Как найти среднюю скорость по уравнению координаты

Мгновенная и средняя скорость

Если материальная точка находится в движении, то ее координаты подвергаются изменениям. Этот процесс может происходить быстро или медленно.

Величина, которая характеризует быстроту изменения положения координаты, называется скоростью.

Средняя скорость – это векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени, и сонаправленная с вектором перемещения » open=» υ = ∆ r ∆ t ; » open=» υ ↑ ↑ ∆ r .

Рисунок 1 . Средняя скорость сонаправлена перемещению

Модуль средней скорости по пути равняется » open=» υ = S ∆ t .

Мгновенная скорость точки. Формулы

Мгновенная скорость характеризует движение в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» считается не корректным, но применимым при математических расчетах.

Мгновенной скоростью называют предел, к которому стремится средняя скорость » open=» υ при стремлении промежутка времени ∆ t к 0 :

υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ .

Направление вектора υ идет по касательной к криволинейной траектории, потому как бесконечно малое перемещение d r совпадает с бесконечно малым элементом траектории d s .

Рисунок 2 . Вектор мгновенной скорости υ

Имеющееся выражение υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ в декартовых координатах идентично ниже предложенным уравнениям:

υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙ .

Перемещение и мгновенная скорость

Запись модуля вектора υ примет вид:

υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 .

Чтобы перейти от декартовых прямоугольных координат к криволинейным, применяют правила дифференцирования сложных функций. Если радиус-вектор r является функцией криволинейных координат r = r q 1 , q 2 , q 3 , тогда значение скорости запишется как:

υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i .

Рисунок 3 . Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат

При сферических координатах предположим, что q 1 = r ; q 2 = φ ; q 3 = θ , то получим υ , представленную в такой форме:

υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ , где υ r = r ˙ ; υ φ = r φ ˙ sin θ ; υ θ = r θ ˙ ; r ˙ = d r d t ; φ ˙ = d φ d t ; θ ˙ = d θ d t ; υ = r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2 .

Мгновенной скоростью называют значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент, связанной с элементарным перемещением соотношением d r = υ ( t ) d t

Дан закон прямолинейного движения точки x ( t ) = 0 , 15 t 2 — 2 t + 8 . Определить ее мгновенную скорость через 10 секунд после начала движения.

Решение

Мгновенной скоростью принято называть первую производную радиус-вектора по времени. Тогда ее запись примет вид:

υ ( t ) = x ˙ ( t ) = 0 . 3 t — 2 ; υ ( 10 ) = 0 . 3 × 10 — 2 = 1 м / с .

Ответ: 1 м / с .

Движение материальной точки задается уравнением x = 4 t — 0 , 05 t 2 . Вычислить момент времени t о с т , когда точка прекратит движение, и ее среднюю путевую скорость » open=» υ .

Решение

Вычислим уравнение мгновенной скорости, подставим числовые выражения:

υ ( t ) = x ˙ ( t ) = 4 — 0 , 1 t .

4 — 0 , 1 t = 0 ; t о с т = 40 с ; υ 0 = υ ( 0 ) = 4 ; » open=» υ = ∆ υ ∆ t = 0 — 4 40 — 0 = 0 , 1 м / с .

Ответ: заданная точка остановится по прошествии 40 секунд; значение средней скорости равняется 0 , 1 м / с .

Неравномерное движение и средняя скорость

теория по физике 🧲 кинематика

Неравномерное движение — движение с переменной скоростью, которая может менять как направление, так и модуль.

Неравномерное движение можно охарактеризовать средней скоростью. Различают среднюю векторную и среднюю скалярную скорости.

Средняя векторная скорость

Средняя векторная скорость — это скорость, равная отношению перемещения тела ко времени, в течение которого это перемещение было совершено.

v _ср — средняя векторная скорость, s — перемещение тела, совершенное за время t

Направление вектора средней скорости всегда совпадает с направлением вектора перемещения.

Чтобы вычислить среднюю векторную скорость, нужно поделить сумму всех перемещений на сумму всех временных промежутков, в течение которых эти перемещения были совершены:

Пример №1. Миша пробежал стометровку за 16 секунд. Через 1 минуту он вернулся на старт. Найти среднюю векторную скорость мальчика.

Миша совершил одинаковые по модулю, но разные по направлению перемещения. При сложении этих векторов получается 0. Поэтому средняя векторная скорость также равна нулю:

Средняя скалярная скорость

Средняя скалярная (путевая) скорость — это скорость, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, в течение которого этот путь был пройден.

v_ср — средняя путевая скорость, s — путь, пройденный телом за время t

Чтобы вычислить среднюю путевую скорость, нужно поделить сумму всех путей на сумму всех временных промежутков, в течение которых эти пути были преодолены:

Пример №2. Мальчик пробежал по периметру квадратного поля сто стороной 100 м. На первые две стороны мальчик потратил по 15 секунд, а на последние две — по 20 секунд. Найти среднюю путевую скорость мальчика.

У квадрата 4 стороны, поэтому путь мальчика составляют 4 дистанции по 100 м каждая. Поэтому средняя путевая скорость равна:

Средняя скалярная скорость всегда больше или равна модулю средней векторной скорости:

• v_ср= v _ср, если путь равен модулю перемещения. Так бывает в случае равномерного прямолинейного движения.
• v_ср>v _ср, если путь больше модуля перемещения. Так бывает в случае неравномерного прямолинейного или любого криволинейного движения.

Пример №3. Рыболов остановился на берегу круглого пруда и увидел на противоположном берегу удобное для рыбалки место. Он к нему шел в течение 2 минут. Вычислите среднюю путевую и среднюю векторную скорости рыболова после того, как он придет на новое место, если радиус пруда равен 50 м.

Две противоположные точки окружности соединяются отрезком, проходящим через его центр — диаметром. Поэтому модуль вектора перемещения равен двум радиусам пруда:

Чтобы дойти до диаметрально противоположной точки окружности, нужно пройти путь, равный половине окружности:

Переведя 2 минуты в СИ, получим 120 с. Модуль средней векторно скорости равен:

• Если известны скорости на первой и второй половине пути (s₁=s₂), средняя скорость равна:

• Если известно время прохождения отдельных участков пути и скорости движения на этих участках, средняя скорость равна:

• Если тело движется прямолинейно и равноускорено, его средняя скорость равна половине суммы начальной и конечной скорости:

• Если известны скорости тела за равные промежутки времени, его средняя скорость равна:

Пример №4. Первые полчаса автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч, а потом 1 час он двигался со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля.

Нам известны скорости на каждом из участков пути и время, в течение которого каждый из этих участков был преодолен. Поэтому:

Средняя скорость

Перемещение материальной точки

Пусть материальная точка совершает движение по оси X все время в одном направлении. Тогда перемещением этой материальной точки за отрезок времени $\Delta t=t_2-t_1$ будет отрезок $\Delta x=x_2-x_1$. Если материальная точка все время своего движения перемещалась в одном направлении, то пройденный путь ($\Delta s$) равен по модулю величине перемещения:

\[\Delta s=\left|\Delta x\right|\left(1\right).\]

Если точка движется сначала в одном направлении, затем останавливается и движется в противоположном направлении, (например, так движется тело брошенное вертикально вверх) то путь равен сумме модулей перемещений в обоих направлениях:

\[\Delta s=\left|\Delta x_1\right|+\left|\Delta x_2\right|+\dots \left(2\right).\]

Определение средней скорости

Средней скоростью ($\left\langle v\right\rangle $) материальной точки за промежуток времени $\Delta t$ называют физическую величину, которая равна отношению перемещения, которое совершило тело к этому промежутку времени:

\[\left\langle v\right\rangle =\frac<\Delta x><\Delta t>\left(3\right).\]

Направление средней скорости такое же, как у перемещения.

Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:

Единица измерения скорости (в том числе и средней скорости) в Международной системе единиц (СИ) является метр в секунду:

Средняя скорость при переменном движении

При неравномерном движении величина средней скорости сильно зависит от выбора промежутка времени движения тела.

Рассмотрим движение тела, которое свободно падает вниз. Закон движения при этом:

Для моментов времени $t_1=0,1\ $c координата тела (подставим время $t_1$ в формулу (4)) равна: $x_1=0,049\ $м; для $t_2=0,2\ $c$\ x_2=0,196$ м, тогда $\left\langle v\right\rangle $в промежутке времени от $t_1=0,1$ с до $t_2=0,2\ $c будет:

Если взять для того же свободно падающего тела промежуток времени от $t_1=0,7$ с до $t_2=0,8\ $c, то средняя скорость получится равной $\left\langle v\right\rangle =7,4\frac<м><с>$.

Средняя скорость равномерного движения

Только при равномерном движении средняя скорость является постоянной величиной и не зависит от выбора промежутка времени, в который движется тело. При равномерном движении материальной точки по оси X кинематические уравнения для перемещения запишем как:

Найдем среднюю скорость движения, используя определение (3) и выражения (6):

Для оценки численной величины средней скорости на практике используют следующее определение $\left\langle v\right\rangle $: средняя скорость равна отношению пройдённого пути (s) ко времени (t), которое было затрачено на движение:

\[\left\langle v\right\rangle =\frac\left(7\right).\]

Определяемая таким образом средняя скорость является скалярной величиной.

Примеры задач с решением

Задание. Пешеход, потратил первую половину времени своего движения, двигаясь со скоростью $v_1=5\frac<км><ч>$, вторую половину времени он шел со скоростью $v_3=3\frac<км><ч>$. Какова средняя скорость движения человека?

Решение. Сделаем рисунок.

Для решения задачи используем формулу, определяющую среднюю скорость:

\[\left\langle v\right\rangle =\frac\ \left(1.1\right),\]

где путь складывается из двух участков движения:

Причем по условию задачи:

\[s_1=v_1t_1=v_1\frac<2>\left(1.3\right)\ и\ \] \[s_2=v_2t_2=v_2\frac<2>\left(1.4\right).\]

Подставим в определение средней скорости (1.1) правые части выражений (1.2) — (1.4), и учтем, что $t=t_1+t_2$ имеем:

Вычислим среднюю скорость пешехода:

\[\left\langle v\right\rangle =\frac<5+3><2>=4\ (\frac<м><с>).\]

Ответ. $\left\langle v\right\rangle =4\frac<м><с>$

Задание. Какова средняя скорость, которую имела материальная точка за промежуток времени $\tau $, если уравнение ее скорости имеет вид:

\[v\left(t\right)=A+Bt+Ct^2\ \left(0\le t\le \tau \right)\left(2.1\right).\]

Решение. В качестве основы для решения задачи используем формулу ($t=\tau $):

\[\left\langle v\right\rangle =\frac\ \left(2.1\right).\]

Найдем путь материальной точки, учитывая уравнение скорости из данных задачи:

Подставим правую часть выражения (2.2) в (2.1), имеем:

Ответ. $\left\langle v\right\rangle =A+\frac<2>+\frac^2><3>$