Экстремум функции двух переменных. Примеры исследования функций на экстремум.
Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$. Говорят, что $(x_0,y_0)$ – точка (локального) максимума, если для всех точек $(x,y)$ некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ выполнено неравенство $f(x,y) f(x_0,y_0)$, то точку $(x_0,y_0)$ называют точкой (локального) минимума.
Точки максимума и минимума часто называют общим термином – точки экстремума.
Если $(x_0,y_0)$ – точка максимума, то значение функции $f(x_0,y_0)$ в этой точке называют максимумом функции $z=f(x,y)$. Соответственно, значение функции в точке минимума именуют минимумом функции $z=f(x,y)$. Минимумы и максимумы функции объединяют общим термином – экстремумы функции.
Алгоритм исследования функции $z=f(x,y)$ на экстремум
- Найти частные производные $\frac<\partial z><\partial x>$ и $\frac<\partial z><\partial y>$. Составить и решить систему уравнений $ \left \ < \begin
& \frac<\partial z><\partial x>=0;\\ & \frac<\partial z><\partial y>=0. \end \right.$. Точки, координаты которых удовлетворяют указанной системе, называют стационарными. - Найти $\frac<\partial^2z><\partial x^2>$, $\frac<\partial^2z><\partial x\partial y>$, $\frac<\partial^2z><\partial y^2>$ и вычислить значение $\Delta=\frac<\partial^2z><\partial x^2>\cdot \frac<\partial^2z><\partial y^2>-\left(\frac<\partial^2z><\partial x\partial y>\right)^2$ в каждой стационарной точке. После этого использовать следующую схему:
- Если $\Delta > 0$ и $\frac<\partial^2z><\partial x^2>> 0$ (или $\frac<\partial^2z><\partial y^2>> 0$), то в исследуемая точка есть точкой минимума.
- Если $\Delta > 0$ и $\frac<\partial^2z><\partial x^2>0$, то $\frac<\partial^2z><\partial x^2>\cdot \frac<\partial^2z><\partial y^2>-\left(\frac<\partial^2z><\partial x\partial y>\right)^2 > 0$. А отсюда следует, что $\frac<\partial^2z><\partial x^2>\cdot \frac<\partial^2z><\partial y^2>> \left(\frac<\partial^2z><\partial x\partial y>\right)^2 ≥ 0$. Т.е. $\frac<\partial^2z><\partial x^2>\cdot \frac<\partial^2z><\partial y^2>> 0$. Если произведение неких величин больше нуля, то эти величины одного знака. Т.е., например, если $\frac<\partial^2z><\partial x^2>> 0$, то и $\frac<\partial^2z><\partial y^2>> 0$. Короче говоря, если $\Delta > 0$ то знаки $\frac<\partial^2z><\partial x^2>$ и $\frac<\partial^2z><\partial y^2>$ совпадают.
Исследовать на экстремум функцию $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$.
Будем следовать указанному выше алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:
Сократим каждое уравнение этой системы на $2$ и перенесём числа в правые части уравнений:
Мы получили систему линейных алгебраических уравнений. Мне в этой ситуации кажется наиболее удобным применение метода Крамера для решения полученной системы.
Значения $x=2$, $y=-3$ – это координаты стационарной точки $(2;-3)$. Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:
Вычислим значение $\Delta$:
Так как $\Delta > 0$ и $\frac<\partial^2 z> <\partial x^2>> 0$, то согласно алгоритму точка $(2;-3)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $(2;-3)$:
$$ z_<\min>=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\cdot (-3)+7=-90. $$
Ответ: $(2;-3)$ – точка минимума; $z_<\min>=-90$.
Исследовать на экстремум функцию $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$.
Будем следовать указанному выше алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:
Сократим первое уравнение на 3, а второе – на 6.
Если $x=0$, то второе уравнение приведёт нас к противоречию: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Отсюда вывод: $x\neq 0$. Тогда из второго уравнения имеем: $xy=2$, $y=\frac<2>
$. Подставляя $y=\frac<2> $ в первое уравнение, будем иметь: Получили биквадратное уравнение. Делаем замену $t=x^2$ (при этом имеем в виду, что $t > 0$):
Если $t=1$, то $x^2=1$. Отсюда имеем два значения $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Если $t=4$, то $x^2=4$, т.е. $x_3=2$, $x_4=-2$. Вспоминая, что $y=\frac<2>
$, получим: Итак, у нас есть четыре стационарные точки: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. На этом первый шаг алгоритма закончен.
Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:
Теперь будем вычислять значение $\Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(1;2)$. В этой точке имеем:
Так как $\Delta(M_1) 0$ и $\left.\frac<\partial^2 z><\partial x^2>\right|_
> 0$, то согласно алгоритму $M_3(2;1)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$: $$ z_<\min>=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$
Осталось исследовать точку $M_4(-2;-1)$. В этой точке получим:
Так как $\Delta(M_4) > 0$ и $\left.\frac<\partial^2 z><\partial x^2>\right|_
0$ (так как оба сомножителя $36$ и $(2^2-1^2)$ положительны) и можно не находить конкретное значение $\Delta$. Правда, для типовых расчётов это замечание бесполезно, – там требуют довести вычисления до числа 🙂 Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$.
Будем следовать алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:
Сократим оба уравнения на $4$:
Добавим к второму уравнению первое и выразим $y$ через $x$:
Подставляя $y=-x$ в первое уравнение системы, будем иметь:
Из полученного уравнения имеем: $x=0$ или $x^2-2=0$. Из уравнения $x^2-2=0$ следует, что $x=-\sqrt<2>$ или $x=\sqrt<2>$. Итак, найдены три значения $x$, а именно: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt<2>$, $x_3=\sqrt<2>$. Так как $y=-x$, то $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt<2>$, $y_3=-x_3=-\sqrt<2>$.
Первый шаг решения окончен. Мы получили три стационарные точки: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt<2>,\sqrt<2>)$, $M_3(\sqrt<2>,-\sqrt<2>)$.
Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:
Теперь будем вычислять значение $\Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(0;0)$. В этой точке имеем:
$$\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0.$$
Так как $\Delta(M_1) = 0$, то согласно алгоритму требуется дополнительное исследование, ибо ничего определённого про наличие экстремума в рассматриваемой точке сказать нельзя. Оставим покамест эту точку в покое и перейдём в иным точкам.
Исследуем точку $M_2(-\sqrt<2>,\sqrt<2>)$. В этой точке получим:
Так как $\Delta(M_2) > 0$ и $\left.\frac<\partial^2 z><\partial x^2>\right|_
> 0$, то согласно алгоритму $M_2(-\sqrt<2>,\sqrt<2>)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_2$: Аналогично предыдущему пункту исследуем точку $M_3(\sqrt<2>,-\sqrt<2>)$. В этой точке получим:
Так как $\Delta(M_3) > 0$ и $\left.\frac<\partial^2 z><\partial x^2>\right|_
> 0$, то согласно алгоритму $M_3(\sqrt<2>,-\sqrt<2>)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$: Настал черёд вернуться к точке $M_1(0;0)$, в которой $\Delta(M_1) = 0$. Согласно алгоритму требуется дополнительное исследование. Под этой уклончивой фразой подразумевается «делайте, что хотите» :). Общего способа разрешения таких ситуаций нет, – и это понятно. Если бы такой способ был, то он давно бы вошёл во все учебники. А покамест приходится искать особый подход к каждой точке, в которой $\Delta = 0$. Ну что же, поисследуем поведение функции в окрестности точки $M_1(0;0)$. Сразу отметим, что $z(M_1)=z(0;0)=3$. Предположим, что $M_1(0;0)$ – точка минимума. Тогда для любой точки $M$ из некоторой окрестности точки $M_1(0;0)$ получим $z(M) > z(M_1) $, т.е. $z(M) > 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) 3$? Тогда в точке $M_1$ точно не будет максимума.
Рассмотрим точки, у которых $y=x$, т.е. точки вида $(x,x)$. В этих точках функция $z$ будет принимать такие значения:
$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$
Так как в любой окрестности точки $M_1(0;0)$ имеем $2x^4 > 0$, то $2x^4+3 > 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z > 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой максимума.
Точка $M_1(0;0)$ не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. Вывод: $M_1$ вообще не является точкой экстремума.
Ответ: $(-\sqrt<2>,\sqrt<2>)$, $(\sqrt<2>,-\sqrt<2>)$ – точки минимума функции $z$. В обеих точках $z_<\min>=-5$.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Условные экстремумы и функция Лагранжа
В задачах оптимизации возникает необходимость найти экстремумы функции двух и более переменных
при условии, что существует связь между переменными этой связи, заданная уравнением . В этом случае говорят, что требуется найти условный экстремум.Для того чтобы найти условный экстремум требуется находить частные производные и решать системы уравнений Существует алгоритм нахождения условного экстремума из трёх шагов, который сейчас и разберём на примере, и геометрический смысл условного экстремума, который должен дойти до каждого при разборе этого самого примера.
Итак, алгоритм, который разберём на примере самой распространённой задачи — нахождение условного экстремума функции двух переменных..
Шаг 1. Вводится функция Лагранжа
,где первое слагаемое — сама исходная функция, а второе слагаемое со знаком минус — левая часть уравнения условия связи, умноженная на
(лямбда) — множитель Лагранжа.Пример 1. Найти условные экстремумы функции двух переменных
, выражающей площадь прямоугольника через его стороны x и y при условии , означающем, что существует верёвка, которой можно ограничить этот прямоугольник, и длина этой верёвки равна 100.Шаг 1. Решение. Приведём уравнение условия связи к требуемому виду с нулём в правой части:
.Составим функцию Лагранжа:
.Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств частных производных нулю и уравения условия связи (необходимый признак существования условного экстремума):
Решения этой системы уравнений являются точками возможного условного экстремума — стационарными точками или, как ещё говорят, критическими точками.
Решение. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:
Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :
Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значение множителя Лагранжа:
Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции:
Получили
и . Эти значения являются также координатами стационарной точки. Таким образом, получили стационарную точку .Шаг 3. Пусть
является стационарной точкой, найденной на шаге 2. Чтобы определить, является ли условный экстремум минимумом или максимумом, нужно найти второй дифференциал функции Лагранжаи в полученном выражении подставить вместо «лямбды» её значения (значения множителя Лагранжа), найденные на шаге 2.
Если значение второго дифференциала функции Лагранжа меньше нуля (
), то стационарная точка является точкой максимума, если больше нуля (), то стационарная точка является точкой минимума. Если значение второго дифференциала функции Лагранжа равно нулю, то требуются дополнительные исследования, но такие случаи практически не попадаются в задачах, задаваемых студентам.Координаты стационарных точек подставляются в исходную точку и, таким образом, мы окончательно находим условные экстремумы (или минимум и максимум или что-то одно из этих экстремумом).
Решение. Найдём второй дифференциал функции Лагранжа:
В нашем случае, так как первое и третье составляющие равны нулю, нам не придётся подставлять в них значения множителя Лагранжа. Зато нужно найти отношения между дифференциалами dx и dy :
Так как полученные значения — противоположные по знаку, то получаем, что в любом случае
.Теперь можем найти значение условного экстремума исходной функции, являющееся максимумом:
.Это заданная исходной функцией максимальная площадь прямоугольника, который можно ограничить верёвкой, длина которой равна 100.
Пример 2. Найти условные экстремумы функции двух переменных
при условии .Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:
.Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:
Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :
Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значения множителя Лагранжа:
Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции при двух значениях множителя Лагранжа:
Эти значения икса и игрека являются координатами двух стационарных точек. Таким образом, получили стационарные точки
.Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:
:Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле
:.Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа
:Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точка
— точка условного максимума:.Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа
:Получили значение, большее нуля, следовательно, точка
— точка условного минимума:.Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.
Пример 3. Найти условные экстремумы функции двух переменных
при условии .Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:
.Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:
Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :
Получаем, что
, однако подстановка этих значений переменных в третье уравнение системы не даёт верного равенства. Поэтому считаем, что на самом деле второй сомножитель равенства равен нулю: . Отсюда получаемИщем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа
. Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что . Из третьего уравнения системы получаем:Получили две стационарные точки:
Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа
. Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что .На основании вычислений двух первых стационарных точек получилаем ещё две стационарные точки:
Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:
:Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле
:.Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа
:Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точки
— точки условного максимума:.Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа
:Получили значение, большее нуля, следовательно, точки
— точки условного минимума:.Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.
Аналогичным образом можно находить условные экстремумы функций трёх и более переменных.
Как найти стационарные точки системы уравнений
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
Администратор, решение задач
РоманTel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhymРешение задач
Андрейfacebook:
dniprovets25источники:http://function-x.ru/extremum_conditional.html
http://yukhym.com/ru/issledovanie-funktsii/issledovanie-funktsii-z-x-y-na-ekstremum.html
при условии, что существует связь между переменными этой связи, заданная уравнением 
. В этом случае говорят, что требуется найти условный экстремум.
,
(лямбда) — множитель Лагранжа.
, выражающей площадь прямоугольника через его стороны x и y при условии 
, означающем, что существует верёвка, которой можно ограничить этот прямоугольник, и длина этой верёвки равна 100.
.
.
и 
. Эти значения являются также координатами стационарной точки. Таким образом, получили стационарную точку 
.
является стационарной точкой, найденной на шаге 2. Чтобы определить, является ли условный экстремум минимумом или максимумом, нужно найти второй дифференциал функции Лагранжа
), то стационарная точка является точкой максимума, если больше нуля (
), то стационарная точка является точкой минимума. Если значение второго дифференциала функции Лагранжа равно нулю, то требуются дополнительные исследования, но такие случаи практически не попадаются в задачах, задаваемых студентам.
.
.
при условии 
.
.
.
:
.
:
— точка условного максимума:
.
:
— точка условного минимума:
.
при условии 
.
.
, однако подстановка этих значений переменных в третье уравнение системы не даёт верного равенства. Поэтому считаем, что на самом деле второй сомножитель равенства 
равен нулю: 
. Отсюда получаем
. Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что 
. Из третьего уравнения системы получаем:
. Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что 
.
:
.
.
.