><\lambda_1>[/math] и может быть очень медленным. Для его ускорения используется алгоритм Эйткена.

6. Если [math]A=A^T[/math] (матрица [math]A[/math] симметрическая), то сходимость процесса при определении [math]\rho(A)[/math] может быть ускорена.

7. Используя [math]\lambda_1[/math] , можно определить следующее значение [math]\lambda_2[/math] по формуле [math]\lambda_2= \frac— \lambda_1 x_i^<1(k)>>— \lambda_1 x_i^<1(k-1)>>

(i=1,2,\ldots,n)[/math] . Эта формула дает грубые значения для [math]\lambda_2[/math] , так как значение [math]\lambda_1[/math] является приближенным. Если модули всех собственных значений различны, то на основе последней формулы можно вычислять и остальные [math]\lambda_j

8. После проведения нескольких итераций рекомендуется «гасить» растущие компоненты получающегося собственного вектора. Это осуществляется нормировкой вектора, например, по формуле [math]\frac><\|X^<1(k)>\|_1>[/math] .

Пример 2.3. Для матрицы [math]A=\begin5&1&2\\ 1&4&1\\ 2&1&3 \end[/math] найти спектральный радиус степенным методом с точностью [math]\varepsilon=0,\,1[/math] .

1. Выбирается начальное приближение собственного вектора [math]X^<(0)>= \begin 1&1&1 \end^T[/math] . Положим [math]k=0[/math] .

5. Так как \varepsilon»>[math]\bigl|\lambda_1^<(2)>— \lambda_1^<(1)>\bigr|= 0,\!75> \varepsilon[/math] , то процесс необходимо продолжить. Результаты вычислений удобно представить в виде табл. 10.10.

Точность по достигнута на четвертой итерации. Таким образом, в качестве приближенного значения [math]\lambda_1[/math] берется 6,9559, а в качестве собственного вектора принимается [math]X^1= \begin 2838& 1682& 1888\end^T[/math] .

Так как собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя, то [math]X^1[/math] лучше пронормировать, т.е. поделить все его компоненты на величину нормы. Для рассматриваемого примера получим

Согласно замечаниям, в качестве собственного значения [math]\lambda_1[/math] матрицы можно взять не только отношение

а также их среднее арифметическое [math]\frac<6,\!9559+6,\!728+6,\!8905><3>\approx 6,\!8581[/math] .

Пример 2.4. Найти максимальное по модулю собственное значение матрицы [math]A=\begin2&-1&1\\ -1&2&-1\\ 0&0&3 \end[/math] и соответствующий собственный вектор.

1. Зададим начальное приближение [math]X^<1(0)>= \begin1&-1&1 \end^T[/math] и [math]\varepsilon=0,\!0001[/math] .

Выполним расчеты согласно методике (табл. 10.11).

В результате получено собственное значение [math]\lambda_1\cong 3,\!00003[/math] и собственный вектор [math]X^1= \begin 88573&-88573&1\end^T[/math] или после нормировки

Метод вращений для нахождения собственных значений

Метод используется для решения полной проблемы собственных значений симметрической матрицы и основан на преобразовании подобия исходной матрицы [math]A\in\mathbb^[/math] с помощью ортогональной матрицы [math]H[/math] .

Напомним, что две матрицы [math]A[/math] и [math]A^<(i)>[/math] называются подобными ( [math]A\sim A^<(i)>[/math] или [math]A^<(i)>\sim A[/math] ), если [math]A^<(i)>=H^<-1>AH[/math] или [math]A=HA^<(i)>H^<-1>[/math] , где [math]H[/math] — невырожденная матрица.

В методе вращений в качестве [math]H[/math] берется ортогональная матрица, такая, что [math]HH^=H^H=E[/math] , т.е. [math]H^=H^<-1>[/math] . В силу свойства ортогонального преобразования евклидова норма исходной матрицы [math]A[/math] не меняется. Для преобразованной матрицы [math]A^<(i)>[/math] сохраняется ее след и собственные значения [math]\lambda_i\colon[/math]

[math]\operatorname